Номер 12.6, страница 100 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

§ 12. Метод равносильных преобразований для решения иррациональных уравнений. Глава 2. Степенная функция - номер 12.6, страница 100.

12.6. Решите уравнение:

1) $\sqrt{2x-4} - \sqrt{x+5} = 1;$

2) $\sqrt{x+11} - \sqrt{2x+1} = 2;$

3) $\sqrt{3x+1} + \sqrt{16-3x} = 5.$

1) $\sqrt{2x-4} - \sqrt{x+5} = 1$
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными:
$\begin{cases} 2x-4 \ge 0 \\ x+5 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x \ge 4 \\ x \ge -5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge 2 \\ x \ge -5 \end{cases}$
Следовательно, ОДЗ: $x \ge 2$.

Перенесем один из радикалов в правую часть уравнения:
$\sqrt{2x-4} = 1 + \sqrt{x+5}$
Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{2x-4})^2 = (1 + \sqrt{x+5})^2$
$2x-4 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{x+5} + (\sqrt{x+5})^2$
$2x-4 = 1 + 2\sqrt{x+5} + x+5$

Приведем подобные слагаемые и уединим оставшийся корень:
$2x-4 = x + 6 + 2\sqrt{x+5}$
$2x - x - 4 - 6 = 2\sqrt{x+5}$
$x - 10 = 2\sqrt{x+5}$

Поскольку правая часть $2\sqrt{x+5}$ неотрицательна, левая часть также должна быть неотрицательной: $x-10 \ge 0$, то есть $x \ge 10$. Это условие сильнее, чем исходное ОДЗ.
Снова возведем обе части в квадрат:
$(x-10)^2 = (2\sqrt{x+5})^2$
$x^2 - 20x + 100 = 4(x+5)$
$x^2 - 20x + 100 = 4x + 20$

Получим квадратное уравнение:
$x^2 - 24x + 80 = 0$
Используя теорему Виета, находим корни: $x_1 = 20$ и $x_2 = 4$.

Проверим корни на соответствие условию $x \ge 10$.
Корень $x_1 = 20$ удовлетворяет условию $20 \ge 10$.
Корень $x_2 = 4$ не удовлетворяет условию $4 \ge 10$, значит, это посторонний корень.
Проверка для $x=20$: $\sqrt{2(20)-4} - \sqrt{20+5} = \sqrt{36} - \sqrt{25} = 6 - 5 = 1$. Верно.
Ответ: $20$.

2) $\sqrt{x+11} - \sqrt{2x+1} = 2$
Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x+11 \ge 0 \\ 2x+1 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge -11 \\ x \ge -0.5 \end{cases}$
ОДЗ: $x \ge -0.5$.

Перенесем радикал в правую часть:
$\sqrt{x+11} = 2 + \sqrt{2x+1}$
Возведем обе части в квадрат:
$x+11 = 4 + 4\sqrt{2x+1} + (2x+1)$
$x+11 = 2x+5 + 4\sqrt{2x+1}$

Уединим корень:
$x - 2x + 11 - 5 = 4\sqrt{2x+1}$
$6-x = 4\sqrt{2x+1}$

Левая часть должна быть неотрицательной: $6-x \ge 0$, откуда $x \le 6$. С учетом ОДЗ получаем, что решение должно лежать в промежутке $[-0.5, 6]$.
Возведем обе части в квадрат:
$(6-x)^2 = (4\sqrt{2x+1})^2$
$36 - 12x + x^2 = 16(2x+1)$
$x^2 - 12x + 36 = 32x + 16$

Получим квадратное уравнение:
$x^2 - 44x + 20 = 0$
Найдем дискриминант: $D = (-44)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 1936 - 80 = 1856 = 64 \cdot 29$.
Корни уравнения: $x = \frac{44 \pm \sqrt{1856}}{2} = \frac{44 \pm 8\sqrt{29}}{2} = 22 \pm 4\sqrt{29}$.

$x_1 = 22 + 4\sqrt{29}$. Этот корень очевидно больше 6, поэтому он посторонний.
$x_2 = 22 - 4\sqrt{29}$. Оценим его: $5 < \sqrt{29} < 6$, значит $20 < 4\sqrt{29} < 24$. Тогда $22-24 < 22-4\sqrt{29} < 22-20$, то есть $-2 < x_2 < 2$. Этот корень входит в допустимый промежуток $[-0.5, 6]$.
Ответ: $22 - 4\sqrt{29}$.

3) $\sqrt{3x+1} + \sqrt{16-3x} = 5$
Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} 3x+1 \ge 0 \\ 16-3x \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3x \ge -1 \\ 16 \ge 3x \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge -1/3 \\ x \le 16/3 \end{cases}$
ОДЗ: $x \in [-1/3, 16/3]$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{3x+1} + \sqrt{16-3x})^2 = 5^2$
$(3x+1) + 2\sqrt{(3x+1)(16-3x)} + (16-3x) = 25$
$3x$ и $-3x$ взаимно уничтожаются:
$17 + 2\sqrt{(3x+1)(16-3x)} = 25$

Уединим корень:
$2\sqrt{(3x+1)(16-3x)} = 8$
$\sqrt{(3x+1)(16-3x)} = 4$

Снова возведем в квадрат:
$(3x+1)(16-3x) = 16$
$48x - 9x^2 + 16 - 3x = 16$
$-9x^2 + 45x = 0$

Вынесем общий множитель $-9x$ за скобки:
$-9x(x-5) = 0$
Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 5$.

Проверим, входят ли корни в ОДЗ $x \in [-1/3, 16/3]$.
$x_1 = 0$: $-1/3 \le 0 \le 16/3$. Корень подходит.
$x_2 = 5$: $16/3 = 5\frac{1}{3}$, поэтому $-1/3 \le 5 \le 16/3$. Корень подходит.
Оба корня являются решениями уравнения.
Ответ: $0; 5$.