Страница 99 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

12.1. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x-1} \cdot \sqrt{x+4} = 6;$

2) $\sqrt{2x+3} \cdot \sqrt{x-2} = 3;$

3) $\sqrt{x+1} \cdot \sqrt{x+2} = 4;$

4) $\sqrt{x} \cdot \sqrt{1-x} = x;$

5) $\frac{x-2}{\sqrt{2x-7}} = \sqrt{x-4};$

6) $\sqrt{x-9} + \sqrt{x} = \frac{36}{\sqrt{x-9}};$

7) $\sqrt{7-x} + \frac{12}{\sqrt{7-x}} = 2\sqrt{5x+37}.$

1) $\sqrt{x-1} \cdot \sqrt{x+4} = 6$
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными:
$x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$
$x+4 \ge 0 \implies x \ge -4$
Пересекая эти условия, получаем ОДЗ: $x \ge 1$.
На ОДЗ обе части уравнения неотрицательны, поэтому можно возвести их в квадрат:
$(\sqrt{x-1} \cdot \sqrt{x+4})^2 = 6^2$
$\sqrt{(x-1)(x+4)}^2 = 36$
$(x-1)(x+4) = 36$
$x^2 + 4x - x - 4 = 36$
$x^2 + 3x - 40 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 9 + 160 = 169 = 13^2$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-3 + 13}{2 \cdot 1} = \frac{10}{2} = 5$
$x_2 = \frac{-3 - 13}{2 \cdot 1} = \frac{-16}{2} = -8$
Проверим, принадлежат ли корни ОДЗ ($x \ge 1$).
Корень $x_1 = 5$ удовлетворяет условию $5 \ge 1$.
Корень $x_2 = -8$ не удовлетворяет условию $-8 \ge 1$, поэтому является посторонним.
Ответ: $5$.

2) $\sqrt{2x+3} \cdot \sqrt{x-2} = 3$
ОДЗ:
$2x+3 \ge 0 \implies 2x \ge -3 \implies x \ge -1.5$
$x-2 \ge 0 \implies x \ge 2$
Общая ОДЗ: $x \ge 2$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{2x+3} \cdot \sqrt{x-2})^2 = 3^2$
$(2x+3)(x-2) = 9$
$2x^2 - 4x + 3x - 6 = 9$
$2x^2 - x - 15 = 0$
Решим квадратное уравнение. $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 1 + 120 = 121 = 11^2$.
$x_1 = \frac{1 + 11}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$
$x_2 = \frac{1 - 11}{2 \cdot 2} = \frac{-10}{4} = -2.5$
Проверка по ОДЗ ($x \ge 2$):
$x_1 = 3$ удовлетворяет ОДЗ.
$x_2 = -2.5$ не удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $3$.

3) $\sqrt{x+1} \cdot \sqrt{x+2} = 4$
ОДЗ:
$x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$
$x+2 \ge 0 \implies x \ge -2$
Общая ОДЗ: $x \ge -1$.
Возведем обе части в квадрат:
$(x+1)(x+2) = 4^2$
$x^2 + 2x + x + 2 = 16$
$x^2 + 3x - 14 = 0$
$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 9 + 56 = 65$.
$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{65}}{2}$
$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{65}}{2}$
Проверка по ОДЗ ($x \ge -1$):
Так как $\sqrt{64} < \sqrt{65} < \sqrt{81}$, то $8 < \sqrt{65} < 9$.
$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{65}}{2} > \frac{-3+8}{2} = 2.5$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ.
$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{65}}{2} < \frac{-3-8}{2} = -5.5$. Этот корень не удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $\frac{-3 + \sqrt{65}}{2}$.

4) $\sqrt{x} \cdot \sqrt{1-x} = x$
ОДЗ:
$x \ge 0$
$1-x \ge 0 \implies x \le 1$
Общая ОДЗ: $0 \le x \le 1$.
Запишем уравнение как $\sqrt{x(1-x)} = x$.
Очевидно, что $x=0$ является корнем: $\sqrt{0}\cdot\sqrt{1-0} = 0 \implies 0=0$. Верно.
Рассмотрим случай $x \neq 0$. На ОДЗ ($0 < x \le 1$) обе части уравнения неотрицательны, поэтому их можно возвести в квадрат:
$x(1-x) = x^2$
$x - x^2 = x^2$
$x - 2x^2 = 0$
$x(1-2x) = 0$
Отсюда $x=0$ (уже найденный корень) или $1-2x=0 \implies 2x=1 \implies x = \frac{1}{2}$.
Корень $x = \frac{1}{2}$ принадлежит ОДЗ.
Ответ: $0; \frac{1}{2}$.

5) $\frac{x-2}{\sqrt{2x-7}} = \sqrt{x-4}$
ОДЗ:
$2x-7 > 0 \implies x > 3.5$
$x-4 \ge 0 \implies x \ge 4$
Общая ОДЗ: $x \ge 4$.
На ОДЗ правая часть $\sqrt{x-4} \ge 0$ и знаменатель $\sqrt{2x-7} > 0$. Следовательно, числитель $x-2$ должен быть неотрицателен: $x-2 \ge 0 \implies x \ge 2$. Это условие выполняется в рамках ОДЗ.
Домножим обе части на $\sqrt{2x-7}$:
$x-2 = \sqrt{x-4} \cdot \sqrt{2x-7}$
Возведем обе части в квадрат:
$(x-2)^2 = (x-4)(2x-7)$
$x^2 - 4x + 4 = 2x^2 - 7x - 8x + 28$
$x^2 - 4x + 4 = 2x^2 - 15x + 28$
$x^2 - 11x + 24 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна 11, а произведение 24. Корни: $x_1=3$, $x_2=8$.
Проверка по ОДЗ ($x \ge 4$):
$x_1=3$ не удовлетворяет ОДЗ.
$x_2=8$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $8$.

6) $\sqrt{x-9} + \sqrt{x} = \frac{36}{\sqrt{x-9}}$
ОДЗ:
$x-9 > 0 \implies x > 9$
$x \ge 0$
Общая ОДЗ: $x > 9$.
Домножим обе части на $\sqrt{x-9}$ (на ОДЗ он не равен нулю):
$(\sqrt{x-9})^2 + \sqrt{x}\sqrt{x-9} = 36$
$x-9 + \sqrt{x(x-9)} = 36$
$\sqrt{x^2 - 9x} = 36 - x + 9$
$\sqrt{x^2 - 9x} = 45 - x$
Для возведения в квадрат правая часть должна быть неотрицательной:
$45 - x \ge 0 \implies x \le 45$.
С учетом ОДЗ, получаем ограничение $9 < x \le 45$.
Возводим в квадрат:
$x^2 - 9x = (45 - x)^2$
$x^2 - 9x = 2025 - 90x + x^2$
$-9x = 2025 - 90x$
$81x = 2025$
$x = \frac{2025}{81} = 25$
Корень $x=25$ удовлетворяет условию $9 < 25 \le 45$.
Ответ: $25$.

7) $\sqrt{7-x} + \frac{12}{\sqrt{7-x}} = 2\sqrt{5x+37}$
ОДЗ:
$7-x > 0 \implies x < 7$
$5x+37 \ge 0 \implies 5x \ge -37 \implies x \ge -7.4$
Общая ОДЗ: $-7.4 \le x < 7$.
Приведем левую часть к общему знаменателю:
$\frac{(\sqrt{7-x})^2 + 12}{\sqrt{7-x}} = 2\sqrt{5x+37}$
$\frac{7-x+12}{\sqrt{7-x}} = 2\sqrt{5x+37}$
$\frac{19-x}{\sqrt{7-x}} = 2\sqrt{5x+37}$
На ОДЗ правая часть неотрицательна, знаменатель левой части положителен. Значит, числитель $19-x$ должен быть неотрицателен: $19-x \ge 0 \implies x \le 19$. Это условие выполняется для всех $x$ из ОДЗ.
Возведем обе части в квадрат:
$\frac{(19-x)^2}{7-x} = 4(5x+37)$
$361 - 38x + x^2 = 4(7-x)(5x+37)$
$361 - 38x + x^2 = 4(35x + 259 - 5x^2 - 37x)$
$361 - 38x + x^2 = 4(-5x^2 - 2x + 259)$
$361 - 38x + x^2 = -20x^2 - 8x + 1036$
$21x^2 - 30x - 675 = 0$
Разделим уравнение на 3:
$7x^2 - 10x - 225 = 0$
$D = (-10)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-225) = 100 + 6300 = 6400 = 80^2$.
$x_1 = \frac{10 + 80}{14} = \frac{90}{14} = \frac{45}{7}$
$x_2 = \frac{10 - 80}{14} = \frac{-70}{14} = -5$
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($-7.4 \le x < 7$):
$x_1 = \frac{45}{7} \approx 6.43$. Корень удовлетворяет ОДЗ.
$x_2 = -5$. Корень удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $-5; \frac{45}{7}$.

12.2. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x+2} \cdot \sqrt{x+8} = 4;$

2) $x-1 = \sqrt{2x-5} \cdot \sqrt{x+1};$

3) $\frac{x+3}{\sqrt{x-1}} = \sqrt{3x+1};$

4) $\frac{12}{\sqrt{x+10}} - \sqrt{2x+3} = \sqrt{x+10}.$

1) Дано уравнение $\sqrt{x+2} \cdot \sqrt{x+8} = 4$. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под корнями должны быть неотрицательными: $x+2 \ge 0 \implies x \ge -2$ $x+8 \ge 0 \implies x \ge -8$ Общая ОДЗ: $x \ge -2$. Объединим корни в левой части уравнения: $\sqrt{(x+2)(x+8)} = 4$. Так как обе части уравнения неотрицательны, возведем их в квадрат: $(x+2)(x+8) = 4^2$ $x^2 + 8x + 2x + 16 = 16$ $x^2 + 10x = 0$ Вынесем $x$ за скобки: $x(x+10) = 0$ Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -10$. Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge -2$). Корень $x_1 = 0$ удовлетворяет условию, так как $0 \ge -2$. Корень $x_2 = -10$ не удовлетворяет условию, так как $-10 < -2$, и является посторонним. Следовательно, уравнение имеет единственное решение. Ответ: $x=0$.

2) Дано уравнение $x - 1 = \sqrt{2x-5} \cdot \sqrt{x+1}$. Найдем ОДЗ. Выражения под корнями должны быть неотрицательными, а также левая часть уравнения должна быть неотрицательной, так как она равна произведению корней. $2x-5 \ge 0 \implies 2x \ge 5 \implies x \ge 2.5$ $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$ $x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$ Общая ОДЗ для уравнения: $x \ge 2.5$. Объединим корни в правой части: $x-1 = \sqrt{(2x-5)(x+1)}$. Возведем обе части уравнения в квадрат: $(x-1)^2 = (2x-5)(x+1)$ $x^2 - 2x + 1 = 2x^2 + 2x - 5x - 5$ $x^2 - 2x + 1 = 2x^2 - 3x - 5$ Приведем подобные слагаемые и получим квадратное уравнение: $x^2 - x - 6 = 0$ Решим уравнение с помощью теоремы Виета или через дискриминант. Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$. Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 2.5$). Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет условию ($3 \ge 2.5$). Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию ($-2 < 2.5$), значит, это посторонний корень. Ответ: $x=3$.

3) Дано уравнение $\frac{x+3}{\sqrt{x-1}} = \sqrt{3x+1}$. Найдем ОДЗ. Знаменатель не может быть равен нулю, а выражения под корнями должны быть неотрицательными. $x-1 > 0 \implies x > 1$ $3x+1 \ge 0 \implies 3x \ge -1 \implies x \ge -1/3$ Общая ОДЗ: $x > 1$. При $x > 1$ обе части уравнения положительны. Умножим обе части на $\sqrt{x-1}$: $x+3 = \sqrt{3x+1} \cdot \sqrt{x-1}$ $x+3 = \sqrt{(3x+1)(x-1)}$ Возведем обе части в квадрат: $(x+3)^2 = (3x+1)(x-1)$ $x^2 + 6x + 9 = 3x^2 - 3x + x - 1$ $x^2 + 6x + 9 = 3x^2 - 2x - 1$ Перенесем все члены в одну сторону: $2x^2 - 8x - 10 = 0$ Разделим уравнение на 2: $x^2 - 4x - 5 = 0$ Найдем корни квадратного уравнения. По теореме Виета: $x_1 = 5$ и $x_2 = -1$. Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > 1$). Корень $x_1 = 5$ удовлетворяет условию ($5 > 1$). Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет условию ($-1 \ngtr 1$), поэтому является посторонним. Ответ: $x=5$.

4) Дано уравнение $\frac{12}{\sqrt{x+10}} - \sqrt{2x+3} = \sqrt{x+10}$. Найдем ОДЗ. $x+10 > 0 \implies x > -10$ $2x+3 \ge 0 \implies 2x \ge -3 \implies x \ge -1.5$ Общая ОДЗ: $x \ge -1.5$. Перенесем член $\sqrt{2x+3}$ в правую часть: $\frac{12}{\sqrt{x+10}} = \sqrt{x+10} + \sqrt{2x+3}$ Умножим обе части уравнения на $\sqrt{x+10}$ (при $x \ge -1.5$ этот множитель положителен): $12 = (\sqrt{x+10})^2 + \sqrt{2x+3}\sqrt{x+10}$ $12 = x+10 + \sqrt{(2x+3)(x+10)}$ Изолируем радикал: $12 - x - 10 = \sqrt{(2x+3)(x+10)}$ $2 - x = \sqrt{2x^2 + 20x + 3x + 30}$ $2 - x = \sqrt{2x^2 + 23x + 30}$ Для возведения в квадрат необходимо, чтобы левая часть была неотрицательной: $2 - x \ge 0 \implies x \le 2$. С учетом ОДЗ получаем ограничение на $x$: $-1.5 \le x \le 2$. Возводим в квадрат: $(2-x)^2 = 2x^2 + 23x + 30$ $4 - 4x + x^2 = 2x^2 + 23x + 30$ Приводим к стандартному виду квадратного уравнения: $x^2 + 27x + 26 = 0$ Решаем уравнение. По теореме Виета, корни $x_1 = -1$ и $x_2 = -26$. Проверим корни на соответствие условию $-1.5 \le x \le 2$. Корень $x_1 = -1$ удовлетворяет условию ($-1.5 \le -1 \le 2$). Корень $x_2 = -26$ не удовлетворяет условию, является посторонним. Ответ: $x=-1$.

12.3. Решите уравнение:

1) $\sqrt{4 + 2x - x^2} = x - 2;$

2) $\sqrt{6 - 4x - x^2} = x + 4;$

3) $\sqrt{x^2 + 8} = 2x + 1;$

4) $\sqrt{2x^2 - 7x + 5} = 1 - x;$

5) $\sqrt{x} = x - 1;$

6) $\sqrt{x^2 - 1} = 3 - 2x.$

1) Дано уравнение $\sqrt{4 + 2x - x^2} = x - 2$.

Данное иррациональное уравнение вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$ равносильно системе, состоящей из уравнения, полученного возведением в квадрат обеих частей исходного, и неравенства, которое является условием неотрицательности правой части:

$\begin{cases} x - 2 \ge 0 \\ 4 + 2x - x^2 = (x - 2)^2 \end{cases}$

Сначала решим неравенство, чтобы определить область допустимых значений переменной $x$:

$x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$.

Теперь решим уравнение:

$4 + 2x - x^2 = x^2 - 4x + 4$

Перенесем все члены в правую часть:

$0 = (x^2 - 4x + 4) - (4 + 2x - x^2)$

$0 = 2x^2 - 6x$

Вынесем общий множитель $2x$ за скобки:

$2x(x - 3) = 0$

Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни условию $x \ge 2$.

Корень $x_1 = 0$ не удовлетворяет этому условию, так как $0 < 2$, значит, это посторонний корень.

Корень $x_2 = 3$ удовлетворяет условию, так как $3 \ge 2$.

Ответ: $3$.

2) Дано уравнение $\sqrt{6 - 4x - x^2} = x + 4$.

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x + 4 \ge 0 \\ 6 - 4x - x^2 = (x + 4)^2 \end{cases}$

Решим неравенство:

$x + 4 \ge 0 \implies x \ge -4$.

Решим уравнение:

$6 - 4x - x^2 = x^2 + 8x + 16$

Перенесем все члены в правую часть:

$0 = (x^2 + 8x + 16) - (6 - 4x - x^2)$

$0 = 2x^2 + 12x + 10$

Разделим обе части на 2:

$x^2 + 6x + 5 = 0$

По теореме Виета находим корни: $x_1 = -5$, $x_2 = -1$.

Проверим корни на соответствие условию $x \ge -4$.

Корень $x_1 = -5$ не удовлетворяет условию, так как $-5 < -4$. Это посторонний корень.

Корень $x_2 = -1$ удовлетворяет условию, так как $-1 \ge -4$.

Ответ: $-1$.

3) Дано уравнение $\sqrt{x^2 + 8} = 2x + 1$.

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} 2x + 1 \ge 0 \\ x^2 + 8 = (2x + 1)^2 \end{cases}$

Решим неравенство:

$2x + 1 \ge 0 \implies 2x \ge -1 \implies x \ge -1/2$.

Решим уравнение:

$x^2 + 8 = 4x^2 + 4x + 1$

$0 = 3x^2 + 4x - 7$

Найдем дискриминант: $D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7) = 16 + 84 = 100$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-4 - \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 - 10}{6} = \frac{-14}{6} = -\frac{7}{3}$

$x_2 = \frac{-4 + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 + 10}{6} = \frac{6}{6} = 1$

Проверим корни на соответствие условию $x \ge -1/2$.

Корень $x_1 = -7/3$ не удовлетворяет условию, так как $-7/3 \approx -2.33 < -0.5$. Это посторонний корень.

Корень $x_2 = 1$ удовлетворяет условию, так как $1 \ge -0.5$.

Ответ: $1$.

4) Дано уравнение $\sqrt{2x^2 - 7x + 5} = 1 - x$.

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} 1 - x \ge 0 \\ 2x^2 - 7x + 5 = (1 - x)^2 \end{cases}$

Решим неравенство:

$1 - x \ge 0 \implies x \le 1$.

Решим уравнение:

$2x^2 - 7x + 5 = 1 - 2x + x^2$

$2x^2 - x^2 - 7x + 2x + 5 - 1 = 0$

$x^2 - 5x + 4 = 0$

По теореме Виета находим корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 4$.

Проверим корни на соответствие условию $x \le 1$.

Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет условию, так как $1 \le 1$.

Корень $x_2 = 4$ не удовлетворяет условию, так как $4 > 1$. Это посторонний корень.

Ответ: $1$.

5) Дано уравнение $\sqrt{x} = x - 1$.

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x - 1 \ge 0 \\ x = (x - 1)^2 \end{cases}$

Решим неравенство:

$x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$.

Решим уравнение:

$x = x^2 - 2x + 1$

$0 = x^2 - 3x + 1$

Найдем дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

$x_2 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

Проверим корни на соответствие условию $x \ge 1$.

Так как $\sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9}$, то $2 < \sqrt{5} < 3$.

Для корня $x_1 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$: $3 - \sqrt{5}$ будет меньше 1 ($3-2.23.. \approx 0.77$), значит $\frac{3 - \sqrt{5}}{2} < 1$. Этот корень не удовлетворяет условию.

Для корня $x_2 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$: $3 + \sqrt{5}$ будет больше 2 ($3+2.23.. \approx 5.23$), значит $\frac{3 + \sqrt{5}}{2} > 1$. Этот корень удовлетворяет условию.

Ответ: $\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$.

6) Дано уравнение $\sqrt{x^2 - 1} = 3 - 2x$.

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} 3 - 2x \ge 0 \\ x^2 - 1 = (3 - 2x)^2 \end{cases}$

Решим неравенство:

$3 - 2x \ge 0 \implies 3 \ge 2x \implies x \le 3/2$.

Решим уравнение:

$x^2 - 1 = 9 - 12x + 4x^2$

$0 = 3x^2 - 12x + 10$

Найдем дискриминант: $D = (-12)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 10 = 144 - 120 = 24$.

Найдем корни:

$x = \frac{12 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 3} = \frac{12 \pm 2\sqrt{6}}{6} = \frac{6 \pm \sqrt{6}}{3}$

$x_1 = \frac{6 - \sqrt{6}}{3}$

$x_2 = \frac{6 + \sqrt{6}}{3}$

Проверим корни на соответствие условию $x \le 3/2$ (или $x \le 1.5$).

Так как $2 < \sqrt{6} < 3$ (ближе к 2.45), то:

$x_1 = \frac{6 - \sqrt{6}}{3} \approx \frac{6 - 2.45}{3} = \frac{3.55}{3} \approx 1.18$. Так как $1.18 < 1.5$, этот корень подходит.

$x_2 = \frac{6 + \sqrt{6}}{3} \approx \frac{6 + 2.45}{3} = \frac{8.45}{3} \approx 2.82$. Так как $2.82 > 1.5$, этот корень не подходит.

Ответ: $\frac{6 - \sqrt{6}}{3}$.

12.4. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x^2 - 4x + 13} = \frac{1}{2}x + 2;$

2) $\sqrt{2x^2 + 8x + 7} - 2 = x;$

3) $\sqrt{x + 2} = 1 - x.$

1) $\sqrt{x^2 - 4x + 13} = \frac{1}{2}x + 2$

Данное уравнение является иррациональным. Для его решения возведем обе части в квадрат, предварительно определив область допустимых значений (ОДЗ).

1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x^2 - 4x + 13 \ge 0$. Найдем дискриминант этого квадратного трехчлена: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 16 - 52 = -36$. Так как дискриминант отрицательный, а старший коэффициент (1) положителен, выражение $x^2 - 4x + 13$ всегда положительно при любом значении $x$.

2. Правая часть уравнения также должна быть неотрицательной, так как она равна значению арифметического квадратного корня: $\frac{1}{2}x + 2 \ge 0$ $\frac{1}{2}x \ge -2$ $x \ge -4$. Это и есть наше условие для корней.

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x^2 - 4x + 13})^2 = (\frac{1}{2}x + 2)^2$

$x^2 - 4x + 13 = \frac{1}{4}x^2 + 2 \cdot (\frac{1}{2}x) \cdot 2 + 2^2$

$x^2 - 4x + 13 = \frac{1}{4}x^2 + 2x + 4$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$x^2 - \frac{1}{4}x^2 - 4x - 2x + 13 - 4 = 0$

$\frac{3}{4}x^2 - 6x + 9 = 0$

Умножим все уравнение на 4, чтобы избавиться от дроби:

$3x^2 - 24x + 36 = 0$

Разделим все уравнение на 3:

$x^2 - 8x + 12 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а их произведение равно 12. Корнями являются числа 2 и 6.

$x_1 = 2$, $x_2 = 6$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $x \ge -4$.

Для $x=2$: $2 \ge -4$ (верно).

Для $x=6$: $6 \ge -4$ (верно).

Оба корня подходят.

Ответ: $2; 6$.

2) $\sqrt{2x^2 + 8x + 7} - 2 = x$

Сначала изолируем радикал в левой части уравнения:

$\sqrt{2x^2 + 8x + 7} = x + 2$

Уравнение вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$ равносильно системе, состоящей из уравнения, полученного возведением в квадрат, и неравенства, требующего неотрицательность правой части:

$\begin{cases} x + 2 \ge 0 \\ 2x^2 + 8x + 7 = (x+2)^2 \end{cases}$

Решим сначала неравенство:

$x + 2 \ge 0 \implies x \ge -2$.

Теперь решим уравнение:

$2x^2 + 8x + 7 = x^2 + 4x + 4$

$2x^2 - x^2 + 8x - 4x + 7 - 4 = 0$

$x^2 + 4x + 3 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна -4, а произведение равно 3. Корнями являются числа -1 и -3.

$x_1 = -1$, $x_2 = -3$.

Теперь проверим, удовлетворяют ли эти корни условию $x \ge -2$.

Для $x = -1$: $-1 \ge -2$ (верно). Этот корень подходит.

Для $x = -3$: $-3 \ge -2$ (неверно). Этот корень является посторонним.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $-1$.

3) $\sqrt{x + 2} = 1 - x$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным, и правая часть уравнения (которая равна корню) также должна быть неотрицательной.

$\begin{cases} x + 2 \ge 0 \\ 1 - x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -2 \\ x \le 1 \end{cases}$

Следовательно, корень уравнения должен принадлежать промежутку $[-2; 1]$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x + 2})^2 = (1-x)^2$

$x + 2 = 1 - 2x + x^2$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 2x - x + 1 - 2 = 0$

$x^2 - 3x - 1 = 0$

Решим это уравнение с помощью формулы корней квадратного уравнения:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 9 + 4 = 13$

$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}$

Получаем два потенциальных корня: $x_1 = \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$ и $x_2 = \frac{3 - \sqrt{13}}{2}$.

Проверим, принадлежат ли эти корни ОДЗ, то есть промежутку $[-2; 1]$.

Для $x_1 = \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$: Так как $\sqrt{13} \approx 3.6$, то $x_1 \approx \frac{3 + 3.6}{2} = \frac{6.6}{2} = 3.3$. Это значение не входит в промежуток $[-2; 1]$, так как $3.3 > 1$. Следовательно, $x_1$ - посторонний корень.

Для $x_2 = \frac{3 - \sqrt{13}}{2}$: Так как $\sqrt{13} \approx 3.6$, то $x_2 \approx \frac{3 - 3.6}{2} = \frac{-0.6}{2} = -0.3$. Это значение входит в промежуток $[-2; 1]$. Следовательно, $x_2$ является решением уравнения.

Ответ: $\frac{3 - \sqrt{13}}{2}$.

12.5. Решите уравнение:

1) $\sqrt{2x + 6} - \sqrt{x + 1} = 2;$

2) $\sqrt{x + 5} - \sqrt{x} = 1;$

3) $\sqrt{x - 5} - \sqrt{9 - x} = 1;$

4) $\sqrt{2x + 5} = 8 - \sqrt{x - 1};$

5) $\sqrt{x + 5} + \sqrt{5 - x} = 4;$

6) $\sqrt{3x - 1} + \sqrt{x + 3} = 2;$

7) $\sqrt{x + \sqrt{x + 11}} + \sqrt{x - \sqrt{x + 11}} = 4.$

1) $\sqrt{2x+6}-\sqrt{x+1}=2$
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Подкоренные выражения должны быть неотрицательными:
$\begin{cases} 2x + 6 \ge 0 \\ x + 1 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 2x \ge -6 \\ x \ge -1 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -3 \\ x \ge -1 \end{cases}$
Пересечением этих условий является $x \ge -1$.
Перенесем один из корней в правую часть уравнения, чтобы уединить его:
$\sqrt{2x+6} = 2 + \sqrt{x+1}$
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{2x+6})^2 = (2 + \sqrt{x+1})^2$
$2x+6 = 4 + 4\sqrt{x+1} + (x+1)$
$2x+6 = x + 5 + 4\sqrt{x+1}$
Приведем подобные слагаемые и снова уединим корень:
$2x - x + 6 - 5 = 4\sqrt{x+1}$
$x+1 = 4\sqrt{x+1}$
Возведем обе части в квадрат еще раз. Заметим, что $x+1$ должно быть неотрицательным, так как правая часть $4\sqrt{x+1} \ge 0$. Условие $x+1 \ge 0$ совпадает с нашей ОДЗ.
$(x+1)^2 = (4\sqrt{x+1})^2$
$x^2 + 2x + 1 = 16(x+1)$
$x^2 + 2x + 1 = 16x + 16$
$x^2 - 14x - 15 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 196 + 60 = 256 = 16^2$
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 \pm 16}{2}$
$x_1 = \frac{14+16}{2} = \frac{30}{2} = 15$
$x_2 = \frac{14-16}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \ge -1$). Сделаем проверку, подставив их в исходное уравнение.
Для $x=15$: $\sqrt{2(15)+6} - \sqrt{15+1} = \sqrt{36} - \sqrt{16} = 6 - 4 = 2$. Верно.
Для $x=-1$: $\sqrt{2(-1)+6} - \sqrt{-1+1} = \sqrt{4} - \sqrt{0} = 2 - 0 = 2$. Верно.
Ответ: -1; 15.

2) $\sqrt{x+5}-\sqrt{x}=1$
ОДЗ: $\begin{cases} x+5 \ge 0 \\ x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -5 \\ x \ge 0 \end{cases} \implies x \ge 0$.
$\sqrt{x+5} = 1 + \sqrt{x}$
Возведем в квадрат:
$x+5 = (1+\sqrt{x})^2$
$x+5 = 1 + 2\sqrt{x} + x$
$4 = 2\sqrt{x}$
$2 = \sqrt{x}$
Возведем в квадрат еще раз:
$x = 4$
Корень $x=4$ удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 0$).
Проверка: $\sqrt{4+5} - \sqrt{4} = \sqrt{9} - 2 = 3 - 2 = 1$. Верно.
Ответ: 4.

3) $\sqrt{x-5}-\sqrt{9-x}=1$
ОДЗ: $\begin{cases} x-5 \ge 0 \\ 9-x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 5 \\ x \le 9 \end{cases} \implies 5 \le x \le 9$.
$\sqrt{x-5} = 1 + \sqrt{9-x}$
Возведем в квадрат:
$x-5 = (1+\sqrt{9-x})^2$
$x-5 = 1 + 2\sqrt{9-x} + (9-x)$
$x-5 = 10-x + 2\sqrt{9-x}$
$2x - 15 = 2\sqrt{9-x}$
Прежде чем возводить в квадрат, необходимо убедиться, что левая часть неотрицательна: $2x-15 \ge 0 \implies 2x \ge 15 \implies x \ge 7.5$.
С учетом ОДЗ получаем новое ограничение: $7.5 \le x \le 9$.
Возведем в квадрат: $(2x-15)^2 = (2\sqrt{9-x})^2$
$4x^2 - 60x + 225 = 4(9-x)$
$4x^2 - 60x + 225 = 36 - 4x$
$4x^2 - 56x + 189 = 0$
$D = (-56)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 189 = 3136 - 3024 = 112$. $\sqrt{D} = \sqrt{112} = \sqrt{16 \cdot 7} = 4\sqrt{7}$.
$x = \frac{56 \pm 4\sqrt{7}}{8} = \frac{14 \pm \sqrt{7}}{2}$
$x_1 = \frac{14 + \sqrt{7}}{2} \approx \frac{14 + 2.646}{2} \approx 8.323$. Этот корень входит в промежуток $[7.5, 9]$.
$x_2 = \frac{14 - \sqrt{7}}{2} \approx \frac{14 - 2.646}{2} \approx 5.677$. Этот корень не входит в промежуток $[7.5, 9]$, значит, он посторонний.
Ответ: $\frac{14 + \sqrt{7}}{2}$.

4) $\sqrt{2x+5}=8-\sqrt{x-1}$
ОДЗ: $\begin{cases} 2x+5 \ge 0 \\ x-1 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -2.5 \\ x \ge 1 \end{cases} \implies x \ge 1$.
Также правая часть должна быть неотрицательной: $8 - \sqrt{x-1} \ge 0 \implies 8 \ge \sqrt{x-1} \implies 64 \ge x-1 \implies x \le 65$.
Объединяя условия, получаем $1 \le x \le 65$.
Возведем обе части в квадрат:
$2x+5 = (8-\sqrt{x-1})^2$
$2x+5 = 64 - 16\sqrt{x-1} + (x-1)$
$2x+5 = x + 63 - 16\sqrt{x-1}$
$x-58 = -16\sqrt{x-1}$
$58-x = 16\sqrt{x-1}$
Левая часть должна быть неотрицательной: $58-x \ge 0 \implies x \le 58$. С учетом предыдущих ограничений, $1 \le x \le 58$.
Возводим в квадрат: $(58-x)^2 = (16\sqrt{x-1})^2$
$3364 - 116x + x^2 = 256(x-1)$
$x^2 - 116x + 3364 = 256x - 256$
$x^2 - 372x + 3620 = 0$
$D = (-372)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3620 = 138384 - 14480 = 123904 = 352^2$.
$x = \frac{372 \pm 352}{2}$
$x_1 = \frac{372+352}{2} = 362$. Этот корень не входит в промежуток $[1, 58]$.
$x_2 = \frac{372-352}{2} = 10$. Этот корень входит в промежуток $[1, 58]$.
Проверка: $\sqrt{2(10)+5} = \sqrt{25}=5$. $8-\sqrt{10-1}=8-3=5$. Верно.
Ответ: 10.

5) $\sqrt{x+5}+\sqrt{5-x}=4$
ОДЗ: $\begin{cases} x+5 \ge 0 \\ 5-x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -5 \\ x \le 5 \end{cases} \implies -5 \le x \le 5$.
Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{x+5}+\sqrt{5-x})^2 = 4^2$
$(x+5) + 2\sqrt{(x+5)(5-x)} + (5-x) = 16$
$10 + 2\sqrt{25-x^2} = 16$
$2\sqrt{25-x^2} = 6$
$\sqrt{25-x^2} = 3$
Возведем в квадрат: $25-x^2 = 9$
$x^2 = 16$
$x = \pm 4$
Оба корня, $4$ и $-4$, принадлежат ОДЗ $[-5, 5]$.
Проверка для $x=4$: $\sqrt{4+5}+\sqrt{5-4}=\sqrt{9}+\sqrt{1}=3+1=4$. Верно.
Проверка для $x=-4$: $\sqrt{-4+5}+\sqrt{5-(-4)}=\sqrt{1}+\sqrt{9}=1+3=4$. Верно.
Ответ: -4; 4.

6) $\sqrt{3x-1}+\sqrt{x+3}=2$
ОДЗ: $\begin{cases} 3x-1 \ge 0 \\ x+3 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 1/3 \\ x \ge -3 \end{cases} \implies x \ge 1/3$.
Возведем в квадрат: $(\sqrt{3x-1}+\sqrt{x+3})^2=2^2$
$(3x-1) + 2\sqrt{(3x-1)(x+3)} + (x+3) = 4$
$4x+2+2\sqrt{3x^2+8x-3}=4$
$2\sqrt{3x^2+8x-3} = 2-4x$
$\sqrt{3x^2+8x-3} = 1-2x$
Правая часть должна быть неотрицательной: $1-2x \ge 0 \implies 1 \ge 2x \implies x \le 1/2$.
С учетом ОДЗ, получаем ограничение: $1/3 \le x \le 1/2$.
Возводим в квадрат: $3x^2+8x-3 = (1-2x)^2 = 1 - 4x + 4x^2$
$x^2 - 12x + 4 = 0$
$D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 144 - 16 = 128$. $\sqrt{D}=\sqrt{128}=8\sqrt{2}$.
$x = \frac{12 \pm 8\sqrt{2}}{2} = 6 \pm 4\sqrt{2}$.
$x_1 = 6+4\sqrt{2}$. Этот корень очевидно больше $1/2$, значит, он посторонний.
$x_2 = 6-4\sqrt{2} \approx 6 - 4 \cdot 1.414 = 6-5.656 = 0.344$.
Поскольку $1/3 \approx 0.333$ и $1/2 = 0.5$, то $0.333 < 0.344 < 0.5$. Этот корень удовлетворяет условиям.
Ответ: $6-4\sqrt{2}$.

7) $\sqrt{x+\sqrt{x}+11}+\sqrt{x-\sqrt{x}+11}=4$
Найдем ОДЗ. Из-за наличия $\sqrt{x}$ необходимо, чтобы $x \ge 0$.
Рассмотрим подкоренные выражения:
1. $x+\sqrt{x}+11$. Сделаем замену $t = \sqrt{x}$, где $t \ge 0$. Получим квадратный трехчлен $t^2+t+11$. Его дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = -43 < 0$. Так как старший коэффициент положителен, трехчлен всегда принимает положительные значения.
2. $x-\sqrt{x}+11$. Аналогично, $t^2-t+11$ имеет $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = -43 < 0$, и это выражение также всегда положительно.
Следовательно, ОДЗ уравнения: $x \ge 0$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(x+\sqrt{x}+11) + (x-\sqrt{x}+11) + 2\sqrt{(x+\sqrt{x}+11)(x-\sqrt{x}+11)} = 16$
$2x+22+2\sqrt{((x+11)+\sqrt{x})((x+11)-\sqrt{x})} = 16$
Используя формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$:
$2x+22+2\sqrt{(x+11)^2 - (\sqrt{x})^2} = 16$
$2x+22+2\sqrt{x^2+22x+121 - x} = 16$
$2x+22+2\sqrt{x^2+21x+121} = 16$
Разделим уравнение на 2:
$x+11+\sqrt{x^2+21x+121} = 8$
Уединим корень:
$\sqrt{x^2+21x+121} = 8 - 11 - x$
$\sqrt{x^2+21x+121} = -x - 3$
Левая часть уравнения (арифметический квадратный корень) по определению неотрицательна. Следовательно, и правая часть должна быть неотрицательной:
$-x - 3 \ge 0 \implies -x \ge 3 \implies x \le -3$
Мы получили систему из двух несовместных условий:
$\begin{cases} x \ge 0 \text{ (из ОДЗ)} \\ x \le -3 \text{ (из решения)} \end{cases}$
Эта система не имеет решений. Следовательно, исходное уравнение не имеет корней.
Ответ: корней нет.