Номер 1, страница 107 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Решите уравнение $\sqrt{x^2 - 4} + \sqrt{x^2 + 2x - 8} = \sqrt{x^2 - 6x + 8}$.

1.

Данное иррациональное уравнение:$$ \sqrt{x^2 - 4} + \sqrt{x^2 + 2x - 8} = \sqrt{x^2 - 6x + 8} $$

В первую очередь, определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной x. Для этого все подкоренные выражения должны быть неотрицательными.

$$ \begin{cases} x^2 - 4 \ge 0 \\ x^2 + 2x - 8 \ge 0 \\ x^2 - 6x + 8 \ge 0 \end{cases} $$

Решим каждое неравенство системы:

1) $x^2 - 4 \ge 0 \implies (x-2)(x+2) \ge 0$. Решением является $x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$.

2) $x^2 + 2x - 8 \ge 0 \implies (x+4)(x-2) \ge 0$. Решением является $x \in (-\infty, -4] \cup [2, \infty)$.

3) $x^2 - 6x + 8 \ge 0 \implies (x-2)(x-4) \ge 0$. Решением является $x \in (-\infty, 2] \cup [4, \infty)$.

Для нахождения ОДЗ найдем пересечение этих трех множеств. Удобно изобразить их на числовой оси. Пересечением будет множество $x \in (-\infty, -4] \cup \{2\} \cup [4, \infty)$.

Теперь приступим к решению уравнения. Заметим, что точка $x=2$ входит в ОДЗ. Проверим, является ли она корнем уравнения, подставив ее в исходное выражение:

$$ \sqrt{2^2 - 4} + \sqrt{2^2 + 2(2) - 8} = \sqrt{2^2 - 6(2) + 8} $$

$$ \sqrt{0} + \sqrt{0} = \sqrt{0} $$

$$ 0 = 0 $$

Равенство верное, значит, $x=2$ — один из корней уравнения.

Далее разложим подкоренные выражения на множители, что мы уже делали при нахождении ОДЗ:

$$ \sqrt{(x-2)(x+2)} + \sqrt{(x-2)(x+4)} = \sqrt{(x-2)(x-4)} $$

Рассмотрим решение уравнения на оставшихся частях ОДЗ.

Случай 1: $x \in [4, \infty)$.

На этом промежутке все множители $(x-2)$, $(x+2)$, $(x+4)$ и $(x-4)$ неотрицательны. Уравнение можно переписать так:

$$ \sqrt{x-2}\sqrt{x+2} + \sqrt{x-2}\sqrt{x+4} = \sqrt{x-2}\sqrt{x-4} $$

Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель $\sqrt{x-2}$:

$$ \sqrt{x-2} (\sqrt{x+2} + \sqrt{x+4} - \sqrt{x-4}) = 0 $$

Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

а) $\sqrt{x-2} = 0 \implies x=2$. Этот корень не входит в рассматриваемый промежуток $[4, \infty)$.

б) $\sqrt{x+2} + \sqrt{x+4} = \sqrt{x-4}$. Для любого $x \ge 4$ имеем $x+2 > x-4$, откуда $\sqrt{x+2} > \sqrt{x-4}$. Так как $\sqrt{x+4} > 0$, то левая часть уравнения строго больше правой. Следовательно, на этом промежутке решений нет.

Случай 2: $x \in (-\infty, -4]$.

На этом промежутке множители $(x-2)$, $(x+2)$, $(x+4)$ и $(x-4)$ являются отрицательными (кроме $x=-4$, где $x+4=0$). Используем свойство корня $\sqrt{ab} = \sqrt{-a}\sqrt{-b}$ для $a, b \le 0$.

$$ \sqrt{-(x-2)}\sqrt{-(x+2)} + \sqrt{-(x-2)}\sqrt{-(x+4)} = \sqrt{-(x-2)}\sqrt{-(x-4)} $$

$$ \sqrt{2-x}\sqrt{-x-2} + \sqrt{2-x}\sqrt{-x-4} = \sqrt{2-x}\sqrt{4-x} $$

Поскольку на промежутке $(-\infty, -4]$ выражение $2-x$ строго положительно, мы можем разделить обе части уравнения на $\sqrt{2-x} \neq 0$:

$$ \sqrt{-x-2} + \sqrt{-x-4} = \sqrt{4-x} $$

Обе части уравнения неотрицательны, поэтому мы можем возвести их в квадрат:

$$ (\sqrt{-x-2} + \sqrt{-x-4})^2 = (\sqrt{4-x})^2 $$

$$ (-x-2) + (-x-4) + 2\sqrt{(-x-2)(-x-4)} = 4-x $$

$$ -2x-6 + 2\sqrt{x^2+6x+8} = 4-x $$

$$ 2\sqrt{x^2+6x+8} = x+10 $$

Для выполнения следующего возведения в квадрат необходимо, чтобы правая часть была неотрицательной: $x+10 \ge 0$, т.е. $x \ge -10$. С учетом рассматриваемого случая, мы ищем решения на отрезке $[-10, -4]$.

Возводим в квадрат обе части:

$$ 4(x^2+6x+8) = (x+10)^2 $$

$$ 4x^2+24x+32 = x^2+20x+100 $$

$$ 3x^2+4x-68=0 $$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$$ D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-68) = 16 + 816 = 832 $$

$$ \sqrt{D} = \sqrt{832} = \sqrt{64 \cdot 13} = 8\sqrt{13} $$

Корни уравнения:

$$ x = \frac{-4 \pm 8\sqrt{13}}{6} = \frac{-2 \pm 4\sqrt{13}}{3} $$

Проверим, принадлежат ли эти корни отрезку $[-10, -4]$.

1) $x_1 = \frac{-2 + 4\sqrt{13}}{3}$. Так как $\sqrt{13} \approx 3.6$, то $x_1 \approx \frac{-2 + 4 \cdot 3.6}{3} = \frac{12.4}{3} \approx 4.13$. Этот корень не принадлежит отрезку $[-10, -4]$.

2) $x_2 = \frac{-2 - 4\sqrt{13}}{3}$. Так как $\sqrt{13} \approx 3.6$, то $x_2 \approx \frac{-2 - 4 \cdot 3.6}{3} = \frac{-16.4}{3} \approx -5.47$. Этот корень принадлежит отрезку $[-10, -4]$. Проверим точно:$ -10 \le \frac{-2-4\sqrt{13}}{3} \le -4 \iff -30 \le -2-4\sqrt{13} \le -12 \iff -28 \le -4\sqrt{13} \le -10 \iff 7 \ge \sqrt{13} \ge 2.5 \iff 49 \ge 13 \ge 6.25$. Неравенство верное.Следовательно, $x = \frac{-2 - 4\sqrt{13}}{3}$ является корнем.

Собрав все найденные корни, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = 2, x = \frac{-2 - 4\sqrt{13}}{3}$.