Номер 13.4, страница 102 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

13.4. Решите неравенство:

1) $x > \sqrt{24 - 5x}$;

2) $\sqrt{2x + 7} \le x + 2$;

3) $\sqrt{3x - x^2} < 4 - x$;

4) $3 - x > 3\sqrt{1 - x^2}$;

5) $\sqrt{x^2 + 3x + 3} < 2x + 1;$

6) $\sqrt{7x - x^2 - 6} < 2x + 3.$

1)

Решим неравенство $x > \sqrt{24 - 5x}$.
Данное неравенство равносильно системе из трех условий:

$ \begin{cases} 24 - 5x \ge 0 & \text{(подкоренное выражение неотрицательно)} \\ x > 0 & \text{(левая часть больше правой, которая неотрицательна)} \\ x^2 > 24 - 5x & \text{(можно возвести в квадрат, так как обе части неотрицательны)} \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы:

1. $24 - 5x \ge 0 \implies 24 \ge 5x \implies x \le 4.8$.

2. $x > 0$.

3. $x^2 > 24 - 5x \implies x^2 + 5x - 24 > 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 5x - 24 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1 = -8$ и $x_2 = 3$.
Так как ветви параболы $y = x^2 + 5x - 24$ направлены вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -8) \cup (3, \infty)$.

Теперь найдем пересечение решений всех трех неравенств: $x \in (0, 4.8] \cap ((-\infty, -8) \cup (3, \infty))$.
Пересечением является интервал $(3, 4.8]$.

Ответ: $(3, 4.8]$.

2)

Решим неравенство $\sqrt{2x + 7} \le x + 2$.
Данное неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} 2x + 7 \ge 0 & \text{(подкоренное выражение неотрицательно)} \\ x + 2 \ge 0 & \text{(правая часть не меньше левой, которая неотрицательна)} \\ 2x + 7 \le (x + 2)^2 & \text{(можно возвести в квадрат, так как обе части неотрицательны)} \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы:

1. $2x + 7 \ge 0 \implies 2x \ge -7 \implies x \ge -3.5$.

2. $x + 2 \ge 0 \implies x \ge -2$.

3. $2x + 7 \le x^2 + 4x + 4 \implies 0 \le x^2 + 2x - 3$.
Найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1 = -3$ и $x_2 = 1$.
Так как ветви параболы $y = x^2 + 2x - 3$ направлены вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -3] \cup [1, \infty)$.

Найдем пересечение решений: $x \ge -2$ и $x \in (-\infty, -3] \cup [1, \infty)$.
Пересечением является промежуток $[1, \infty)$. Условие $x \ge -3.5$ при этом также выполняется.

Ответ: $[1, \infty)$.

3)

Решим неравенство $\sqrt{3x - x^2} < 4 - x$.
Данное неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} 3x - x^2 \ge 0 \\ 4 - x > 0 \\ 3x - x^2 < (4 - x)^2 \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы:

1. $3x - x^2 \ge 0 \implies x(3 - x) \ge 0$.
Корни $x=0$ и $x=3$. Ветви параболы $y = -x^2 + 3x$ направлены вниз, поэтому неравенство выполняется между корнями: $x \in [0, 3]$.

2. $4 - x > 0 \implies x < 4$.

3. $3x - x^2 < 16 - 8x + x^2 \implies 0 < 2x^2 - 11x + 16$.
Найдем дискриминант квадратного трехчлена $2x^2 - 11x + 16$:
$D = (-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 16 = 121 - 128 = -7$.
Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a=2 > 0$, выражение $2x^2 - 11x + 16$ положительно при любых $x$.

Найдем пересечение решений: $x \in [0, 3]$ и $x < 4$.
Пересечением является отрезок $[0, 3]$.

Ответ: $[0, 3]$.

4)

Решим неравенство $3 - x > 3\sqrt{1 - x^2}$.
Данное неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} 1 - x^2 \ge 0 \\ 3 - x > 0 \\ (3 - x)^2 > (3\sqrt{1 - x^2})^2 \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы:

1. $1 - x^2 \ge 0 \implies (1 - x)(1 + x) \ge 0$.
Корни $x=-1$ и $x=1$. Ветви параболы $y = 1 - x^2$ направлены вниз, поэтому неравенство выполняется при $x \in [-1, 1]$.

2. $3 - x > 0 \implies x < 3$.

3. $9 - 6x + x^2 > 9(1 - x^2) \implies 9 - 6x + x^2 > 9 - 9x^2 \implies 10x^2 - 6x > 0 \implies 2x(5x - 3) > 0$.
Корни $x=0$ и $x=3/5$. Ветви параболы $y = 10x^2 - 6x$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 0) \cup (3/5, \infty)$.

Найдем пересечение решений: $x \in [-1, 1]$ и $x \in (-\infty, 0) \cup (3/5, \infty)$. (Условие $x < 3$ уже учтено в первом неравенстве).
Пересечением является объединение интервалов $[-1, 0) \cup (3/5, 1]$.

Ответ: $[-1, 0) \cup (3/5, 1]$.

5)

Решим неравенство $\sqrt{x^2 + 3x + 3} < 2x + 1$.
Данное неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} x^2 + 3x + 3 \ge 0 \\ 2x + 1 > 0 \\ x^2 + 3x + 3 < (2x + 1)^2 \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы:

1. $x^2 + 3x + 3 \ge 0$.
Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 - 12 = -3$.
Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a=1 > 0$, выражение $x^2 + 3x + 3$ всегда положительно. Неравенство верно для всех $x \in \mathbb{R}$.

2. $2x + 1 > 0 \implies 2x > -1 \implies x > -1/2$.

3. $x^2 + 3x + 3 < 4x^2 + 4x + 1 \implies 0 < 3x^2 + x - 2$.
Найдем корни уравнения $3x^2 + x - 2 = 0$.
$D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$.
$x = \frac{-1 \pm 5}{6}$. Корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 2/3$.
Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -1) \cup (2/3, \infty)$.

Найдем пересечение решений: $x > -1/2$ и $x \in (-\infty, -1) \cup (2/3, \infty)$.
Пересечением является интервал $(2/3, \infty)$.

Ответ: $(2/3, \infty)$.

6)

Решим неравенство $\sqrt{7x - x^2 - 6} < 2x + 3$.
Данное неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} 7x - x^2 - 6 \ge 0 \\ 2x + 3 > 0 \\ 7x - x^2 - 6 < (2x + 3)^2 \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы:

1. $7x - x^2 - 6 \ge 0 \implies x^2 - 7x + 6 \le 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 7x + 6 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 6$.
Ветви параболы $y = x^2 - 7x + 6$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями: $x \in [1, 6]$.

2. $2x + 3 > 0 \implies 2x > -3 \implies x > -1.5$.

3. $7x - x^2 - 6 < 4x^2 + 12x + 9 \implies 0 < 5x^2 + 5x + 15 \implies x^2 + x + 3 > 0$.
Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 1 - 12 = -11$.
Так как $D < 0$ и $a=1 > 0$, выражение $x^2 + x + 3$ всегда положительно. Неравенство верно для всех $x \in \mathbb{R}$.

Найдем пересечение решений: $x \in [1, 6]$ и $x > -1.5$.
Пересечением является отрезок $[1, 6]$.

Ответ: $[1, 6]$.