Номер 12.6, страница 100 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Номировский Дмитрий Анатольевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2021

Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2021 - 2025

Уровень обучения: базовый

Цвет обложки: синий, красный

ISBN: 978-5-09-087861-6

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Математика. Алгебра и начала математического анализа

Популярные ГДЗ в 10 классе

§ 12. Метод равносильных преобразований для решения иррациональных уравнений. Глава 2. Степенная функция - номер 12.6, страница 100.

Навигация по странице:

Решение Комментарии
№12.6 (с. 100)
Условие. №12.6 (с. 100)
скриншот условия
Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Номировский Дмитрий Анатольевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2021, страница 100, номер 12.6, Условие

12.6. Решите уравнение:

1) 2x4x+5=1;\sqrt{2x-4} - \sqrt{x+5} = 1;

2) x+112x+1=2;\sqrt{x+11} - \sqrt{2x+1} = 2;

3) 3x+1+163x=5.\sqrt{3x+1} + \sqrt{16-3x} = 5.

Решение 1. №12.6 (с. 100)
Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Номировский Дмитрий Анатольевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2021, страница 100, номер 12.6, Решение 1 Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Номировский Дмитрий Анатольевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2021, страница 100, номер 12.6, Решение 1 (продолжение 2) Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Номировский Дмитрий Анатольевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2021, страница 100, номер 12.6, Решение 1 (продолжение 3)
Решение 2. №12.6 (с. 100)
Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Номировский Дмитрий Анатольевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2021, страница 100, номер 12.6, Решение 2
Решение 3. №12.6 (с. 100)
Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Номировский Дмитрий Анатольевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2021, страница 100, номер 12.6, Решение 3 Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Номировский Дмитрий Анатольевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2021, страница 100, номер 12.6, Решение 3 (продолжение 2)
Решение 4. №12.6 (с. 100)
Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Номировский Дмитрий Анатольевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2021, страница 100, номер 12.6, Решение 4
Решение 5. №12.6 (с. 100)

1) 2x4x+5=1\sqrt{2x-4} - \sqrt{x+5} = 1
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными:
{2x40x+50{2x4x5{x2x5\begin{cases} 2x-4 \ge 0 \\ x+5 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x \ge 4 \\ x \ge -5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge 2 \\ x \ge -5 \end{cases}
Следовательно, ОДЗ: x2x \ge 2.

Перенесем один из радикалов в правую часть уравнения:
2x4=1+x+5\sqrt{2x-4} = 1 + \sqrt{x+5}
Возведем обе части в квадрат:
(2x4)2=(1+x+5)2(\sqrt{2x-4})^2 = (1 + \sqrt{x+5})^2
2x4=12+21x+5+(x+5)22x-4 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{x+5} + (\sqrt{x+5})^2
2x4=1+2x+5+x+52x-4 = 1 + 2\sqrt{x+5} + x+5

Приведем подобные слагаемые и уединим оставшийся корень:
2x4=x+6+2x+52x-4 = x + 6 + 2\sqrt{x+5}
2xx46=2x+52x - x - 4 - 6 = 2\sqrt{x+5}
x10=2x+5x - 10 = 2\sqrt{x+5}

Поскольку правая часть 2x+52\sqrt{x+5} неотрицательна, левая часть также должна быть неотрицательной: x100x-10 \ge 0, то есть x10x \ge 10. Это условие сильнее, чем исходное ОДЗ.
Снова возведем обе части в квадрат:
(x10)2=(2x+5)2(x-10)^2 = (2\sqrt{x+5})^2
x220x+100=4(x+5)x^2 - 20x + 100 = 4(x+5)
x220x+100=4x+20x^2 - 20x + 100 = 4x + 20

Получим квадратное уравнение:
x224x+80=0x^2 - 24x + 80 = 0
Используя теорему Виета, находим корни: x1=20x_1 = 20 и x2=4x_2 = 4.

Проверим корни на соответствие условию x10x \ge 10.
Корень x1=20x_1 = 20 удовлетворяет условию 201020 \ge 10.
Корень x2=4x_2 = 4 не удовлетворяет условию 4104 \ge 10, значит, это посторонний корень.
Проверка для x=20x=20: 2(20)420+5=3625=65=1\sqrt{2(20)-4} - \sqrt{20+5} = \sqrt{36} - \sqrt{25} = 6 - 5 = 1. Верно.
Ответ: 2020.

2) x+112x+1=2\sqrt{x+11} - \sqrt{2x+1} = 2
Найдем ОДЗ:
{x+1102x+10{x11x0.5\begin{cases} x+11 \ge 0 \\ 2x+1 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge -11 \\ x \ge -0.5 \end{cases}
ОДЗ: x0.5x \ge -0.5.

Перенесем радикал в правую часть:
x+11=2+2x+1\sqrt{x+11} = 2 + \sqrt{2x+1}
Возведем обе части в квадрат:
x+11=4+42x+1+(2x+1)x+11 = 4 + 4\sqrt{2x+1} + (2x+1)
x+11=2x+5+42x+1x+11 = 2x+5 + 4\sqrt{2x+1}

Уединим корень:
x2x+115=42x+1x - 2x + 11 - 5 = 4\sqrt{2x+1}
6x=42x+16-x = 4\sqrt{2x+1}

Левая часть должна быть неотрицательной: 6x06-x \ge 0, откуда x6x \le 6. С учетом ОДЗ получаем, что решение должно лежать в промежутке [0.5,6][-0.5, 6].
Возведем обе части в квадрат:
(6x)2=(42x+1)2(6-x)^2 = (4\sqrt{2x+1})^2
3612x+x2=16(2x+1)36 - 12x + x^2 = 16(2x+1)
x212x+36=32x+16x^2 - 12x + 36 = 32x + 16

Получим квадратное уравнение:
x244x+20=0x^2 - 44x + 20 = 0
Найдем дискриминант: D=(44)24120=193680=1856=6429D = (-44)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 1936 - 80 = 1856 = 64 \cdot 29.
Корни уравнения: x=44±18562=44±8292=22±429x = \frac{44 \pm \sqrt{1856}}{2} = \frac{44 \pm 8\sqrt{29}}{2} = 22 \pm 4\sqrt{29}.

x1=22+429x_1 = 22 + 4\sqrt{29}. Этот корень очевидно больше 6, поэтому он посторонний.
x2=22429x_2 = 22 - 4\sqrt{29}. Оценим его: 5<29<65 < \sqrt{29} < 6, значит 20<429<2420 < 4\sqrt{29} < 24. Тогда 2224<22429<222022-24 < 22-4\sqrt{29} < 22-20, то есть 2<x2<2-2 < x_2 < 2. Этот корень входит в допустимый промежуток [0.5,6][-0.5, 6].
Ответ: 2242922 - 4\sqrt{29}.

3) 3x+1+163x=5\sqrt{3x+1} + \sqrt{16-3x} = 5
Найдем ОДЗ:
{3x+10163x0{3x1163x{x1/3x16/3\begin{cases} 3x+1 \ge 0 \\ 16-3x \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3x \ge -1 \\ 16 \ge 3x \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge -1/3 \\ x \le 16/3 \end{cases}
ОДЗ: x[1/3,16/3]x \in [-1/3, 16/3].

Возведем обе части уравнения в квадрат:
(3x+1+163x)2=52(\sqrt{3x+1} + \sqrt{16-3x})^2 = 5^2
(3x+1)+2(3x+1)(163x)+(163x)=25(3x+1) + 2\sqrt{(3x+1)(16-3x)} + (16-3x) = 25
3x3x и 3x-3x взаимно уничтожаются:
17+2(3x+1)(163x)=2517 + 2\sqrt{(3x+1)(16-3x)} = 25

Уединим корень:
2(3x+1)(163x)=82\sqrt{(3x+1)(16-3x)} = 8
(3x+1)(163x)=4\sqrt{(3x+1)(16-3x)} = 4

Снова возведем в квадрат:
(3x+1)(163x)=16(3x+1)(16-3x) = 16
48x9x2+163x=1648x - 9x^2 + 16 - 3x = 16
9x2+45x=0-9x^2 + 45x = 0

Вынесем общий множитель 9x-9x за скобки:
9x(x5)=0-9x(x-5) = 0
Отсюда получаем два корня: x1=0x_1 = 0 и x2=5x_2 = 5.

Проверим, входят ли корни в ОДЗ x[1/3,16/3]x \in [-1/3, 16/3].
x1=0x_1 = 0: 1/3016/3-1/3 \le 0 \le 16/3. Корень подходит.
x2=5x_2 = 5: 16/3=51316/3 = 5\frac{1}{3}, поэтому 1/3516/3-1/3 \le 5 \le 16/3. Корень подходит.
Оба корня являются решениями уравнения.
Ответ: 0;50; 5.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 12.6 расположенного на странице 100 к учебнику 2021 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №12.6 (с. 100), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться