Номер 12.5, страница 99 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

12.5. Решите уравнение:

1) $\sqrt{2x + 6} - \sqrt{x + 1} = 2;$

2) $\sqrt{x + 5} - \sqrt{x} = 1;$

3) $\sqrt{x - 5} - \sqrt{9 - x} = 1;$

4) $\sqrt{2x + 5} = 8 - \sqrt{x - 1};$

5) $\sqrt{x + 5} + \sqrt{5 - x} = 4;$

6) $\sqrt{3x - 1} + \sqrt{x + 3} = 2;$

7) $\sqrt{x + \sqrt{x + 11}} + \sqrt{x - \sqrt{x + 11}} = 4.$

1) $\sqrt{2x+6}-\sqrt{x+1}=2$
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Подкоренные выражения должны быть неотрицательными:
$\begin{cases} 2x + 6 \ge 0 \\ x + 1 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 2x \ge -6 \\ x \ge -1 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -3 \\ x \ge -1 \end{cases}$
Пересечением этих условий является $x \ge -1$.
Перенесем один из корней в правую часть уравнения, чтобы уединить его:
$\sqrt{2x+6} = 2 + \sqrt{x+1}$
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{2x+6})^2 = (2 + \sqrt{x+1})^2$
$2x+6 = 4 + 4\sqrt{x+1} + (x+1)$
$2x+6 = x + 5 + 4\sqrt{x+1}$
Приведем подобные слагаемые и снова уединим корень:
$2x - x + 6 - 5 = 4\sqrt{x+1}$
$x+1 = 4\sqrt{x+1}$
Возведем обе части в квадрат еще раз. Заметим, что $x+1$ должно быть неотрицательным, так как правая часть $4\sqrt{x+1} \ge 0$. Условие $x+1 \ge 0$ совпадает с нашей ОДЗ.
$(x+1)^2 = (4\sqrt{x+1})^2$
$x^2 + 2x + 1 = 16(x+1)$
$x^2 + 2x + 1 = 16x + 16$
$x^2 - 14x - 15 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 196 + 60 = 256 = 16^2$
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 \pm 16}{2}$
$x_1 = \frac{14+16}{2} = \frac{30}{2} = 15$
$x_2 = \frac{14-16}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \ge -1$). Сделаем проверку, подставив их в исходное уравнение.
Для $x=15$: $\sqrt{2(15)+6} - \sqrt{15+1} = \sqrt{36} - \sqrt{16} = 6 - 4 = 2$. Верно.
Для $x=-1$: $\sqrt{2(-1)+6} - \sqrt{-1+1} = \sqrt{4} - \sqrt{0} = 2 - 0 = 2$. Верно.
Ответ: -1; 15.

2) $\sqrt{x+5}-\sqrt{x}=1$
ОДЗ: $\begin{cases} x+5 \ge 0 \\ x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -5 \\ x \ge 0 \end{cases} \implies x \ge 0$.
$\sqrt{x+5} = 1 + \sqrt{x}$
Возведем в квадрат:
$x+5 = (1+\sqrt{x})^2$
$x+5 = 1 + 2\sqrt{x} + x$
$4 = 2\sqrt{x}$
$2 = \sqrt{x}$
Возведем в квадрат еще раз:
$x = 4$
Корень $x=4$ удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 0$).
Проверка: $\sqrt{4+5} - \sqrt{4} = \sqrt{9} - 2 = 3 - 2 = 1$. Верно.
Ответ: 4.

3) $\sqrt{x-5}-\sqrt{9-x}=1$
ОДЗ: $\begin{cases} x-5 \ge 0 \\ 9-x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 5 \\ x \le 9 \end{cases} \implies 5 \le x \le 9$.
$\sqrt{x-5} = 1 + \sqrt{9-x}$
Возведем в квадрат:
$x-5 = (1+\sqrt{9-x})^2$
$x-5 = 1 + 2\sqrt{9-x} + (9-x)$
$x-5 = 10-x + 2\sqrt{9-x}$
$2x - 15 = 2\sqrt{9-x}$
Прежде чем возводить в квадрат, необходимо убедиться, что левая часть неотрицательна: $2x-15 \ge 0 \implies 2x \ge 15 \implies x \ge 7.5$.
С учетом ОДЗ получаем новое ограничение: $7.5 \le x \le 9$.
Возведем в квадрат: $(2x-15)^2 = (2\sqrt{9-x})^2$
$4x^2 - 60x + 225 = 4(9-x)$
$4x^2 - 60x + 225 = 36 - 4x$
$4x^2 - 56x + 189 = 0$
$D = (-56)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 189 = 3136 - 3024 = 112$. $\sqrt{D} = \sqrt{112} = \sqrt{16 \cdot 7} = 4\sqrt{7}$.
$x = \frac{56 \pm 4\sqrt{7}}{8} = \frac{14 \pm \sqrt{7}}{2}$
$x_1 = \frac{14 + \sqrt{7}}{2} \approx \frac{14 + 2.646}{2} \approx 8.323$. Этот корень входит в промежуток $[7.5, 9]$.
$x_2 = \frac{14 - \sqrt{7}}{2} \approx \frac{14 - 2.646}{2} \approx 5.677$. Этот корень не входит в промежуток $[7.5, 9]$, значит, он посторонний.
Ответ: $\frac{14 + \sqrt{7}}{2}$.

4) $\sqrt{2x+5}=8-\sqrt{x-1}$
ОДЗ: $\begin{cases} 2x+5 \ge 0 \\ x-1 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -2.5 \\ x \ge 1 \end{cases} \implies x \ge 1$.
Также правая часть должна быть неотрицательной: $8 - \sqrt{x-1} \ge 0 \implies 8 \ge \sqrt{x-1} \implies 64 \ge x-1 \implies x \le 65$.
Объединяя условия, получаем $1 \le x \le 65$.
Возведем обе части в квадрат:
$2x+5 = (8-\sqrt{x-1})^2$
$2x+5 = 64 - 16\sqrt{x-1} + (x-1)$
$2x+5 = x + 63 - 16\sqrt{x-1}$
$x-58 = -16\sqrt{x-1}$
$58-x = 16\sqrt{x-1}$
Левая часть должна быть неотрицательной: $58-x \ge 0 \implies x \le 58$. С учетом предыдущих ограничений, $1 \le x \le 58$.
Возводим в квадрат: $(58-x)^2 = (16\sqrt{x-1})^2$
$3364 - 116x + x^2 = 256(x-1)$
$x^2 - 116x + 3364 = 256x - 256$
$x^2 - 372x + 3620 = 0$
$D = (-372)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3620 = 138384 - 14480 = 123904 = 352^2$.
$x = \frac{372 \pm 352}{2}$
$x_1 = \frac{372+352}{2} = 362$. Этот корень не входит в промежуток $[1, 58]$.
$x_2 = \frac{372-352}{2} = 10$. Этот корень входит в промежуток $[1, 58]$.
Проверка: $\sqrt{2(10)+5} = \sqrt{25}=5$. $8-\sqrt{10-1}=8-3=5$. Верно.
Ответ: 10.

5) $\sqrt{x+5}+\sqrt{5-x}=4$
ОДЗ: $\begin{cases} x+5 \ge 0 \\ 5-x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -5 \\ x \le 5 \end{cases} \implies -5 \le x \le 5$.
Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{x+5}+\sqrt{5-x})^2 = 4^2$
$(x+5) + 2\sqrt{(x+5)(5-x)} + (5-x) = 16$
$10 + 2\sqrt{25-x^2} = 16$
$2\sqrt{25-x^2} = 6$
$\sqrt{25-x^2} = 3$
Возведем в квадрат: $25-x^2 = 9$
$x^2 = 16$
$x = \pm 4$
Оба корня, $4$ и $-4$, принадлежат ОДЗ $[-5, 5]$.
Проверка для $x=4$: $\sqrt{4+5}+\sqrt{5-4}=\sqrt{9}+\sqrt{1}=3+1=4$. Верно.
Проверка для $x=-4$: $\sqrt{-4+5}+\sqrt{5-(-4)}=\sqrt{1}+\sqrt{9}=1+3=4$. Верно.
Ответ: -4; 4.

6) $\sqrt{3x-1}+\sqrt{x+3}=2$
ОДЗ: $\begin{cases} 3x-1 \ge 0 \\ x+3 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 1/3 \\ x \ge -3 \end{cases} \implies x \ge 1/3$.
Возведем в квадрат: $(\sqrt{3x-1}+\sqrt{x+3})^2=2^2$
$(3x-1) + 2\sqrt{(3x-1)(x+3)} + (x+3) = 4$
$4x+2+2\sqrt{3x^2+8x-3}=4$
$2\sqrt{3x^2+8x-3} = 2-4x$
$\sqrt{3x^2+8x-3} = 1-2x$
Правая часть должна быть неотрицательной: $1-2x \ge 0 \implies 1 \ge 2x \implies x \le 1/2$.
С учетом ОДЗ, получаем ограничение: $1/3 \le x \le 1/2$.
Возводим в квадрат: $3x^2+8x-3 = (1-2x)^2 = 1 - 4x + 4x^2$
$x^2 - 12x + 4 = 0$
$D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 144 - 16 = 128$. $\sqrt{D}=\sqrt{128}=8\sqrt{2}$.
$x = \frac{12 \pm 8\sqrt{2}}{2} = 6 \pm 4\sqrt{2}$.
$x_1 = 6+4\sqrt{2}$. Этот корень очевидно больше $1/2$, значит, он посторонний.
$x_2 = 6-4\sqrt{2} \approx 6 - 4 \cdot 1.414 = 6-5.656 = 0.344$.
Поскольку $1/3 \approx 0.333$ и $1/2 = 0.5$, то $0.333 < 0.344 < 0.5$. Этот корень удовлетворяет условиям.
Ответ: $6-4\sqrt{2}$.

7) $\sqrt{x+\sqrt{x}+11}+\sqrt{x-\sqrt{x}+11}=4$
Найдем ОДЗ. Из-за наличия $\sqrt{x}$ необходимо, чтобы $x \ge 0$.
Рассмотрим подкоренные выражения:
1. $x+\sqrt{x}+11$. Сделаем замену $t = \sqrt{x}$, где $t \ge 0$. Получим квадратный трехчлен $t^2+t+11$. Его дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = -43 < 0$. Так как старший коэффициент положителен, трехчлен всегда принимает положительные значения.
2. $x-\sqrt{x}+11$. Аналогично, $t^2-t+11$ имеет $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = -43 < 0$, и это выражение также всегда положительно.
Следовательно, ОДЗ уравнения: $x \ge 0$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(x+\sqrt{x}+11) + (x-\sqrt{x}+11) + 2\sqrt{(x+\sqrt{x}+11)(x-\sqrt{x}+11)} = 16$
$2x+22+2\sqrt{((x+11)+\sqrt{x})((x+11)-\sqrt{x})} = 16$
Используя формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$:
$2x+22+2\sqrt{(x+11)^2 - (\sqrt{x})^2} = 16$
$2x+22+2\sqrt{x^2+22x+121 - x} = 16$
$2x+22+2\sqrt{x^2+21x+121} = 16$
Разделим уравнение на 2:
$x+11+\sqrt{x^2+21x+121} = 8$
Уединим корень:
$\sqrt{x^2+21x+121} = 8 - 11 - x$
$\sqrt{x^2+21x+121} = -x - 3$
Левая часть уравнения (арифметический квадратный корень) по определению неотрицательна. Следовательно, и правая часть должна быть неотрицательной:
$-x - 3 \ge 0 \implies -x \ge 3 \implies x \le -3$
Мы получили систему из двух несовместных условий:
$\begin{cases} x \ge 0 \text{ (из ОДЗ)} \\ x \le -3 \text{ (из решения)} \end{cases}$
Эта система не имеет решений. Следовательно, исходное уравнение не имеет корней.
Ответ: корней нет.