Номер 13.8, страница 103 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

13.8. Решите неравенство:

1) $(x^2 + 6x + 5)(x^2 - 3x) > 0;$

2) $\frac{x^2 + x - 12}{x^2 - 64} \ge 0;$

3) $\frac{x^2 + 5x}{x - 1} \ge \frac{14}{x - 1};$

4) $\frac{x^2 - 4x}{x - 2} \le 3.$

1) Исходное неравенство: $(x^2 + 6x + 5)(x^2 - 3x) > 0$.

Разложим каждую скобку на множители.
Для первого множителя $x^2 + 6x + 5$ найдем корни уравнения $x^2 + 6x + 5 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -5$ и $x_2 = -1$.
Таким образом, $x^2 + 6x + 5 = (x + 5)(x + 1)$.
Для второго множителя $x^2 - 3x$ вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x^2 - 3x = x(x - 3)$.
Получаем неравенство: $(x + 5)(x + 1)x(x - 3) > 0$.

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули левой части: $x = -5, x = -1, x = 0, x = 3$.
Отметим эти точки на числовой прямой. Так как неравенство строгое, все точки будут выколотыми.
Определим знаки выражения на полученных интервалах:
При $x > 3$ (например, $x=4$): $(+)(+)(+)(+) > 0$. Знак «+».
При $0 < x < 3$ (например, $x=1$): $(+)(+)(+)(-) < 0$. Знак «-».
При $-1 < x < 0$ (например, $x=-0.5$): $(+)(+)(-)(-) > 0$. Знак «+».
При $-5 < x < -1$ (например, $x=-2$): $(+)(-)(-)(-) < 0$. Знак «-».
При $x < -5$ (например, $x=-6$): $(-)(-)(-)(-) > 0$. Знак «+».

Выбираем интервалы со знаком «+».
Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (-1; 0) \cup (3; +\infty)$.

2) Исходное неравенство: $\frac{x^2 + x - 12}{x^2 - 64} \ge 0$.

Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель: $x^2 + x - 12 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -4$ и $x_2 = 3$.
Итак, $x^2 + x - 12 = (x + 4)(x - 3)$.
Знаменатель: $x^2 - 64 = (x - 8)(x + 8)$ (разность квадратов).
Неравенство принимает вид: $\frac{(x + 4)(x - 3)}{(x - 8)(x + 8)} \ge 0$.

Решим методом интервалов.
Нули числителя (точки, где выражение равно 0): $x = -4, x = 3$. Так как неравенство нестрогое, эти точки включаются в решение (закрашенные).
Нули знаменателя (точки, где выражение не определено): $x = 8, x = -8$. Эти точки всегда исключаются из решения (выколотые).
Отмечаем точки на числовой прямой: $-8, -4, 3, 8$.
Определяем знаки на интервалах:
При $x > 8$: $\frac{(+)(+)}{(+)(+)} > 0$. Знак «+».
При $3 \le x < 8$: $\frac{(+)(+)}{(-)(+)} < 0$. Знак «-».
При $-4 \le x < 3$: $\frac{(+)(-)}{(-)(+)} > 0$. Знак «+».
При $-8 < x < -4$: $\frac{(-)(-)}{(-)(+)} < 0$. Знак «-».
При $x < -8$: $\frac{(-)(-)}{(-)(-)} > 0$. Знак «+».

Выбираем интервалы со знаком «+», включая закрашенные точки.
Ответ: $x \in (-\infty; -8) \cup [-4; 3] \cup (8; +\infty)$.

3) Исходное неравенство: $\frac{x^2 + 5x}{x - 1} \ge \frac{14}{x - 1}$.

Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$\frac{x^2 + 5x}{x - 1} - \frac{14}{x - 1} \ge 0$
$\frac{x^2 + 5x - 14}{x - 1} \ge 0$.

Разложим числитель на множители: $x^2 + 5x - 14 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1 = -7$ и $x_2 = 2$.
Итак, $x^2 + 5x - 14 = (x + 7)(x - 2)$.
Неравенство принимает вид: $\frac{(x + 7)(x - 2)}{x - 1} \ge 0$.

Решим методом интервалов.
Нули числителя (включенные точки): $x = -7, x = 2$.
Нуль знаменателя (выколотая точка): $x = 1$.
Отмечаем точки на числовой прямой: $-7, 1, 2$.
Определяем знаки на интервалах:
При $x \ge 2$ (например, $x=3$): $\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$. Знак «+».
При $1 < x < 2$ (например, $x=1.5$): $\frac{(+)(-)}{(+)} < 0$. Знак «-».
При $-7 \le x < 1$ (например, $x=0$): $\frac{(+)(-)}{(-)} > 0$. Знак «+».
При $x < -7$ (например, $x=-8$): $\frac{(-)(-)}{(-)} < 0$. Знак «-».

Выбираем интервалы со знаком «+».
Ответ: $x \in [-7; 1) \cup [2; +\infty)$.

4) Исходное неравенство: $\frac{x^2 - 4x}{x - 2} \le 3$.

Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$\frac{x^2 - 4x}{x - 2} - 3 \le 0$
$\frac{x^2 - 4x - 3(x - 2)}{x - 2} \le 0$
$\frac{x^2 - 4x - 3x + 6}{x - 2} \le 0$
$\frac{x^2 - 7x + 6}{x - 2} \le 0$.

Разложим числитель на множители: $x^2 - 7x + 6 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 6$.
Итак, $x^2 - 7x + 6 = (x - 1)(x - 6)$.
Неравенство принимает вид: $\frac{(x - 1)(x - 6)}{x - 2} \le 0$.

Решим методом интервалов.
Нули числителя (включенные точки): $x = 1, x = 6$.
Нуль знаменателя (выколотая точка): $x = 2$.
Отмечаем точки на числовой прямой: $1, 2, 6$.
Определяем знаки на интервалах:
При $x \ge 6$ (например, $x=7$): $\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$. Знак «+».
При $2 < x < 6$ (например, $x=3$): $\frac{(+)(-)}{(+)} < 0$. Знак «-».
При $1 \le x < 2$ (например, $x=1.5$): $\frac{(+)(-)}{(-)} > 0$. Знак «+».
При $x < 1$ (например, $x=0$): $\frac{(-)(-)}{(-)} < 0$. Знак «-».

Выбираем интервалы со знаком «-».
Ответ: $x \in (-\infty; 1] \cup (2; 6]$.