Номер 5, страница 107 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

5. Решите уравнение $4x^2 + 12x\sqrt{1 + x} = 27(1 + x)$

Решение:

1. Область допустимых значений (ОДЗ):
Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$1 + x \ge 0 \Rightarrow x \ge -1$.

2. Введение замены:
Пусть $a = x$, а $b = \sqrt{1 + x}$ (где $b \ge 0$). Тогда $b^2 = 1 + x$.
Перепишем уравнение через $a$ и $b$:
$4a^2 + 12ab = 27b^2$
$4a^2 + 12ab - 27b^2 = 0$

3. Решение однородного уравнения:
Разделим обе части на $b^2$ (заметим, что если $b=0$, то $x=-1$, подставив в исходное уравнение: $4(-1)^2 + 0 = 27(0) \Rightarrow 4 = 0$ — неверно, значит $b \neq 0$):
$4(\frac{a}{b})^2 + 12(\frac{a}{b}) - 27 = 0$
Пусть $k = \frac{a}{b}$. Получаем квадратное уравнение:
$4k^2 + 12k - 27 = 0$
$D = 12^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-27) = 144 + 432 = 576 = 24^2$
$k_1 = \frac{-12 + 24}{8} = \frac{12}{8} = 1,5$
$k_2 = \frac{-12 - 24}{8} = -\frac{36}{8} = -4,5$

4. Обратная замена:
Случай 1: $\frac{a}{b} = 1,5 \Rightarrow \frac{x}{\sqrt{1 + x}} = 1,5$
Так как $\sqrt{1+x} > 0$, то $x$ должен быть положительным ($x > 0$).
Возведем в квадрат: $\frac{x^2}{1 + x} = 2,25 \Rightarrow x^2 = 2,25x + 2,25$
$x^2 - 2,25x - 2,25 = 0 \quad | \cdot 4$
$4x^2 - 9x - 9 = 0$
$D = 81 - 4 \cdot 4 \cdot (-9) = 81 + 144 = 225 = 15^2$
$x_1 = \frac{9 + 15}{8} = 3$; $x_2 = \frac{9 - 15}{8} = -0,75$ (не подходит по условию $x > 0$).

Случай 2: $\frac{a}{b} = -4,5 \Rightarrow \frac{x}{\sqrt{1 + x}} = -4,5$
Здесь $x$ должен быть отрицательным ($x < 0$).
Возведем в квадрат: $\frac{x^2}{1 + x} = 20,25 \Rightarrow x^2 = 20,25x + 20,25$
$x^2 - 20,25x - 20,25 = 0 \quad | \cdot 4$
$4x^2 - 81x - 81 = 0$
$D = 6561 - 4 \cdot 4 \cdot (-81) = 6561 + 1296 = 7857$
$x_3 = \frac{81 + \sqrt{7857}}{8}$ (положительный, не подходит);
$x_4 = \frac{81 - \sqrt{7857}}{8}$ (отрицательный, подходит, так как $\sqrt{7857} > 81$).

Ответ: $3; \frac{81 - \sqrt{7857}}{8}$