Номер 12.10, страница 100 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

12.10. Решите уравнение, используя метод замены переменной:

1) $(x^2 + 3x)^2 - 2(x^2 + 3x) - 8 = 0;$

2) $(x^2 + x + 1)(x^2 + x + 2) = 12;$

3) $\frac{x - 1}{x} - \frac{3x}{2(x - 1)} = -\frac{5}{2};$

4) $\frac{x^2}{(2x + 3)^2} - \frac{3x}{2x + 3} + 2 = 0.$

1) $(x^2 + 3x)^2 - 2(x^2 + 3x) - 8 = 0;$

Введем замену переменной. Пусть $t = x^2 + 3x$. Тогда исходное уравнение примет вид квадратного уравнения относительно $t$:
$t^2 - 2t - 8 = 0$.

Решим это уравнение с помощью теоремы Виета:
Сумма корней $t_1 + t_2 = 2$.
Произведение корней $t_1 \cdot t_2 = -8$.
Отсюда находим корни: $t_1 = 4$ и $t_2 = -2$.

Выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.
1. Если $t = 4$, то $x^2 + 3x = 4$.
$x^2 + 3x - 4 = 0$.
По теореме Виета, корни этого уравнения $x_1 = 1$ и $x_2 = -4$.
2. Если $t = -2$, то $x^2 + 3x = -2$.
$x^2 + 3x + 2 = 0$.
По теореме Виета, корни этого уравнения $x_3 = -1$ и $x_4 = -2$.

Ответ: $-4; -2; -1; 1$.

2) $(x^2 + x + 1)(x^2 + x + 2) = 12;$

Введем замену переменной. Пусть $t = x^2 + x$. Уравнение преобразуется к виду:
$(t + 1)(t + 2) = 12$.

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:
$t^2 + 3t + 2 = 12$
$t^2 + 3t - 10 = 0$.
По теореме Виета, корни уравнения для $t$: $t_1 = 2$ и $t_2 = -5$.

Выполним обратную замену.
1. Если $t = 2$, то $x^2 + x = 2$.
$x^2 + x - 2 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.
2. Если $t = -5$, то $x^2 + x = -5$.
$x^2 + x + 5 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 1 - 20 = -19$.
Так как $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: $-2; 1$.

3) $\frac{x-1}{x} - \frac{3x}{2(x-1)} = -\frac{5}{2};$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0$ и $x \neq 1$.
Введем замену: пусть $t = \frac{x-1}{x}$. Тогда $\frac{3x}{2(x-1)} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{t}$.
Уравнение принимает вид:
$t - \frac{3}{2t} = -\frac{5}{2}$.

Умножим обе части уравнения на $2t$ (с учетом, что $t \neq 0$, так как $x \neq 1$):
$2t^2 - 3 = -5t$
$2t^2 + 5t - 3 = 0$.

Решим квадратное уравнение для $t$ через дискриминант:
$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.
$t_1 = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
$t_2 = \frac{-5 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-12}{4} = -3$.

Выполним обратную замену.
1. Если $t = \frac{1}{2}$, то $\frac{x-1}{x} = \frac{1}{2}$.
$2(x-1) = x \implies 2x - 2 = x \implies x = 2$.
2. Если $t = -3$, то $\frac{x-1}{x} = -3$.
$x-1 = -3x \implies 4x = 1 \implies x = \frac{1}{4}$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $\frac{1}{4}; 2$.

4) $\frac{x^2}{(2x+3)^2} - \frac{3x}{2x+3} + 2 = 0.$

ОДЗ: $2x+3 \neq 0$, следовательно, $x \neq -\frac{3}{2}$.
Уравнение можно представить в виде:
$(\frac{x}{2x+3})^2 - 3(\frac{x}{2x+3}) + 2 = 0$.

Введем замену: пусть $t = \frac{x}{2x+3}$. Уравнение примет вид:
$t^2 - 3t + 2 = 0$.
По теореме Виета, корни этого уравнения $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.

Выполним обратную замену.
1. Если $t = 1$, то $\frac{x}{2x+3} = 1$.
$x = 2x+3 \implies -x = 3 \implies x = -3$.
2. Если $t = 2$, то $\frac{x}{2x+3} = 2$.
$x = 2(2x+3) \implies x = 4x+6 \implies -3x = 6 \implies x = -2$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-3; -2$.