Номер 3, страница 107 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

3. Решите уравнение $\sqrt{x-1} + \sqrt{x+3} + 2\sqrt{(x-1)(x+3)} = 4 - 2x.$

Исходное уравнение в том виде, как оно записано на изображении, `\sqrt{x - 1 + \sqrt{x + 3 + 2\sqrt{(x-1)(x+3)}}} = 4 - 2x`, содержит сложное вложенное иррациональное выражение, которое не упрощается стандартными методами. Наиболее вероятно, что в условии допущена опечатка, и левая часть уравнения задумана как корень из полного квадрата. Предположим, что правильный вид уравнения следующий:

$\sqrt{(x-1) + (x+3) + 2\sqrt{(x-1)(x+3)}} = 4-2x$

Решим это уравнение.

Левая часть уравнения представляет собой корень из выражения, которое можно свернуть по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+b^2+2ab$. Пусть $a = \sqrt{x-1}$ и $b = \sqrt{x+3}$. Тогда:

$a^2 = (\sqrt{x-1})^2 = x-1$

$b^2 = (\sqrt{x+3})^2 = x+3$

$2ab = 2\sqrt{x-1}\sqrt{x+3} = 2\sqrt{(x-1)(x+3)}$

Таким образом, выражение под корнем в левой части равно $(x-1) + (x+3) + 2\sqrt{(x-1)(x+3)} = (\sqrt{x-1} + \sqrt{x+3})^2$.

Уравнение принимает вид:

$\sqrt{(\sqrt{x-1} + \sqrt{x+3})^2} = 4-2x$

$|\sqrt{x-1} + \sqrt{x+3}| = 4-2x$

Поскольку квадратный корень по определению является неотрицательной величиной, сумма двух корней $\sqrt{x-1} + \sqrt{x+3}$ также неотрицательна. Следовательно, знак модуля можно опустить:

$\sqrt{x-1} + \sqrt{x+3} = 4-2x$

Теперь найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$.

1. Подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

$x-1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1$

$x+3 \ge 0 \Rightarrow x \ge -3$

2. Левая часть уравнения (сумма арифметических корней) неотрицательна, значит, и правая часть должна быть неотрицательной:

$4-2x \ge 0 \Rightarrow 4 \ge 2x \Rightarrow x \le 2$

Объединяя все три условия ($x \ge 1$, $x \ge -3$ и $x \le 2$), получаем ОДЗ: $1 \le x \le 2$, или $x \in [1, 2]$.

Для решения уравнения рассмотрим функции, соответствующие левой и правой частям уравнения на отрезке $[1, 2]$:

$f(x) = \sqrt{x-1} + \sqrt{x+3}$

$g(x) = 4-2x$

Исследуем монотонность этих функций. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\sqrt{x-1} + \sqrt{x+3})' = \frac{1}{2\sqrt{x-1}} + \frac{1}{2\sqrt{x+3}}$

На интервале $(1, 2)$ оба слагаемых в $f'(x)$ строго положительны, значит, $f'(x) > 0$. Следовательно, функция $f(x)$ является строго возрастающей на своем отрезке определения $[1, 2]$.

Функция $g(x) = 4-2x$ является линейной с отрицательным угловым коэффициентом $k=-2$, поэтому она строго убывает на всей числовой прямой, включая отрезок $[1, 2]$.

Строго возрастающая и строго убывающая функции могут пересечься не более чем в одной точке. Это означает, что уравнение $f(x)=g(x)$ имеет не более одного решения.

Найдем это решение методом подбора, проверив одну из граничных точек ОДЗ. Проверим $x=1$:

$\sqrt{1-1} + \sqrt{1+3} = 4 - 2(1)$

$\sqrt{0} + \sqrt{4} = 4 - 2$

$0 + 2 = 2$

$2 = 2$

Равенство верное, значит, $x=1$ является решением уравнения. Поскольку мы доказали, что решение может быть только одно, $x=1$ и есть единственный корень уравнения.

Ответ: $1$.