Номер 7, страница 107 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

7. Решите уравнение $\sqrt[3]{(x+3)^2} + \sqrt[3]{(6-x)^2} - \sqrt[3]{(x+3)(6-x)} = 3$.

Для решения данного уравнения $\sqrt[3]{(x+3)^2} + \sqrt[3]{(6-x)^2} - \sqrt[3]{(x+3)(6-x)} = 3$ введем замену переменных.

Пусть $a = \sqrt[3]{x+3}$ и $b = \sqrt[3]{6-x}$.

Тогда исходное уравнение можно переписать в следующем виде:

$a^2 + b^2 - ab = 3$

Теперь найдем еще одно соотношение, связывающее переменные $a$ и $b$. Для этого возведем в куб выражения, введенные при замене:

$a^3 = (\sqrt[3]{x+3})^3 = x+3$

$b^3 = (\sqrt[3]{6-x})^3 = 6-x$

Сложив эти два равенства, мы можем исключить переменную $x$:

$a^3 + b^3 = (x+3) + (6-x) = 9$

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений с двумя переменными $a$ и $b$:

$\begin{cases} a^2 - ab + b^2 = 3 \\ a^3 + b^3 = 9 \end{cases}$

Воспользуемся формулой суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ для второго уравнения системы. Подставим в него значение выражения $a^2 - ab + b^2$ из первого уравнения:

$(a+b) \cdot 3 = 9$

Отсюда следует, что:

$a+b = 3$

Теперь мы можем составить новую, более простую систему. Чтобы найти произведение $ab$, возведем уравнение $a+b=3$ в квадрат:

$(a+b)^2 = 3^2 \implies a^2 + 2ab + b^2 = 9$

Вычтем из полученного уравнения $a^2 + 2ab + b^2 = 9$ уравнение $a^2 - ab + b^2 = 3$:

$(a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - ab + b^2) = 9 - 3$

$3ab = 6$

$ab = 2$

В итоге мы имеем систему, которую можно решить с помощью теоремы, обратной теореме Виета:

$\begin{cases} a+b = 3 \\ ab = 2 \end{cases}$

Числа $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (a+b)t + ab = 0$. Подставим в него найденные значения суммы и произведения:

$t^2 - 3t + 2 = 0$

Корни этого уравнения можно найти путем разложения на множители: $(t-1)(t-2)=0$. Отсюда $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.

Это означает, что для пары $(a, b)$ есть два возможных варианта: $(1, 2)$ или $(2, 1)$. Рассмотрим оба.

Случай 1: $a=1$ и $b=2$.

Выполним обратную замену для $a$: $\sqrt[3]{x+3} = 1$.

Возведем обе части в куб: $x+3 = 1^3 \implies x+3 = 1 \implies x = -2$.

Проверим, выполняется ли при $x=-2$ условие для $b=2$: $\sqrt[3]{6-x} = \sqrt[3]{6-(-2)} = \sqrt[3]{8} = 2$. Условие выполняется, следовательно, $x=-2$ является корнем уравнения.

Случай 2: $a=2$ и $b=1$.

Выполним обратную замену для $a$: $\sqrt[3]{x+3} = 2$.

Возведем обе части в куб: $x+3 = 2^3 \implies x+3 = 8 \implies x = 5$.

Проверим, выполняется ли при $x=5$ условие для $b=1$: $\sqrt[3]{6-x} = \sqrt[3]{6-5} = \sqrt[3]{1} = 1$. Условие выполняется, следовательно, $x=5$ также является корнем уравнения.

Ответ: $-2; 5$.