Номер 13.5, страница 102 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

13.5. Решите неравенство:

1) $\sqrt{9x - 20} < x;$

2) $\sqrt{x + 61} < x + 5;$

3) $2\sqrt{4 - x^2} \le x + 4;$

4) $\sqrt{x^2 + 4x - 5} < x - 3.$

Решим неравенство $\sqrt{9x - 20} < x$.

Данное иррациональное неравенство вида $\sqrt{f(x)} < g(x)$ равносильно системе из трех неравенств:

$\begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) > 0 \\ f(x) < (g(x))^2 \end{cases} \implies \begin{cases} 9x - 20 \ge 0 \\ x > 0 \\ 9x - 20 < x^2 \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы по отдельности:

1. $9x - 20 \ge 0 \implies 9x \ge 20 \implies x \ge \frac{20}{9}$.

2. $x > 0$.

3. $9x - 20 < x^2 \implies x^2 - 9x + 20 > 0$.
Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 9x + 20 = 0$. По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = 4$ и $x_2 = 5$.
Так как это парабола с ветвями вверх, решением неравенства $x^2 - 9x + 20 > 0$ является объединение интервалов $x \in (-\infty, 4) \cup (5, +\infty)$.

Теперь найдем пересечение решений всех трех неравенств. Условие $x > 0$ поглощается более строгим условием $x \ge \frac{20}{9}$.
Ищем пересечение множеств $x \ge \frac{20}{9}$ и $x \in (-\infty, 4) \cup (5, +\infty)$.
Это дает нам два интервала: $[\frac{20}{9}, 4)$ и $(5, +\infty)$.

Ответ: $x \in [\frac{20}{9}, 4) \cup (5, +\infty)$.

Решим неравенство $\sqrt{x + 61} < x + 5$.

Данное неравенство также равносильно системе:

$\begin{cases} x + 61 \ge 0 \\ x + 5 > 0 \\ x + 61 < (x + 5)^2 \end{cases}$

Решим каждое неравенство:

1. $x + 61 \ge 0 \implies x \ge -61$.

2. $x + 5 > 0 \implies x > -5$.

3. $x + 61 < (x + 5)^2 \implies x + 61 < x^2 + 10x + 25 \implies x^2 + 9x - 36 > 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 + 9x - 36 = 0$.
Дискриминант $D = 9^2 - 4(1)(-36) = 81 + 144 = 225 = 15^2$.
Корни: $x_1 = \frac{-9 - 15}{2} = -12$ и $x_2 = \frac{-9 + 15}{2} = 3$.
Решением неравенства $x^2 + 9x - 36 > 0$ является $x \in (-\infty, -12) \cup (3, +\infty)$.

Теперь найдем пересечение решений системы. Условие $x > -5$ является более строгим, чем $x \ge -61$.
$\begin{cases} x > -5 \\ x \in (-\infty, -12) \cup (3, +\infty) \end{cases}$

Пересекая интервал $x > -5$ с объединением $(-\infty, -12) \cup (3, +\infty)$, получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in (3, +\infty)$.

Решим неравенство $2\sqrt{4 - x^2} \le x + 4$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ), потребовав, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:
$4 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 4 \implies -2 \le x \le 2$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [-2, 2]$.

На ОДЗ $x \in [-2, 2]$ правая часть неравенства $x+4$ всегда положительна, так как ее наименьшее значение равно $-2+4 = 2 > 0$.
Левая часть $2\sqrt{4 - x^2}$ также неотрицательна. Следовательно, можно возвести обе части неравенства в квадрат, не меняя знака неравенства:

$(2\sqrt{4 - x^2})^2 \le (x + 4)^2$

$4(4 - x^2) \le x^2 + 8x + 16$

$16 - 4x^2 \le x^2 + 8x + 16$

$0 \le 5x^2 + 8x$

$x(5x + 8) \ge 0$

Корни уравнения $x(5x+8)=0$ равны $x_1=0$ и $x_2 = -\frac{8}{5}$.
Решением этого квадратичного неравенства является $x \in (-\infty, -\frac{8}{5}] \cup [0, +\infty)$.

Теперь найдем пересечение полученного решения с ОДЗ $x \in [-2, 2]$:
$([-2, 2]) \cap ((-\infty, -\frac{8}{5}] \cup [0, +\infty)) = [-2, -\frac{8}{5}] \cup [0, 2]$.

Ответ: $x \in [-2, -\frac{8}{5}] \cup [0, 2]$.

Решим неравенство $\sqrt{x^2 + 4x - 5} < x - 3$.

Неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 + 4x - 5 \ge 0 \\ x - 3 > 0 \\ x^2 + 4x - 5 < (x - 3)^2 \end{cases}$

Решим каждое неравенство:

1. $x^2 + 4x - 5 \ge 0$.
Корни уравнения $x^2 + 4x - 5 = 0$ по теореме Виета равны $x_1 = -5$ и $x_2 = 1$.
Решение неравенства: $x \in (-\infty, -5] \cup [1, +\infty)$.

2. $x - 3 > 0 \implies x > 3$.

3. $x^2 + 4x - 5 < (x-3)^2 \implies x^2 + 4x - 5 < x^2 - 6x + 9$.
$4x - 5 < -6x + 9$
$10x < 14$
$x < \frac{14}{10} \implies x < 1.4$.

Найдем пересечение решений всех трех неравенств:
$\begin{cases} x \in (-\infty, -5] \cup [1, +\infty) \\ x > 3 \\ x < 1.4 \end{cases}$

Условия $x > 3$ и $x < 1.4$ противоречат друг другу, так как не существует числа, которое одновременно больше 3 и меньше 1.4. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: $\emptyset$ (решений нет).