Номер 12.8, страница 100 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

12.8. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x+3} - \sqrt{2x-1} - \sqrt{3x-2} = 0;$

2) $\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1} = \sqrt{3x-1}.$

1)

Исходное уравнение: $\sqrt{x+3} - \sqrt{2x-1} - \sqrt{3x-2} = 0$.

Для удобства решения перенесем два слагаемых в правую часть уравнения:

$\sqrt{x+3} = \sqrt{2x-1} + \sqrt{3x-2}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаками квадратного корня должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} x+3 \ge 0 \\ 2x-1 \ge 0 \\ 3x-2 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -3 \\ x \ge 1/2 \\ x \ge 2/3 \end{cases}$

Пересечением данных условий является промежуток $x \ge 2/3$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [2/3, +\infty)$.

Возведем обе части уравнения в квадрат. Так как в ОДЗ обе части уравнения неотрицательны, это преобразование является равносильным.

$(\sqrt{x+3})^2 = (\sqrt{2x-1} + \sqrt{3x-2})^2$

$x+3 = (2x-1) + 2\sqrt{(2x-1)(3x-2)} + (3x-2)$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$x+3 = 5x - 3 + 2\sqrt{6x^2 - 4x - 3x + 2}$

$x+3 = 5x - 3 + 2\sqrt{6x^2 - 7x + 2}$

Уединим радикал в одной части уравнения:

$3+3 - 5x + x = 2\sqrt{6x^2 - 7x + 2}$

$6 - 4x = 2\sqrt{6x^2 - 7x + 2}$

Разделим обе части на 2:

$3 - 2x = \sqrt{6x^2 - 7x + 2}$

Правая часть уравнения (квадратный корень) по определению неотрицательна. Следовательно, левая часть также должна быть неотрицательной: $3 - 2x \ge 0$, что равносильно $3 \ge 2x$ или $x \le 3/2$.

С учетом ОДЗ ($x \ge 2/3$), получаем, что возможные решения должны находиться в интервале $[2/3, 3/2]$.

Снова возведем обе части в квадрат:

$(3 - 2x)^2 = (\sqrt{6x^2 - 7x + 2})^2$

$9 - 12x + 4x^2 = 6x^2 - 7x + 2$

Перенесем все слагаемые в одну часть и приведем подобные:

$6x^2 - 4x^2 - 7x + 12x + 2 - 9 = 0$

$2x^2 + 5x - 7 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 25 + 56 = 81 = 9^2$.

Найдем корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm 9}{4}$.

$x_1 = \frac{-5+9}{4} = \frac{4}{4} = 1$.

$x_2 = \frac{-5-9}{4} = \frac{-14}{4} = -3.5$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $x \in [2/3, 3/2]$.

Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет условию, так как $2/3 \approx 0.67$ и $3/2 = 1.5$, и $0.67 \le 1 \le 1.5$.

Корень $x_2 = -3.5$ не удовлетворяет условию, следовательно, является посторонним.

Проверка. Подставим $x=1$ в исходное уравнение:

$\sqrt{1+3} - \sqrt{2 \cdot 1 - 1} - \sqrt{3 \cdot 1 - 2} = \sqrt{4} - \sqrt{1} - \sqrt{1} = 2 - 1 - 1 = 0$.

$0=0$. Равенство верное.

Ответ: $1$.

2)

Исходное уравнение: $\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1} = \sqrt{3x-1}$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} x+1 \ge 0 \\ x-1 \ge 0 \\ 3x-1 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -1 \\ x \ge 1 \\ x \ge 1/3 \end{cases}$

Пересечение этих условий дает ОДЗ: $x \in [1, +\infty)$.

Возведем обе части уравнения в квадрат. На ОДЗ обе части неотрицательны.

$(\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1})^2 = (\sqrt{3x-1})^2$

$(x+1) + 2\sqrt{(x+1)(x-1)} + (x-1) = 3x-1$

Упростим выражение:

$2x + 2\sqrt{x^2 - 1} = 3x-1$

Уединим радикал:

$2\sqrt{x^2 - 1} = 3x - 1 - 2x$

$2\sqrt{x^2 - 1} = x - 1$

Левая часть неотрицательна, значит и правая должна быть неотрицательной: $x-1 \ge 0$, что означает $x \ge 1$. Это условие совпадает с нашей ОДЗ и не вводит новых ограничений.

Снова возведем обе части в квадрат:

$(2\sqrt{x^2 - 1})^2 = (x-1)^2$

$4(x^2 - 1) = x^2 - 2x + 1$

$4x^2 - 4 = x^2 - 2x + 1$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$4x^2 - x^2 + 2x - 4 - 1 = 0$

$3x^2 + 2x - 5 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 4 + 60 = 64 = 8^2$.

Найдем корни: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 8}{2 \cdot 3} = \frac{-2 \pm 8}{6}$.

$x_1 = \frac{-2+8}{6} = \frac{6}{6} = 1$.

$x_2 = \frac{-2-8}{6} = \frac{-10}{6} = -5/3$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 1$).

$x_1 = 1$ удовлетворяет ОДЗ.

$x_2 = -5/3$ не удовлетворяет ОДЗ, является посторонним корнем.

Проверка. Подставим $x=1$ в исходное уравнение:

$\sqrt{1+1} + \sqrt{1-1} = \sqrt{3 \cdot 1 - 1}$

$\sqrt{2} + \sqrt{0} = \sqrt{2}$

$\sqrt{2} = \sqrt{2}$. Равенство верное.

Ответ: $1$.