Номер 13, страница 107 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

13. Решите неравенство $\sqrt[3]{x} - \sqrt{x+3} > 1$.

Для решения неравенства $3\sqrt{x} - \sqrt{x+3} > 1$ сначала определим область допустимых значений (ОДЗ).

Определение ОДЗ

Подкоренные выражения должны быть неотрицательными, поэтому получаем систему:

$\begin{cases} x \ge 0 \\ x+3 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 0 \\ x \ge -3 \end{cases}$

Общей областью является $x \ge 0$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [0, +\infty)$.

Решение неравенства

Перенесем второй корень в правую часть, чтобы упростить дальнейшие преобразования:

$3\sqrt{x} - 1 > \sqrt{x+3}$

Правая часть этого неравенства, $\sqrt{x+3}$, всегда неотрицательна. Для того чтобы неравенство выполнялось, левая часть, $3\sqrt{x} - 1$, должна быть строго положительной (поскольку отрицательное число не может быть больше неотрицательного). Это накладывает дополнительное условие:

$3\sqrt{x} - 1 > 0 \implies 3\sqrt{x} > 1 \implies \sqrt{x} > \frac{1}{3}$

Возводя в квадрат, получаем $x > \frac{1}{9}$.

Теперь, когда мы знаем, что обе части неравенства $3\sqrt{x} - 1 > \sqrt{x+3}$ положительны (при $x > 1/9$), мы можем возвести их в квадрат, не меняя знака неравенства:

$(3\sqrt{x} - 1)^2 > (\sqrt{x+3})^2$

$9x - 6\sqrt{x} + 1 > x+3$

$8x - 6\sqrt{x} - 2 > 0$

Разделив на 2, получим:

$4x - 3\sqrt{x} - 1 > 0$

Это неравенство является квадратным относительно $\sqrt{x}$. Сделаем замену: пусть $t = \sqrt{x}$. Учитывая условие $x > 1/9$, для новой переменной получаем $t > 1/3$. Неравенство принимает вид:

$4t^2 - 3t - 1 > 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $4t^2 - 3t - 1 = 0$:

$t_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1)}}{2 \cdot 4} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{8}$

$t_1 = \frac{3+5}{8} = 1$, $t_2 = \frac{3-5}{8} = -\frac{1}{4}$

Поскольку ветви параболы $y = 4t^2 - 3t - 1$ направлены вверх, неравенство $4t^2 - 3t - 1 > 0$ выполняется при $t < -1/4$ или $t > 1$.

Совместим это решение с условием $t > 1/3$. Из двух интервалов нам подходит только $t > 1$.

Произведем обратную замену:

$\sqrt{x} > 1$

Возведя обе части в квадрат, получаем окончательное решение:

$x > 1$

Данное решение $x > 1$ полностью удовлетворяет и ОДЗ ($x \ge 0$), и дополнительному условию ($x > 1/9$).

Ответ: $x \in (1, +\infty)$.