Номер 13.7, страница 103 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

13.7. Решите неравенство:

1) $\sqrt{x+2} > x;$

2) $\sqrt{2x+14} > x+3;$

3) $\sqrt{x^2-5x-24} \ge x+2;$

4) $\sqrt{x^2+4x-5} > x-3.$

1) $\sqrt{x+2} > x$

Данное иррациональное неравенство равносильно совокупности двух систем.

Первая система (случай, когда правая часть отрицательна, а подкоренное выражение неотрицательно):

$\begin{cases} x < 0 \\ x+2 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 0 \\ x \ge -2 \end{cases}$

Решением этой системы является промежуток $x \in [-2, 0)$.

Вторая система (случай, когда обе части неравенства неотрицательны, что позволяет возвести их в квадрат):

$\begin{cases} x \ge 0 \\ x+2 > x^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 0 \\ x^2 - x - 2 < 0 \end{cases}$

Решим квадратное неравенство $x^2 - x - 2 < 0$. Корни соответствующего уравнения $x^2 - x - 2 = 0$ равны $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$. Так как ветви параболы направлены вверх, решение неравенства: $x \in (-1, 2)$.

Учитывая условие $x \ge 0$, получаем решение для второй системы: $x \in [0, 2)$.

Общее решение исходного неравенства является объединением решений двух систем:

$[-2, 0) \cup [0, 2) = [-2, 2)$.

Ответ: $x \in [-2, 2)$.

2) $\sqrt{2x+14} > x+3$

Неравенство равносильно совокупности двух систем.

Первая система:

$\begin{cases} x+3 < 0 \\ 2x+14 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < -3 \\ 2x \ge -14 \end{cases} \implies \begin{cases} x < -3 \\ x \ge -7 \end{cases}$

Решение этой системы: $x \in [-7, -3)$.

Вторая система:

$\begin{cases} x+3 \ge 0 \\ 2x+14 > (x+3)^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -3 \\ 2x+14 > x^2+6x+9 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -3 \\ x^2+4x-5 < 0 \end{cases}$

Решим неравенство $x^2+4x-5 < 0$. Корни уравнения $x^2+4x-5=0$ по теореме Виета: $x_1 = -5$ и $x_2 = 1$. Решение неравенства: $x \in (-5, 1)$.

С учётом условия $x \ge -3$, получаем решение для второй системы: $x \in [-3, 1)$.

Объединяя решения обеих систем, получаем:

$[-7, -3) \cup [-3, 1) = [-7, 1)$.

Ответ: $x \in [-7, 1)$.

3) $\sqrt{x^2-5x-24} \ge x+2$

Неравенство вида $\sqrt{f(x)} \ge g(x)$ равносильно совокупности двух систем.

Первая система:

$\begin{cases} x+2 < 0 \\ x^2-5x-24 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < -2 \\ x^2-5x-24 \ge 0 \end{cases}$

Корни уравнения $x^2-5x-24=0$: $x = \frac{5 \pm \sqrt{25-4(-24)}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{121}}{2}$, то есть $x_1 = -3$ и $x_2 = 8$. Решение неравенства $x^2-5x-24 \ge 0$: $x \in (-\infty, -3] \cup [8, \infty)$.

Пересекая с условием $x < -2$, получаем решение первой системы: $x \in (-\infty, -3]$.

Вторая система:

$\begin{cases} x+2 \ge 0 \\ x^2-5x-24 \ge (x+2)^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -2 \\ x^2-5x-24 \ge x^2+4x+4 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -2 \\ -9x \ge 28 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -2 \\ x \le -\frac{28}{9} \end{cases}$

Так как $-2 > -\frac{28}{9}$ (т.е. $-2 > -3\frac{1}{9}$), эта система не имеет решений.

Решением исходного неравенства является решение первой системы.

Ответ: $x \in (-\infty, -3]$.

4) $\sqrt{x^2+4x-5} > x-3$

Неравенство равносильно совокупности двух систем.

Первая система:

$\begin{cases} x-3 < 0 \\ x^2+4x-5 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 3 \\ x^2+4x-5 \ge 0 \end{cases}$

Корни уравнения $x^2+4x-5=0$: $x_1 = -5$ и $x_2 = 1$. Решение неравенства $x^2+4x-5 \ge 0$: $x \in (-\infty, -5] \cup [1, \infty)$.

Пересекая с условием $x < 3$, получаем решение для первой системы: $x \in (-\infty, -5] \cup [1, 3)$.

Вторая система:

$\begin{cases} x-3 \ge 0 \\ x^2+4x-5 > (x-3)^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 3 \\ x^2+4x-5 > x^2-6x+9 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 3 \\ 10x > 14 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 3 \\ x > 1.4 \end{cases}$

Решением этой системы является $x \ge 3$, то есть $x \in [3, \infty)$.

Объединяя решения обеих систем, получаем:

$(-\infty, -5] \cup [1, 3) \cup [3, \infty) = (-\infty, -5] \cup [1, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -5] \cup [1, \infty)$.