Номер 12, страница 107 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

12. Решите неравенство $\frac{\sqrt{8 - 2x - x^2}}{x + 10} \le \frac{\sqrt{8 - 2x - x^2}}{2x + 9}$.

Исходное неравенство:

$$ \frac{\sqrt{8 - 2x - x^2}}{x + 10} \le \frac{\sqrt{8 - 2x - x^2}}{2x + 9} $$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Для этого должны выполняться следующие условия: выражение под корнем должно быть неотрицательным, а знаменатели дробей не должны быть равны нулю.

1. Условие на подкоренное выражение: $8 - 2x - x^2 \ge 0$. Умножим неравенство на $-1$ и изменим знак: $x^2 + 2x - 8 \le 0$. Найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 8 = 0$. По теореме Виета (или через дискриминант) корни равны $x_1 = -4$ и $x_2 = 2$. Так как парабола $y = x^2 + 2x - 8$ имеет ветви, направленные вверх, неравенство выполняется на отрезке между корнями: $x \in [-4, 2]$.

2. Условия на знаменатели: $x + 10 \ne 0 \implies x \ne -10$ и $2x + 9 \ne 0 \implies x \ne -4.5$.

Оба значения $x=-10$ и $x=-4.5$ не входят в отрезок $[-4, 2]$, поэтому ОДЗ неравенства совпадает с решением первого пункта: $x \in [-4, 2]$.

Теперь решим само неравенство. Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель за скобку:

$$ \frac{\sqrt{8 - 2x - x^2}}{x + 10} - \frac{\sqrt{8 - 2x - x^2}}{2x + 9} \le 0 $$

$$ \sqrt{8 - 2x - x^2} \left( \frac{1}{x + 10} - \frac{1}{2x + 9} \right) \le 0 $$

Произведение двух множителей не положительно, если один из множителей равен нулю, или если множители имеют разные знаки. Рассмотрим два возможных случая в рамках ОДЗ.

Случай 1. Первый множитель равен нулю: $\sqrt{8 - 2x - x^2} = 0$.

Это происходит при $x = -4$ или $x = 2$. При этих значениях $x$ левая часть неравенства обращается в ноль, и неравенство $0 \le 0$ выполняется. Оба корня входят в ОДЗ. Следовательно, $x = -4$ и $x = 2$ являются решениями.

Случай 2. Первый множитель строго больше нуля: $\sqrt{8 - 2x - x^2} > 0$.

Это соответствует интервалу $x \in (-4, 2)$. В этом случае первый множитель положителен, и мы можем разделить на него обе части неравенства, сохранив его знак. Получаем:

$$ \frac{1}{x + 10} - \frac{1}{2x + 9} \le 0 $$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$$ \frac{(2x + 9) - (x + 10)}{(x + 10)(2x + 9)} \le 0 $$

$$ \frac{x - 1}{(x + 10)(2x + 9)} \le 0 $$

Решим это рациональное неравенство методом интервалов. Корни числителя и знаменателя: $x = 1$, $x = -10$, $x = -4.5$. Отметим их на числовой оси и определим знаки выражения на получившихся интервалах. С учетом знака $\le$, решением будет объединение интервалов, где выражение отрицательно, и точек, где оно равно нулю (только корень числителя). Это дает нам $x \in (-\infty, -10) \cup (-4.5, 1]$.

Теперь необходимо учесть ограничение $x \in (-4, 2)$ для этого случая. Найдем пересечение множества решений $x \in (-\infty, -10) \cup (-4.5, 1]$ с интервалом $x \in (-4, 2)$.

Пересечением является полуинтервал $(-4, 1]$.

Для получения итогового ответа объединим решения, найденные в обоих случаях: значения $x = -4$ и $x = 2$ из первого случая и полуинтервал $(-4, 1]$ из второго.

Объединяя $\{ -4, 2 \}$ и $(-4, 1]$, получаем множество $[-4, 1] \cup \{2\}$.

Ответ: $x \in [-4, 1] \cup \{2\}$.