Номер 12.9, страница 100 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

§ 12. Метод равносильных преобразований для решения иррациональных уравнений. Глава 2. Степенная функция - номер 12.9, страница 100.

12.9. Решите уравнение:

1) $x^4 - 9x^2 + 20 = 0;$

2) $x^4 - 5x^2 - 36 = 0.$

1) $x^4 - 9x^2 + 20 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $t \ge 0$.

Получаем квадратное уравнение относительно переменной $t$:

$t^2 - 9t + 20 = 0$

Найдем дискриминант $D$ и корни уравнения:

$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 81 - 80 = 1$

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{9 - 1}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{9 + 1}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Оба корня ($4$ и $5$) удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, выполнив обратную замену:

1. Если $t = 4$, то $x^2 = 4$. Отсюда $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

2. Если $t = 5$, то $x^2 = 5$. Отсюда $x_3 = \sqrt{5}$ и $x_4 = -\sqrt{5}$.

Таким образом, уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $\pm 2; \pm \sqrt{5}$.

2) $x^4 - 5x^2 - 36 = 0$

Это также биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2$, где $t \ge 0$.

Уравнение принимает вид:

$t^2 - 5t - 36 = 0$

Найдем дискриминант $D$ и корни уравнения:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169$

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 13}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 13}{2} = \frac{18}{2} = 9$

Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$.

Корень $t_1 = -4$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому он является посторонним.

Корень $t_2 = 9$ удовлетворяет условию.

Выполним обратную замену для $t_2 = 9$:

$x^2 = 9$

Отсюда $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $\pm 3$.