Номер 11, страница 107 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

11. Решите неравенство $\frac{1 - \sqrt{1 - 4x^2}}{x} < 3$.

1. Нахождение Области Допустимых Значений (ОДЗ)

Для того чтобы левая часть неравенства была определена, необходимо выполнение двух условий: выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, и знаменатель дроби не должен равняться нулю.

$$ \begin{cases} 1 - 4x^2 \ge 0 \\ x \ne 0 \end{cases} $$

Решим первое неравенство системы:

$1 - 4x^2 \ge 0$

$4x^2 \le 1$

$x^2 \le \frac{1}{4}$

Это неравенство выполняется при $-\frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}$.

С учетом второго условия ($x \ne 0$), получаем ОДЗ:

$x \in [-\frac{1}{2}, 0) \cup (0, \frac{1}{2}]$.

2. Решение неравенства

Преобразуем исходное неравенство. Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение $1 + \sqrt{1 - 4x^2}$, сопряженное числителю. На ОДЗ это выражение всегда строго положительно ($1 + \sqrt{1 - 4x^2} \ge 1$), поэтому данное преобразование является равносильным.

$$ \frac{(1 - \sqrt{1 - 4x^2})(1 + \sqrt{1 - 4x^2})}{x(1 + \sqrt{1 - 4x^2})} < 3 $$

Применив в числителе формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, получим:

$$ \frac{1^2 - (\sqrt{1 - 4x^2})^2}{x(1 + \sqrt{1 - 4x^2})} < 3 $$

$$ \frac{1 - (1 - 4x^2)}{x(1 + \sqrt{1 - 4x^2})} < 3 $$

$$ \frac{4x^2}{x(1 + \sqrt{1 - 4x^2})} < 3 $$

Так как в ОДЗ $x \ne 0$, мы можем сократить дробь на $x$:

$$ \frac{4x}{1 + \sqrt{1 - 4x^2}} < 3 $$

Знаменатель $1 + \sqrt{1 - 4x^2}$ положителен на ОДЗ. Следовательно, можно умножить обе части неравенства на этот знаменатель, сохранив знак неравенства:

$$ 4x < 3(1 + \sqrt{1 - 4x^2}) $$

$$ 4x - 3 < 3\sqrt{1 - 4x^2} $$

Получили иррациональное неравенство вида $f(x) < g(x)$, где $g(x) \ge 0$. Решение такого неравенства эквивалентно совокупности двух систем:

а) $\begin{cases} 4x - 3 < 0 \\ 1 - 4x^2 \ge 0 \end{cases}$ (в этом случае левая часть отрицательна, а правая неотрицательна, и неравенство всегда верно).

б) $\begin{cases} 4x - 3 \ge 0 \\ (4x - 3)^2 < (3\sqrt{1 - 4x^2})^2 \end{cases}$ (в этом случае обе части неотрицательны, и можно возвести их в квадрат).

Рассмотрим систему а):

$4x - 3 < 0 \implies 4x < 3 \implies x < \frac{3}{4}$.

Второе условие $1 - 4x^2 \ge 0$ соответствует ОДЗ ($x \in [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$). Все значения $x$ из ОДЗ удовлетворяют условию $x < \frac{3}{4}$ (так как $\frac{1}{2} = 0.5$, а $\frac{3}{4} = 0.75$). Следовательно, решением системы а) является вся область допустимых значений: $x \in [-\frac{1}{2}, 0) \cup (0, \frac{1}{2}]$.

Рассмотрим систему б):

$4x - 3 \ge 0 \implies x \ge \frac{3}{4}$.

Это условие не имеет общих точек с ОДЗ $x \in [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$. Следовательно, система б) не имеет решений.

Объединяя решения обеих систем, получаем, что решение исходного неравенства совпадает с его областью допустимых значений.

Ответ: $x \in [-\frac{1}{2}, 0) \cup (0, \frac{1}{2}]$.