Номер 5, страница 107 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

5. Решите уравнение $4x^2 + 12x\sqrt{1 + x} = 27(1 + x)$

Исходное уравнение: $4x^2+12x\sqrt{1+x}=27(1+x)$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:$1+x \ge 0 \implies x \ge -1$.

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить уравнение в виде $f(x)=0$:$4x^2+12x\sqrt{1+x}-27(1+x)=0$.

Это уравнение является однородным относительно выражений $x$ и $\sqrt{1+x}$.Проверим, является ли $x=-1$ корнем уравнения. При $x=-1$ выражение $\sqrt{1+x}$ равно нулю.Подставив $x=-1$ в исходное уравнение, получаем:$4(-1)^2 + 12(-1)\sqrt{1-1} = 27(1-1)$$4(1) + 0 = 0$$4 = 0$Это неверное равенство, следовательно, $x=-1$ не является корнем уравнения. Это означает, что $1+x \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $1+x$.

Разделим уравнение на $1+x$:$\frac{4x^2}{1+x} + \frac{12x\sqrt{1+x}}{1+x} - \frac{27(1+x)}{1+x} = 0$.Упростим выражение:$4\left(\frac{x}{\sqrt{1+x}}\right)^2 + 12\frac{x}{\sqrt{1+x}} - 27 = 0$.

Введем новую переменную. Пусть $t = \frac{x}{\sqrt{1+x}}$. Уравнение примет вид квадратного уравнения относительно $t$:$4t^2 + 12t - 27 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:$D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-27) = 144 + 432 = 576 = 24^2$.Найдем корни для $t$:$t_1 = \frac{-12 - 24}{2 \cdot 4} = \frac{-36}{8} = -\frac{9}{2}$$t_2 = \frac{-12 + 24}{2 \cdot 4} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$

Теперь необходимо выполнить обратную замену для каждого найденного значения $t$ и найти $x$.

1. Случай $t = \frac{3}{2}$$\frac{x}{\sqrt{1+x}} = \frac{3}{2}$Так как правая часть положительна и знаменатель $\sqrt{1+x}$ положителен (мы установили, что он не равен нулю), то и числитель $x$ должен быть положительным: $x>0$. Это условие не противоречит ОДЗ $x \ge -1$.Возведем обе части уравнения в квадрат:$\frac{x^2}{1+x} = \left(\frac{3}{2}\right)^2$$\frac{x^2}{1+x} = \frac{9}{4}$$4x^2 = 9(1+x)$$4x^2 - 9x - 9 = 0$Решим полученное квадратное уравнение:$D_x = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-9) = 81 + 144 = 225 = 15^2$.$x = \frac{9 \pm 15}{8}$$x_1 = \frac{9+15}{8} = \frac{24}{8} = 3$$x_2 = \frac{9-15}{8} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4}$Согласно условию $x>0$, корень $x_1=3$ подходит. Корень $x_2 = -3/4$ не удовлетворяет условию $x>0$, поэтому является посторонним для данного случая.

2. Случай $t = -\frac{9}{2}$$\frac{x}{\sqrt{1+x}} = -\frac{9}{2}$В этом случае числитель $x$ должен быть отрицательным: $x<0$. С учетом ОДЗ, искомый корень должен лежать в интервале $-1 < x < 0$.Возведем обе части уравнения в квадрат:$\frac{x^2}{1+x} = \left(-\frac{9}{2}\right)^2$$\frac{x^2}{1+x} = \frac{81}{4}$$4x^2 = 81(1+x)$$4x^2 - 81x - 81 = 0$Решим это уравнение:$D_x = (-81)^2 - 4 \cdot 4 \