Номер 14, страница 107 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

14. Решите неравенство $\sqrt{x+3} < \sqrt{x-1} + \sqrt{x-2}$.

Дано иррациональное неравенство:
$\sqrt{x+3} < \sqrt{x-1} + \sqrt{x-2}$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Для этого все подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Составим систему неравенств:
$\begin{cases} x+3 \ge 0 \\ x-1 \ge 0 \\ x-2 \ge 0 \end{cases}$
Решением этой системы является:
$\begin{cases} x \ge -3 \\ x \ge 1 \\ x \ge 2 \end{cases} \implies x \ge 2$
Таким образом, ОДЗ: $x \in [2, +\infty)$.

2. На всей области допустимых значений обе части исходного неравенства являются положительными. Это позволяет нам возвести обе части в квадрат, сохраняя знак неравенства:
$(\sqrt{x+3})^2 < (\sqrt{x-1} + \sqrt{x-2})^2$
$x+3 < (x-1) + 2\sqrt{(x-1)(x-2)} + (x-2)$
$x+3 < 2x - 3 + 2\sqrt{x^2 - 3x + 2}$

3. Упростим неравенство, уединив слагаемое с корнем в одной части:
$x+3 - 2x + 3 < 2\sqrt{x^2 - 3x + 2}$
$6 - x < 2\sqrt{x^2 - 3x + 2}$

4. Для решения полученного неравенства рассмотрим два случая в зависимости от знака выражения $6-x$.

Случай 1: левая часть отрицательна, то есть $6 - x < 0 \implies x > 6$.
В этом случае неравенство $6 - x < 2\sqrt{x^2 - 3x + 2}$ всегда верно, так как отрицательное число всегда меньше неотрицательного (значение корня не может быть отрицательным). Учитывая ОДЗ ($x \ge 2$), все значения $x > 6$ являются решением.
Решение в этом случае: $x \in (6, +\infty)$.

Случай 2: левая часть неотрицательна, то есть $6 - x \ge 0 \implies x \le 6$.
С учетом ОДЗ, этот случай рассматривается на промежутке $x \in [2, 6]$.
На этом промежутке обе части неравенства $6 - x < 2\sqrt{x^2 - 3x + 2}$ неотрицательны, поэтому мы можем снова возвести их в квадрат:
$(6-x)^2 < (2\sqrt{x^2 - 3x + 2})^2$
$36 - 12x + x^2 < 4(x^2 - 3x + 2)$
$36 - 12x + x^2 < 4x^2 - 12x + 8$
$36 - 8 < 4x^2 - x^2$
$28 < 3x^2$
$x^2 > \frac{28}{3}$
Решением этого квадратичного неравенства является $x \in (-\infty, -\sqrt{\frac{28}{3}}) \cup (\sqrt{\frac{28}{3}}, +\infty)$.
Вычислим значение корня: $\sqrt{\frac{28}{3}} = \frac{\sqrt{28}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{7}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{21}}{3}$.
Оценим это значение: $4 < \sqrt{21} < 5$, поэтому $8 < 2\sqrt{21} < 10$, и $\frac{8}{3} < \frac{2\sqrt{21}}{3} < \frac{10}{3}$. То есть, $2.66 < \frac{2\sqrt{21}}{3} < 3.34$.
Нам нужно найти пересечение множества решений $x^2 > \frac{28}{3}$ с промежутком $[2, 6]$, на котором мы рассматриваем данный случай.
Поскольку $\frac{2\sqrt{21}}{3} > 2$, то пересечение будет $(\frac{2\sqrt{21}}{3}, 6]$.

5. Объединим решения, полученные в обоих случаях:
Из случая 1: $x \in (6, +\infty)$.
Из случая 2: $x \in (\frac{2\sqrt{21}}{3}, 6]$.
Объединение этих двух множеств дает итоговый ответ: $(\frac{2\sqrt{21}}{3}, 6] \cup (6, +\infty) = (\frac{2\sqrt{21}}{3}, +\infty)$.

Ответ: $(\frac{2\sqrt{21}}{3}, +\infty)$.