Номер 13.6, страница 103 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

13.6. Решите неравенство:

1) $\sqrt{2-x} > x;$

2) $\sqrt{x+7} \ge x+1;$

3) $\sqrt{x^2-1} > x;$

4) $\sqrt{x^2-2x} \ge 4-x;$

5) $\sqrt{x^2+x-2} > x;$

6) $\sqrt{-x^2+6x-5} > 8-2x.$

1) Решим неравенство $\sqrt{2-x} > x$.

Неравенство вида $\sqrt{f(x)} > g(x)$ равносильно совокупности двух систем:

а) $\begin{cases} g(x) < 0 \\ f(x) \ge 0 \end{cases}$ б) $\begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) > (g(x))^2 \end{cases}$

В нашем случае $f(x) = 2-x$ и $g(x) = x$.

а) $\begin{cases} x < 0 \\ 2-x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 0 \\ x \le 2 \end{cases} \implies x < 0$.

Решение этой системы: $x \in (-\infty, 0)$.

б) $\begin{cases} x \ge 0 \\ 2-x > x^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 0 \\ x^2+x-2 < 0 \end{cases}$.

Решим квадратное неравенство $x^2+x-2 < 0$. Корни уравнения $x^2+x-2=0$ равны $x_1=-2$ и $x_2=1$. Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется при $-2 < x < 1$.

Тогда система принимает вид: $\begin{cases} x \ge 0 \\ -2 < x < 1 \end{cases} \implies 0 \le x < 1$.

Решение этой системы: $x \in [0, 1)$.

Объединяя решения обеих систем, получаем: $(-\infty, 0) \cup [0, 1) = (-\infty, 1)$.

Ответ: $(-\infty, 1)$.

2) Решим неравенство $\sqrt{x+7} \ge x+1$.

Неравенство вида $\sqrt{f(x)} \ge g(x)$ равносильно совокупности двух систем:

а) $\begin{cases} g(x) < 0 \\ f(x) \ge 0 \end{cases}$ б) $\begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) \ge (g(x))^2 \end{cases}$

В нашем случае $f(x) = x+7$ и $g(x) = x+1$.

а) $\begin{cases} x+1 < 0 \\ x+7 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < -1 \\ x \ge -7 \end{cases} \implies -7 \le x < -1$.

Решение этой системы: $x \in [-7, -1)$.

б) $\begin{cases} x+1 \ge 0 \\ x+7 \ge (x+1)^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -1 \\ x+7 \ge x^2+2x+1 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -1 \\ x^2+x-6 \le 0 \end{cases}$.

Решим квадратное неравенство $x^2+x-6 \le 0$. Корни уравнения $x^2+x-6=0$ равны $x_1=-3$ и $x_2=2$. Неравенство выполняется при $-3 \le x \le 2$.

Тогда система принимает вид: $\begin{cases} x \ge -1 \\ -3 \le x \le 2 \end{cases} \implies -1 \le x \le 2$.

Решение этой системы: $x \in [-1, 2]$.

Объединяя решения обеих систем, получаем: $[-7, -1) \cup [-1, 2] = [-7, 2]$.

Ответ: $[-7, 2]$.

3) Решим неравенство $\sqrt{x^2-1} > x$.

Применяем ту же схему, что и в задании 1. $f(x) = x^2-1$, $g(x) = x$.

а) $\begin{cases} x < 0 \\ x^2-1 \ge 0 \end{cases}$.

Неравенство $x^2-1 \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

Система принимает вид: $\begin{cases} x < 0 \\ x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty) \end{cases} \implies x \le -1$.

Решение этой системы: $x \in (-\infty, -1]$.

б) $\begin{cases} x \ge 0 \\ x^2-1 > x^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 0 \\ -1 > 0 \end{cases}$.

Второе неравенство $-1 > 0$ ложно, поэтому эта система не имеет решений.

Объединяя решения (решение только из системы а), получаем итоговый ответ.

Ответ: $(-\infty, -1]$.

4) Решим неравенство $\sqrt{x^2-2x} \ge 4-x$.

Применяем ту же схему, что и в задании 2. $f(x) = x^2-2x$, $g(x) = 4-x$.

а) $\begin{cases} 4-x < 0 \\ x^2-2x \ge 0 \end{cases}$.

Из первого неравенства $x > 4$. Из второго $x(x-2) \ge 0$, что выполняется при $x \in (-\infty, 0] \cup [2, \infty)$.

Система принимает вид: $\begin{cases} x > 4 \\ x \in (-\infty, 0] \cup [2, \infty) \end{cases} \implies x > 4$.

Решение этой системы: $x \in (4, \infty)$.

б) $\begin{cases} 4-x \ge 0 \\ x^2-2x \ge (4-x)^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 4 \\ x^2-2x \ge 16-8x+x^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 4 \\ 6x \ge 16 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 4 \\ x \ge \frac{16}{6} \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 4 \\ x \ge \frac{8}{3} \end{cases}$.

Решение этой системы: $x \in [\frac{8}{3}, 4]$.

Объединяя решения обеих систем, получаем: $[\frac{8}{3}, 4] \cup (4, \infty) = [\frac{8}{3}, \infty)$.

Ответ: $[\frac{8}{3}, \infty)$.

5) Решим неравенство $\sqrt{x^2+x-2} > x$.

Применяем ту же схему, что и в задании 1. $f(x) = x^2+x-2$, $g(x) = x$.

а) $\begin{cases} x < 0 \\ x^2+x-2 \ge 0 \end{cases}$.

Решим $x^2+x-2 \ge 0$. Корни $x_1=-2, x_2=1$. Неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -2] \cup [1, \infty)$.

Система принимает вид: $\begin{cases} x < 0 \\ x \in (-\infty, -2] \cup [1, \infty) \end{cases} \implies x \le -2$.

Решение этой системы: $x \in (-\infty, -2]$.

б) $\begin{cases} x \ge 0 \\ x^2+x-2 > x^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 0 \\ x-2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 0 \\ x > 2 \end{cases} \implies x > 2$.

Решение этой системы: $x \in (2, \infty)$.

Объединяя решения обеих систем, получаем: $(-\infty, -2] \cup (2, \infty)$.

Ответ: $(-\infty, -2] \cup (2, \infty)$.

6) Решим неравенство $\sqrt{-x^2+6x-5} > 8-2x$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ).

$-x^2+6x-5 \ge 0 \implies x^2-6x+5 \le 0$.

Корни уравнения $x^2-6x+5=0$ равны $x_1=1, x_2=5$. Неравенство выполняется при $1 \le x \le 5$. ОДЗ: $x \in [1, 5]$.

Теперь решаем неравенство, которое равносильно совокупности двух систем с учетом ОДЗ.

а) $\begin{cases} 8-2x < 0 \\ x \in [1, 5] \end{cases} \implies \begin{cases} 2x > 8 \\ x \in [1, 5] \end{cases} \implies \begin{cases} x > 4 \\ x \in [1, 5] \end{cases} \implies 4 < x \le 5$.

Решение этой системы: $x \in (4, 5]$.

б) $\begin{cases} 8-2x \ge 0 \\ -x^2+6x-5 > (8-2x)^2 \\ x \in [1, 5] \end{cases} \implies \begin{cases} 2x \le 8 \\ -x^2+6x-5 > 64-32x+4x^2 \\ x \in [1, 5] \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 4 \\ 5x^2-38x+69 < 0 \\ x \in [1, 5] \end{cases}$.

Решим квадратное неравенство $5x^2-38x+69 < 0$. Дискриминант $D = (-38)^2 - 4(5)(69) = 1444 - 1380 = 64$. Корни $x_{1,2} = \frac{38 \pm \sqrt{64}}{10}$, т.е. $x_1 = \frac{30}{10}=3$, $x_2 = \frac{46}{10}=4.6$. Неравенство выполняется при $3 < x < 4.6$.

Система принимает вид: $\begin{cases} x \le 4 \\ 3 < x < 4.6 \\ x \in [1, 5] \end{cases} \implies 3 < x \le 4$.

Решение этой системы: $x \in (3, 4]$.

Объединяя решения обеих систем, получаем: $(3, 4] \cup (4, 5] = (3, 5]$.

Ответ: $(3, 5]$.