gdz.top
Номер 12.9, страница 100 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2021 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий, красный
ISBN: 978-5-09-087861-6
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика. Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 2. Степенная функция. Параграф 12. Метод равносильных преобразований для решения иррациональных уравнений - номер 12.9, страница 100.
№12.8
№12.9 (с. 100)
Условие. №12.9 (с. 100)
12.9. Решите уравнение:
1) $x^4 - 9x^2 + 20 = 0;$
2) $x^4 - 5x^2 - 36 = 0.$
Решение 1. №12.9 (с. 100)
Решение 2. №12.9 (с. 100)
Решение 3. №12.9 (с. 100)
Решение 4. №12.9 (с. 100)
Решение 5. №12.9 (с. 100)
1) $x^4 - 9x^2 + 20 = 0$
Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $t \ge 0$.
Получаем квадратное уравнение относительно переменной $t$:
$t^2 - 9t + 20 = 0$
Найдем дискриминант $D$ и корни уравнения:
$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 81 - 80 = 1$
$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{9 - 1}{2} = \frac{8}{2} = 4$
$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{9 + 1}{2} = \frac{10}{2} = 5$
Оба корня ($4$ и $5$) удовлетворяют условию $t \ge 0$.
Теперь вернемся к исходной переменной $x$, выполнив обратную замену:
1. Если $t = 4$, то $x^2 = 4$. Отсюда $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.
2. Если $t = 5$, то $x^2 = 5$. Отсюда $x_3 = \sqrt{5}$ и $x_4 = -\sqrt{5}$.
Таким образом, уравнение имеет четыре корня.
Ответ: $\pm 2; \pm \sqrt{5}$.
2) $x^4 - 5x^2 - 36 = 0$
Это также биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2$, где $t \ge 0$.
Уравнение принимает вид:
$t^2 - 5t - 36 = 0$
Найдем дискриминант $D$ и корни уравнения:
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169$
$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 13}{2} = \frac{-8}{2} = -4$
$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 13}{2} = \frac{18}{2} = 9$
Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$.
Корень $t_1 = -4$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому он является посторонним.
Корень $t_2 = 9$ удовлетворяет условию.
Выполним обратную замену для $t_2 = 9$:
$x^2 = 9$
Отсюда $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.
Таким образом, уравнение имеет два корня.
Ответ: $\pm 3$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 12.9 расположенного на странице 100 к учебнику 2021 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №12.9 (с. 100), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.