Номер 2, страница 107 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

2. Решите уравнение $\sqrt{2x^2+5x+2}-\sqrt{x^2+x-2}=\sqrt{3x+6}$.

Данное иррациональное уравнение: $ \sqrt{2x^2+5x+2} - \sqrt{x^2+x-2} = \sqrt{3x+6} $

В первую очередь определим область допустимых значений (ОДЗ), для которой все подкоренные выражения неотрицательны. Составим систему неравенств: $ \begin{cases} 2x^2+5x+2 \ge 0 \\ x^2+x-2 \ge 0 \\ 3x+6 \ge 0 \end{cases} $

Решим каждое неравенство отдельно:
1. $3x+6 \ge 0 \implies 3x \ge -6 \implies x \ge -2$.
2. $x^2+x-2 \ge 0$. Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2+x-2=0$. По теореме Виета, корни $x_1=1$, $x_2=-2$. Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -2] \cup [1, \infty)$.
3. $2x^2+5x+2 \ge 0$. Найдем корни уравнения $2x^2+5x+2=0$. Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$. Корни $x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{4}$, то есть $x_1 = \frac{-5-3}{4}=-2$ и $x_2 = \frac{-5+3}{4}=-\frac{1}{2}$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -2] \cup [-\frac{1}{2}, \infty)$.

Теперь найдем пересечение всех трех решений: $ x \in [-2, \infty) \cap ((-\infty, -2] \cup [1, \infty)) \cap ((-\infty, -2] \cup [-\frac{1}{2}, \infty)) $
Общим решением системы является множество $x \in \{-2\} \cup [1, \infty)$. Это и есть ОДЗ нашего уравнения.

Проверим, является ли $x=-2$ корнем уравнения, подставив его в исходное выражение: $ \sqrt{2(-2)^2+5(-2)+2} - \sqrt{(-2)^2+(-2)-2} = \sqrt{3(-2)+6} $ $ \sqrt{8-10+2} - \sqrt{4-2-2} = \sqrt{-6+6} $ $ \sqrt{0} - \sqrt{0} = \sqrt{0} $ $ 0 = 0 $
Равенство верное, значит $x=-2$ — один из корней уравнения.

Теперь решим уравнение для $x \in [1, \infty)$. Разложим подкоренные выражения на множители, используя найденные ранее корни: $ 2x^2+5x+2 = (x+2)(2x+1) $ $ x^2+x-2 = (x+2)(x-1) $ $ 3x+6 = 3(x+2) $
Подставим эти выражения в уравнение: $ \sqrt{(x+2)(2x+1)} - \sqrt{(x+2)(x-1)} = \sqrt{3(x+2)} $
Вынесем общий множитель $\sqrt{x+2}$ за скобки: $ \sqrt{x+2}(\sqrt{2x+1} - \sqrt{x-1}) = \sqrt{x+2}\sqrt{3} $ $ \sqrt{x+2}(\sqrt{2x+1} - \sqrt{x-1} - \sqrt{3}) = 0 $
Это уравнение распадается на два:
1) $\sqrt{x+2} = 0 \implies x=-2$. Этот корень мы уже нашли, и он входит в ОДЗ.
2) $\sqrt{2x+1} - \sqrt{x-1} - \sqrt{3} = 0$.

Решим второе уравнение: $ \sqrt{2x+1} - \sqrt{x-1} = \sqrt{3} $
Перенесем один из корней в правую часть и возведем обе части в квадрат: $ \sqrt{2x+1} = \sqrt{x-1} + \sqrt{3} $ $ (\sqrt{2x+1})^2 = (\sqrt{x-1} + \sqrt{3})^2 $ $ 2x+1 = (x-1) + 2\sqrt{3(x-1)} + 3 $ $ 2x+1 = x+2 + 2\sqrt{3x-3} $
Уединим оставшийся радикал: $ x-1 = 2\sqrt{3x-3} $
Для $x \ge 1$ левая часть $x-1 \ge 0$, поэтому можно снова возвести обе части в квадрат: $ (x-1)^2 = (2\sqrt{3x-3})^2 $ $ x^2-2x+1 = 4(3x-3) $ $ x^2-2x+1 = 12x-12 $ $ x^2-14x+13 = 0 $
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, его корни: $ x_1=1, x_2=13 $
Оба корня $x=1$ и $x=13$ принадлежат ОДЗ ($x \in \{-2\} \cup [1, \infty)$).

Таким образом, мы нашли три корня уравнения: -2, 1 и 13.
Ответ: -2; 1; 13.