Страница 93 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Какое уравнение называют иррациональным?

1. Иррациональным уравнением называется уравнение, в котором переменная (неизвестное) находится под знаком корня (радикала). Более общее определение гласит, что это уравнение, в котором переменная входит в основание степени с рациональным, но не целым показателем, поскольку корень можно представить в виде такой степени: $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.

Ключевая особенность иррационального уравнения — это наличие операции извлечения корня из выражения, содержащего переменную.

Примерами иррациональных уравнений являются:
1) $\sqrt{x+2} = 4$
2) $\sqrt[3]{x-1} = x-1$
3) $\sqrt{2x+5} - \sqrt{x-1} = 2$
4) $x^{\frac{1}{2}} + 5x^{\frac{1}{4}} - 6 = 0$ (здесь $x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$ и $x^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{x}$)

Важно отличать иррациональные уравнения от уравнений, которые просто содержат иррациональные числа в качестве коэффициентов. Например, уравнение $\sqrt{2} \cdot x = 10$ не является иррациональным, так как переменная $x$ не находится под знаком корня. Это линейное уравнение с иррациональным коэффициентом.

При решении иррациональных уравнений основным методом является избавление от корня путем возведения обеих частей уравнения в соответствующую степень. Однако это преобразование не всегда является равносильным, что может привести к появлению посторонних корней. Поэтому после нахождения корней обязательна их проверка путем подстановки в исходное уравнение или через проверку области допустимых значений (ОДЗ).

Ответ: Иррациональным называют уравнение, в котором переменная находится под знаком корня (радикала) или в основании степени с дробным показателем.

2. Обе части уравнения возвели в нечётную степень. Будут ли исходное и полученное уравнение равносильными?

Да, исходное и полученное уравнения будут равносильными. Это утверждение верно, так как преобразование "возведение в нечётную степень" является равносильным преобразованием для уравнений.

Рассмотрим, почему это так. Пусть у нас есть исходное уравнение:

$f(x) = g(x)$

И уравнение, полученное возведением обеих частей в нечётную степень $n$ (где $n = 2k+1$, для целого $k$):

$(f(x))^n = (g(x))^n$

Два уравнения считаются равносильными, если множества их корней полностью совпадают. Для этого нужно доказать два утверждения:

1. Каждый корень исходного уравнения является корнем полученного.
Пусть $x_0$ — это корень исходного уравнения. Тогда при подстановке $x_0$ в него мы получаем верное числовое равенство: $f(x_0) = g(x_0)$. Если два числа равны, то и их одинаковые степени тоже равны. Следовательно, $(f(x_0))^n = (g(x_0))^n$ также является верным равенством. Это означает, что $x_0$ — корень и второго уравнения. Таким образом, при этом преобразовании не происходит потери корней.

2. Каждый корень полученного уравнения является корнем исходного.
Пусть $x_1$ — это корень второго уравнения. Тогда при подстановке $x_1$ мы получаем верное числовое равенство: $(f(x_1))^n = (g(x_1))^n$. Здесь ключевую роль играет то, что степень $n$ — нечётная. Функция $y=t^n$ для нечётного $n$ является строго монотонной на всей числовой оси. Это значит, что для любых двух чисел $a$ и $b$, равенство $a^n = b^n$ выполняется тогда и только тогда, когда $a=b$. Применяя это свойство к нашему равенству, мы можем сделать однозначный вывод, что $f(x_1) = g(x_1)$. Это означает, что $x_1$ является и корнем исходного уравнения. Таким образом, при этом преобразовании не появляются посторонние корни.

Также важно отметить, что возведение в натуральную нечётную степень не изменяет область допустимых значений (ОДЗ) функций $f(x)$ и $g(x)$, поэтому ОДЗ исходного и полученного уравнений совпадают.

Поскольку любой корень первого уравнения является корнем второго, и наоборот, а ОДЗ сохраняется, то эти уравнения равносильны.

Для сравнения, при возведении в чётную степень равносильность, как правило, нарушается, так как из $a^n = b^n$ (где $n$ – чётное) следует не $a=b$, а $|a|=|b|$ (то есть $a = \pm b$), что может привести к появлению посторонних корней.

Ответ: Да, исходное и полученное уравнения будут равносильными. Возведение обеих частей уравнения в нечётную степень является равносильным преобразованием, поскольку функция $y=x^n$ (где $n$ — нечётное число) строго монотонна, что обеспечивает взаимно-однозначное соответствие между равенством оснований $f(x)=g(x)$ и равенством их степеней $(f(x))^n=(g(x))^n$.

3. Обе части уравнения возвели в чётную степень. Будут ли исходное и полученное уравнение равносильными?

Нет, в общем случае исходное и полученное уравнения не будут равносильными. Возведение обеих частей уравнения в чётную степень является преобразованием-следствием, а не равносильным преобразованием. Это означает, что все корни исходного уравнения будут корнями полученного, но полученное уравнение может иметь дополнительные (посторонние) корни.

Пусть исходное уравнение имеет вид:

$f(x) = g(x)$

После возведения обеих частей в чётную степень $2n$ (где $n$ - натуральное число), мы получаем новое уравнение:

$(f(x))^{2n} = (g(x))^{2n}$

Это уравнение равносильно уравнению с модулями $|f(x)| = |g(x)|$, которое, в свою очередь, распадается на совокупность двух уравнений:

$\left[\begin{array}{l}f(x) = g(x) \\ f(x) = -g(x)\end{array}\right.$

Как видно, множество решений нового уравнения является объединением множеств решений двух уравнений: исходного ($f(x) = g(x)$) и дополнительного ($f(x) = -g(x)$). Если второе уравнение имеет решения, которые не являются решениями первого, то равносильность нарушается.

Пример:

Рассмотрим исходное уравнение: $x = 5$.
Множество его решений состоит из одного числа: $\{5\}$.

Теперь возведём обе части уравнения в квадрат (чётная степень 2):
$x^2 = 5^2$
$x^2 = 25$

Полученное уравнение $x^2 = 25$ имеет два корня: $x = 5$ и $x = -5$.
Множество его решений: $\{-5, 5\}$.

Поскольку множества решений $\{5\}$ и $\{-5, 5\}$ не совпадают, исходное и полученное уравнения не являются равносильными. Корень $x = -5$ является посторонним для исходного уравнения.

Примечание: Преобразование будет равносильным только в том частном случае, когда на области допустимых значений исходного уравнения обе его части, $f(x)$ и $g(x)$, имеют одинаковый знак (например, обе неотрицательны). В такой ситуации уравнение $f(x) = -g(x)$ не будет добавлять новых корней.

Ответ: Нет, в общем случае уравнения не будут равносильными, так как возведение в чётную степень может привести к появлению посторонних корней.

4. Как можно выявить посторонние корни уравнения?

Посторонние корни — это значения переменной, которые получаются в процессе решения уравнения, но не являются его решениями при подстановке в исходное уравнение. Они возникают из-за применения неравносильных преобразований, то есть таких преобразований, которые могут расширять множество корней. К таким преобразованиям относятся, например, возведение обеих частей уравнения в чётную степень, умножение на выражение, содержащее переменную, или избавление от знаменателя.

Выявить посторонние корни можно несколькими способами.

1. Проверка подстановкой

Это самый универсальный и надежный способ. Суть метода заключается в том, чтобы подставить каждый из найденных корней в исходное (самое первое) уравнение.

• Если при подстановке корня уравнение превращается в верное числовое равенство, то корень является действительным.
• Если получается неверное равенство или выражение, не имеющее смысла (например, деление на ноль или корень из отрицательного числа), то корень — посторонний.

Пример:

Решим уравнение $ \sqrt{x+7} = x-5 $.

Возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$ (\sqrt{x+7})^2 = (x-5)^2 $

$ x+7 = x^2 - 10x + 25 $

$ x^2 - 11x + 18 = 0 $

По теореме Виета или через дискриминант находим корни: $ x_1 = 2 $ и $ x_2 = 9 $.

Теперь выполним проверку, подставляя корни в исходное уравнение $ \sqrt{x+7} = x-5 $:

• Проверка для $ x_1 = 2 $:
  $ \sqrt{2+7} = 2-5 $
  $ \sqrt{9} = -3 $
  $ 3 = -3 $ — неверно. Следовательно, $ x=2 $ — посторонний корень.
• Проверка для $ x_2 = 9 $:
  $ \sqrt{9+7} = 9-5 $
  $ \sqrt{16} = 4 $
  $ 4 = 4 $ — верно. Следовательно, $ x=9 $ — действительный корень.

Ответ: $ x=9 $.

2. Нахождение области допустимых значений (ОДЗ)

Этот метод заключается в том, чтобы до начала решения уравнения найти все значения переменной, при которых уравнение имеет смысл. После нахождения потенциальных корней нужно проверить, принадлежат ли они ОДЗ.

Основные ограничения для ОДЗ:

• Знаменатель дроби не может быть равен нулю.
• Выражение под корнем чётной степени (квадратным, 4-й степени и т.д.) должно быть неотрицательным.
• Аргумент логарифма должен быть строго положительным.

Пример (тот же):

Рассмотрим уравнение $ \sqrt{x+7} = x-5 $.

Найдем ОДЗ. Для этого должны выполняться два условия:

1. Выражение под корнем неотрицательно: $ x+7 \ge 0 \implies x \ge -7 $.
2. Правая часть уравнения должна быть неотрицательной, так как арифметический квадратный корень не может быть отрицательным: $ x-5 \ge 0 \implies x \ge 5 $.

Объединяя оба условия ($ x \ge -7 $ и $ x \ge 5 $), получаем итоговую ОДЗ: $ x \ge 5 $.

Мы уже решили уравнение $ x^2 - 11x + 18 = 0 $ и получили корни $ x_1 = 2 $ и $ x_2 = 9 $.

Теперь сравним корни с ОДЗ ($ x \ge 5 $):

• Корень $ x_1 = 2 $ не удовлетворяет условию $ x \ge 5 $, значит, это посторонний корень.
• Корень $ x_2 = 9 $ удовлетворяет условию $ x \ge 5 $, значит, это действительный корень.

Ответ: $ x=9 $.

3. Использование равносильных переходов

Этот метод предполагает замену исходного уравнения системой или совокупностью уравнений и неравенств, которая полностью эквивалентна исходному уравнению. Это позволяет избежать появления посторонних корней с самого начала.

Например, уравнение вида $ \sqrt{f(x)} = g(x) $ равносильно системе:

$ \begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) = (g(x))^2 \end{cases} $

Условие $ f(x) \ge 0 $ здесь избыточно, так как оно автоматически следует из второго уравнения системы.

Пример (тот же):

Для уравнения $ \sqrt{x+7} = x-5 $ составим равносильную систему:

$ \begin{cases} x-5 \ge 0 \\ x+7 = (x-5)^2 \end{cases} $

Решаем систему:

$ \begin{cases} x \ge 5 \\ x^2 - 11x + 18 = 0 \end{cases} $

Корни второго уравнения: $ x_1 = 2 $, $ x_2 = 9 $.

Выбираем тот корень, который удовлетворяет неравенству $ x \ge 5 $. Это корень $ x_2=9 $.

Ответ: $ x=9 $.

Таким образом, для выявления посторонних корней можно использовать:

1. Проверку подстановкой: самый надежный и простой для понимания метод.
2. Нахождение ОДЗ: эффективно отсеивает корни, не входящие в область определения, но иногда ОДЗ не учитывает все ограничения (как в примере, где ОДЗ нужно было дополнить условием неотрицательности правой части).
3. Равносильные переходы: наиболее строгий математический подход, который позволяет не получать посторонние корни вообще, но требует хорошего знания правил таких переходов.

Ответ: Посторонние корни уравнения можно выявить путем подстановки найденных значений в исходное уравнение, либо путем сравнения корней с предварительно найденной областью допустимых значений (ОДЗ) уравнения, либо используя равносильные преобразования, которые исключают их появление.

11.1. Объясните, почему не имеет корней уравнение:

1) $\sqrt{x-2}+1=0;$

2) $\sqrt[6]{x}+\sqrt[8]{x-1}=-2;$

3) $\sqrt{x-4}+\sqrt{1-x}=5;$

4) $\sqrt[4]{x-6}+\sqrt{6-x}=1.$

1) Рассматриваем уравнение $\sqrt{x-2} + 1 = 0$.

Перенесем 1 в правую часть уравнения: $\sqrt{x-2} = -1$.

По определению, арифметический квадратный корень из любого неотрицательного числа является неотрицательным числом, то есть $\sqrt{a} \ge 0$ для любого $a \ge 0$.

В левой части уравнения стоит $\sqrt{x-2}$, значение которого не может быть отрицательным. В правой части стоит отрицательное число -1. Так как неотрицательное число не может быть равно отрицательному, уравнение не имеет решений.

Ответ: Уравнение не имеет корней, так как значение арифметического квадратного корня не может быть отрицательным.

2) Рассматриваем уравнение $\sqrt[6]{x} + \sqrt[8]{x-1} = -2$.

В левой части уравнения находятся два корня четной степени (6-й и 8-й). Арифметический корень четной степени из неотрицательного числа всегда является неотрицательным числом. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется системой неравенств: $\begin{cases} x \ge 0 \\ x-1 \ge 0 \end{cases}$, что равносильно $x \ge 1$.

Для любого $x$ из ОДЗ ($x \ge 1$) выполняются неравенства $\sqrt[6]{x} \ge 0$ и $\sqrt[8]{x-1} \ge 0$.

Сумма двух неотрицательных чисел также является неотрицательным числом. Следовательно, левая часть уравнения $\sqrt[6]{x} + \sqrt[8]{x-1}$ всегда больше или равна нулю.

Правая часть уравнения равна -2, то есть отрицательна. Неотрицательное число не может быть равно отрицательному, поэтому уравнение не имеет корней.

Ответ: Уравнение не имеет корней, так как сумма двух неотрицательных слагаемых в левой части не может быть равна отрицательному числу в правой части.

3) Рассматриваем уравнение $\sqrt{x-4} + \sqrt{1-x} = 5$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) этого уравнения. Выражения под знаками квадратных корней должны быть неотрицательными. Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} x - 4 \ge 0 \\ 1 - x \ge 0 \end{cases}$

Решая эту систему, получаем:

$\begin{cases} x \ge 4 \\ x \le 1 \end{cases}$

Не существует такого числа $x$, которое было бы одновременно больше или равно 4 и меньше или равно 1. Следовательно, пересечение этих множеств пусто. Область допустимых значений уравнения является пустым множеством.

Ответ: Уравнение не имеет корней, так как его область допустимых значений пуста.

4) Рассматриваем уравнение $\sqrt[4]{x-6} + \sqrt{6-x} = 1$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) этого уравнения. Выражения под знаками корней (четвертой и второй степени) должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} x - 6 \ge 0 \\ 6 - x \ge 0 \end{cases}$

Решая эту систему, получаем:

$\begin{cases} x \ge 6 \\ x \le 6 \end{cases}$

Единственное число, которое удовлетворяет обоим неравенствам, это $x=6$. Таким образом, ОДЗ уравнения состоит из одного единственного значения.

Проверим, является ли $x=6$ корнем уравнения. Подставим это значение в исходное уравнение:

$\sqrt[4]{6-6} + \sqrt{6-6} = \sqrt[4]{0} + \sqrt{0} = 0 + 0 = 0$.

В результате подстановки левая часть уравнения обратилась в 0, а правая часть равна 1. Мы получили неверное равенство $0 = 1$.

Ответ: Уравнение не имеет корней, так как единственное допустимое значение $x=6$ не является его решением.

11.2. Решите уравнение:

1) $\sqrt[4]{2x - 2} = 2$;

2) $\sqrt[3]{x - 4} = 2$;

3) $\sqrt[5]{x - 6} = -3$;

4) $\sqrt[3]{x^3 - 2x + 3} = x$;

5) $\sqrt{7 + \sqrt[3]{x^2 + 7}} = 3$;

6) $\sqrt[3]{x^2 + 15} = 2\sqrt[3]{x + 1}$.

Дано иррациональное уравнение $\sqrt[4]{2x - 2} = 2$.

Так как показатель корня — четное число (4), то подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Это определяет область допустимых значений (ОДЗ):

$2x - 2 \geq 0$

$2x \geq 2$

$x \geq 1$

Чтобы избавиться от корня, возведем обе части уравнения в 4-ю степень:

$(\sqrt[4]{2x - 2})^4 = 2^4$

$2x - 2 = 16$

Решим полученное линейное уравнение:

$2x = 16 + 2$

$2x = 18$

$x = 9$

Найденный корень $x=9$ удовлетворяет условию ОДЗ ($9 \geq 1$). Выполним проверку, подставив значение в исходное уравнение:

$\sqrt[4]{2 \cdot 9 - 2} = \sqrt[4]{18 - 2} = \sqrt[4]{16} = 2$.

$2 = 2$. Равенство верное.

Ответ: $9$

Дано уравнение $\sqrt[3]{x - 4} = 2$.

Поскольку корень нечетной степени (3-й), подкоренное выражение может быть любым действительным числом. Ограничений на $x$ нет.

Возведем обе части уравнения в 3-ю степень:

$(\sqrt[3]{x - 4})^3 = 2^3$

$x - 4 = 8$

Решим уравнение:

$x = 8 + 4$

$x = 12$

Проверка:

$\sqrt[3]{12 - 4} = \sqrt[3]{8} = 2$.

$2 = 2$. Равенство верное.

Ответ: $12$

Дано уравнение $\sqrt[5]{x - 6} = -3$.

Так как корень нечетной степени (5-й), ОДЗ — все действительные числа. Корень нечетной степени из отрицательного числа существует и является отрицательным числом.

Возведем обе части уравнения в 5-ю степень:

$(\sqrt[5]{x - 6})^5 = (-3)^5$

$x - 6 = -243$

Найдем $x$:

$x = -243 + 6$

$x = -237$

Проверка:

$\sqrt[5]{-237 - 6} = \sqrt[5]{-243} = -3$.

$-3 = -3$. Равенство верное.

Ответ: $-237$

Дано уравнение $\sqrt[3]{x^3 - 2x + 3} = x$.

Корень нечетной степени, поэтому ОДЗ — все действительные числа.

Возведем обе части уравнения в 3-ю степень:

$(\sqrt[3]{x^3 - 2x + 3})^3 = x^3$

$x^3 - 2x + 3 = x^3$

Упростим уравнение, вычтя $x^3$ из обеих частей:

$-2x + 3 = 0$

Решим полученное линейное уравнение:

$-2x = -3$

$x = \frac{3}{2}$

Проверка: подставим $x = \frac{3}{2}$ в исходное уравнение.

Левая часть: $\sqrt[3]{(\frac{3}{2})^3 - 2(\frac{3}{2}) + 3} = \sqrt[3]{\frac{27}{8} - 3 + 3} = \sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{3}{2}$.

Правая часть: $x = \frac{3}{2}$.

Левая и правая части равны, следовательно, корень найден верно.

Ответ: $\frac{3}{2}$

Дано уравнение $\sqrt{7 + \sqrt[3]{x^2 + 7}} = 3$.

Внешний корень — квадратный, поэтому его подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $7 + \sqrt[3]{x^2 + 7} \geq 0$.

Так как $x^2 \geq 0$, то $x^2 + 7 \geq 7$. Тогда $\sqrt[3]{x^2 + 7} \geq \sqrt[3]{7} > 0$. Следовательно, сумма $7 + \sqrt[3]{x^2 + 7}$ всегда положительна, и ОДЗ — все действительные числа.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{7 + \sqrt[3]{x^2 + 7}})^2 = 3^2$

$7 + \sqrt[3]{x^2 + 7} = 9$

Выразим оставшийся корень:

$\sqrt[3]{x^2 + 7} = 9 - 7$

$\sqrt[3]{x^2 + 7} = 2$

Возведем обе части в куб:

$(\sqrt[3]{x^2 + 7})^3 = 2^3$

$x^2 + 7 = 8$

Решим полученное неполное квадратное уравнение:

$x^2 = 1$

$x_1 = 1$, $x_2 = -1$.

Проверка. Для $x=1$: $\sqrt{7 + \sqrt[3]{1^2 + 7}} = \sqrt{7 + \sqrt[3]{8}} = \sqrt{7 + 2} = \sqrt{9} = 3$. Верно.

Для $x=-1$: $\sqrt{7 + \sqrt[3]{(-1)^2 + 7}} = \sqrt{7 + \sqrt[3]{1 + 7}} = \sqrt{7 + 2} = \sqrt{9} = 3$. Верно.

Ответ: $-1; 1$

Дано уравнение $\sqrt[3]{x^2 + 15} = 2\sqrt[3]{x + 1}$.

Так как оба корня нечетной степени, ОДЗ — все действительные числа.

Чтобы упростить уравнение, внесем множитель 2 под знак корня в правой части: $2\sqrt[3]{x + 1} = \sqrt[3]{2^3(x + 1)} = \sqrt[3]{8(x+1)} = \sqrt[3]{8x+8}$.

Уравнение принимает вид: $\sqrt[3]{x^2 + 15} = \sqrt[3]{8x + 8}$.

Возведем обе части в куб:

$x^2 + 15 = 8x + 8$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 8x + 15 - 8 = 0$

$x^2 - 8x + 7 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а их произведение равно 7. Отсюда корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 7$.

Проверка. Для $x=1$:

Левая часть: $\sqrt[3]{1^2 + 15} = \sqrt[3]{16}$.

Правая часть: $2\sqrt[3]{1 + 1} = 2\sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{8 \cdot 2} = \sqrt[3]{16}$. Равенство верное.

Для $x=7$:

Левая часть: $\sqrt[3]{7^2 + 15} = \sqrt[3]{49 + 15} = \sqrt[3]{64} = 4$.

Правая часть: $2\sqrt[3]{7 + 1} = 2\sqrt[3]{8} = 2 \cdot 2 = 4$. Равенство верное.

Ответ: $1; 7$

11.3. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x - 3} = 4;$

2) $\sqrt{3x^2 - x - 15} = 3;$

3) $\sqrt[3]{25 + \sqrt{x^2 + 3}} = 3.$

1) Дано иррациональное уравнение $\sqrt{x-3} = 4$.
Для решения данного уравнения необходимо, чтобы выражение под корнем было неотрицательным. Это называется Областью допустимых значений (ОДЗ).
ОДЗ: $x-3 \ge 0$, что означает $x \ge 3$.
Чтобы избавиться от знака корня, возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x-3})^2 = 4^2$
$x-3 = 16$
Теперь решим полученное линейное уравнение, перенеся $-3$ в правую часть с противоположным знаком:
$x = 16 + 3$
$x = 19$
Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $x=19$ условию ОДЗ ($x \ge 3$).
$19 \ge 3$ — это верное неравенство, значит, корень подходит.
Выполним проверку, подставив значение в исходное уравнение:
$\sqrt{19-3} = \sqrt{16} = 4$.
$4=4$. Равенство верное.
Ответ: 19

2) Дано уравнение $\sqrt{3x^2 - x - 15} = 3$.
Так как правая часть уравнения — положительное число ($3$), то выражение под корнем после возведения в квадрат будет равно $3^2=9$, что автоматически гарантирует его неотрицательность. Поэтому отдельное нахождение ОДЗ не требуется, достаточно выполнить проверку корней.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{3x^2 - x - 15})^2 = 3^2$
$3x^2 - x - 15 = 9$
Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$3x^2 - x - 15 - 9 = 0$
$3x^2 - x - 24 = 0$
Решим это уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$a=3, b=-1, c=-24$
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-24) = 1 + 288 = 289$
$\sqrt{D} = \sqrt{289} = 17$
Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-1) + 17}{2 \cdot 3} = \frac{1 + 17}{6} = \frac{18}{6} = 3$
$x_2 = \frac{-(-1) - 17}{2 \cdot 3} = \frac{1 - 17}{6} = \frac{-16}{6} = -\frac{8}{3}$
Оба корня являются решением исходного иррационального уравнения.
Ответ: $3; -\frac{8}{3}$

3) Дано уравнение $\sqrt[3]{25 + \sqrt{x^2 + 3}} = 3$.
Для кубического корня ОДЗ не требуется, так как он определен для любых действительных чисел. Однако внутри него есть квадратный корень, для которого ОДЗ необходимо: $x^2 + 3 \ge 0$. Это неравенство выполняется для любого действительного значения $x$, так как $x^2$ всегда неотрицательно, а значит $x^2+3$ всегда больше или равно 3.
Возведем обе части уравнения в третью степень (в куб), чтобы избавиться от кубического корня:
$(\sqrt[3]{25 + \sqrt{x^2 + 3}})^3 = 3^3$
$25 + \sqrt{x^2 + 3} = 27$
Теперь уединим оставшийся корень в левой части уравнения:
$\sqrt{x^2 + 3} = 27 - 25$
$\sqrt{x^2 + 3} = 2$
Возведем обе части полученного уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x^2 + 3})^2 = 2^2$
$x^2 + 3 = 4$
Решим простое квадратное уравнение:
$x^2 = 4 - 3$
$x^2 = 1$
Уравнение имеет два корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $1; -1$

11.4. Решите уравнение:

1) $\sqrt[7]{2x-1} = \sqrt[7]{3-x};$

2) $\sqrt{2x-1} = \sqrt{1-2x};$

3) $\sqrt{2x-1} = \sqrt{x-3};$

4) $\sqrt{2x-1} = \sqrt{x^2+4x-16}.$

1) $\sqrt[7]{2x-1} = \sqrt[7]{3-x}$

Данное уравнение содержит корни нечетной степени (седьмой степени). Область определения для корней нечетной степени — все действительные числа, поэтому никаких ограничений на переменную $x$ не накладывается.

Чтобы решить уравнение, возведем обе его части в седьмую степень:

$(\sqrt[7]{2x-1})^7 = (\sqrt[7]{3-x})^7$

$2x - 1 = 3 - x$

Перенесем члены с $x$ в левую часть, а постоянные члены — в правую:

$2x + x = 3 + 1$

$3x = 4$

$x = \frac{4}{3}$

Ответ: $\frac{4}{3}$

2) $\sqrt{2x-1} = \sqrt{1-2x}$

Данное уравнение содержит корни четной степени (квадратные корни). Выражения под корнями должны быть неотрицательными. Найдем область допустимых значений (ОДЗ), решив систему неравенств:

$\begin{cases} 2x-1 \ge 0 \\ 1-2x \ge 0 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем $2x \ge 1$, то есть $x \ge \frac{1}{2}$.

Из второго неравенства получаем $1 \ge 2x$, то есть $x \le \frac{1}{2}$.

Единственное значение $x$, удовлетворяющее обоим условиям ($x \ge \frac{1}{2}$ и $x \le \frac{1}{2}$), это $x = \frac{1}{2}$.

Проверим, является ли это значение корнем уравнения, подставив его в исходное уравнение:

$\sqrt{2(\frac{1}{2})-1} = \sqrt{1-2(\frac{1}{2})}$

$\sqrt{1-1} = \sqrt{1-1}$

$\sqrt{0} = \sqrt{0}$

$0 = 0$

Равенство верное, следовательно, $x = \frac{1}{2}$ является единственным решением.

Ответ: $\frac{1}{2}$

3) $\sqrt{2x-1} = \sqrt{x-3}$

Это уравнение с квадратными корнями. Найдем область допустимых значений (ОДЗ), решив систему неравенств:

$\begin{cases} 2x-1 \ge 0 \\ x-3 \ge 0 \end{cases}$

Из первого неравенства: $2x \ge 1 \implies x \ge \frac{1}{2}$.

Из второго неравенства: $x \ge 3$.

Пересечением этих двух условий является $x \ge 3$. Это и есть ОДЗ.

Теперь решим уравнение, возведя обе части в квадрат:

$(\sqrt{2x-1})^2 = (\sqrt{x-3})^2$

$2x - 1 = x - 3$

$2x - x = -3 + 1$

$x = -2$

Проверим, принадлежит ли найденный корень ОДЗ ($x \ge 3$).

Поскольку $-2 < 3$, корень $x=-2$ не входит в область допустимых значений и является посторонним.

Следовательно, у уравнения нет решений.

Ответ: корней нет

4) $\sqrt{2x-1} = \sqrt{x^2+4x-16}$

Уравнение содержит квадратные корни. Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 2x-1 \ge 0 \\ x^2+4x-16 \ge 0 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем $x \ge \frac{1}{2}$.

Для решения второго неравенства $x^2+4x-16 \ge 0$ найдем корни уравнения $x^2+4x-16 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = 4^2 - 4(1)(-16) = 16 + 64 = 80$

$x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{80}}{2} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{5}}{2} = -2 \pm 2\sqrt{5}$

Парабола $y=x^2+4x-16$ ветвями вверх, значит, неравенство выполняется при $x \in (-\infty; -2-2\sqrt{5}] \cup [-2+2\sqrt{5}; +\infty)$.

Совместим это решение с условием $x \ge \frac{1}{2}$. Так как $-2-2\sqrt{5} < 0$ и $-2+2\sqrt{5} \approx -2+2 \cdot 2.24 = 2.48 > \frac{1}{2}$, общая ОДЗ: $x \ge -2+2\sqrt{5}$.

Возведем обе части исходного уравнения в квадрат:

$2x - 1 = x^2 + 4x - 16$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 + 4x - 2x - 16 + 1 = 0$

$x^2 + 2x - 15 = 0$

По теореме Виета находим корни: $x_1 \cdot x_2 = -15$ и $x_1 + x_2 = -2$. Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -5$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge -2+2\sqrt{5} \approx 2.48$):

$x_1 = 3$. Так как $3 > -2+2\sqrt{5}$, этот корень подходит.

$x_2 = -5$. Так как $-5 < -2+2\sqrt{5}$, этот корень посторонний.

Ответ: 3

11.5. Решите уравнение:

1) $\sqrt[4]{x+3} = \sqrt[4]{2x-3}$;

2) $\sqrt{4x-5} = \sqrt{1-x}$;

3) $\sqrt[5]{x^2-25} = \sqrt[5]{2x+10}$;

4) $\sqrt{x^2-36} = \sqrt{2x-1}$.

1) Дано иррациональное уравнение $\sqrt[4]{x+3} = \sqrt[4]{2x-3}$.Поскольку показатель корня четный (4), подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Найдем область допустимых значений (ОДЗ), решив систему неравенств:$\begin{cases} x+3 \ge 0 \\ 2x-3 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -3 \\ 2x \ge 3 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -3 \\ x \ge 1.5 \end{cases}$.Пересечением этих условий является $x \ge 1.5$.Для решения уравнения возведем обе его части в четвертую степень:$(\sqrt[4]{x+3})^4 = (\sqrt[4]{2x-3})^4$$x+3 = 2x-3$$3+3 = 2x-x$$x = 6$.Проверим, принадлежит ли найденный корень $x=6$ области допустимых значений $x \ge 1.5$.Так как $6 \ge 1.5$, корень является решением уравнения.Ответ: $6$.

2) Дано иррациональное уравнение $\sqrt{4x-5} = \sqrt{1-x}$.Показатель корня четный (2), поэтому подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Найдем ОДЗ:$\begin{cases} 4x-5 \ge 0 \\ 1-x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 4x \ge 5 \\ 1 \ge x \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 1.25 \\ x \le 1 \end{cases}$.Данная система неравенств не имеет решений, так как не существует такого числа $x$, которое одновременно больше или равно $1.25$ и меньше или равно $1$.Поскольку область допустимых значений пуста, уравнение не имеет действительных корней.Ответ: корней нет.

3) Дано иррациональное уравнение $\sqrt[5]{x^2-25} = \sqrt[5]{2x+10}$.Поскольку показатель корня нечетный (5), подкоренные выражения могут быть любыми действительными числами. Ограничений на ОДЗ нет.Возведем обе части уравнения в пятую степень, чтобы избавиться от корней:$(\sqrt[5]{x^2-25})^5 = (\sqrt[5]{2x+10})^5$$x^2-25 = 2x+10$.Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:$x^2 - 2x - 25 - 10 = 0$$x^2 - 2x - 35 = 0$.Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $2$, а их произведение равно $-35$. Этим условиям удовлетворяют числа $7$ и $-5$.$x_1 = 7$, $x_2 = -5$.Так как ограничений на ОДЗ не было, оба корня являются решениями.Ответ: $-5; 7$.

4) Дано иррациональное уравнение $\sqrt{x^2-36} = \sqrt{2x-1}$.Показатель корня четный (2), поэтому подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Найдем ОДЗ из системы неравенств:$\begin{cases} x^2-36 \ge 0 \\ 2x-1 \ge 0 \end{cases}$.Решение первого неравенства $x^2 \ge 36$ есть $x \in (-\infty, -6] \cup [6, \infty)$.Решение второго неравенства $2x \ge 1$ есть $x \ge 0.5$.Пересечение этих множеств дает ОДЗ: $x \in [6, \infty)$.Теперь решим само уравнение, возведя обе части в квадрат:$(\sqrt{x^2-36})^2 = (\sqrt{2x-1})^2$$x^2 - 36 = 2x - 1$.Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:$x^2 - 2x - 36 + 1 = 0$$x^2 - 2x - 35 = 0$.Корни этого уравнения (из предыдущего примера) равны $x_1 = 7$ и $x_2 = -5$.Проверим, принадлежат ли корни области допустимых значений $x \ge 6$.Корень $x_1 = 7$ удовлетворяет условию ($7 \ge 6$), следовательно, является решением.Корень $x_2 = -5$ не удовлетворяет условию ($-5 < 6$), следовательно, является посторонним корнем.Таким образом, уравнение имеет единственное решение.Ответ: $7$.

11.6. Решите уравнение:

1) $\sqrt{2 - x} = x$;

2) $\sqrt{x + 1} = x - 1$;

3) $\sqrt{3x - 2} = x$;

4) $\sqrt{2x^2 - 3x - 10} = x$;

5) $2\sqrt{x + 5} = x + 2$;

6) $\sqrt{15 - 3x} - 1 = x$;

7) $x - \sqrt{2x^2 + x - 21} = 3$;

8) $x + 2 + \sqrt{8 - 3x - x^2} = 0$.

1) $\sqrt{2-x} = x$

Для решения данного иррационального уравнения необходимо сначала определить область допустимых значений (ОДЗ).
Во-первых, выражение под корнем должно быть неотрицательным: $2 - x \ge 0$, откуда $x \le 2$.
Во-вторых, правая часть уравнения (значение арифметического квадратного корня) также должна быть неотрицательной: $x \ge 0$.
Объединяя эти условия, получаем ОДЗ: $0 \le x \le 2$.
Теперь возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
$(\sqrt{2-x})^2 = x^2$
$2 - x = x^2$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$x^2 + x - 2 = 0$
Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно -2, а сумма равна -1. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.
Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($0 \le x \le 2$).
Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет условию, так как $0 \le 1 \le 2$.
Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию, так как $-2 < 0$. Это посторонний корень.
Следовательно, у уравнения только одно решение.
Ответ: $1$

2) $\sqrt{x+1} = x-1$

Определим ОДЗ:
1. $x + 1 \ge 0 \implies x \ge -1$
2. $x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$
Общее ОДЗ: $x \ge 1$.
Возводим обе части в квадрат:
$(\sqrt{x+1})^2 = (x-1)^2$
$x + 1 = x^2 - 2x + 1$
$x^2 - 3x = 0$
$x(x - 3) = 0$
Получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.
Проверяем корни по ОДЗ ($x \ge 1$):
$x_1 = 0$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $0 < 1$.
$x_2 = 3$ удовлетворяет ОДЗ, так как $3 \ge 1$.
Ответ: $3$

3) $\sqrt{3x-2} = x$

Определим ОДЗ:
1. $3x - 2 \ge 0 \implies 3x \ge 2 \implies x \ge 2/3$
2. $x \ge 0$
Общее ОДЗ: $x \ge 2/3$.
Возводим обе части в квадрат:
$3x - 2 = x^2$
$x^2 - 3x + 2 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.
Проверяем корни по ОДЗ ($x \ge 2/3$):
$x_1 = 1$ удовлетворяет ОДЗ, так как $1 \ge 2/3$.
$x_2 = 2$ удовлетворяет ОДЗ, так как $2 \ge 2/3$.
Оба корня подходят.
Ответ: $1; 2$

4) $\sqrt{2x^2-3x-10} = x$

Определим ОДЗ:
1. $2x^2 - 3x - 10 \ge 0$
2. $x \ge 0$
Возводим обе части в квадрат:
$2x^2 - 3x - 10 = x^2$
$x^2 - 3x - 10 = 0$
Найдем корни через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(1)(-10) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.
$x_1 = \frac{3 - 7}{2} = -2$
$x_2 = \frac{3 + 7}{2} = 5$
Проверяем корни по ОДЗ.
Для $x_1 = -2$: не удовлетворяет условию $x \ge 0$. Это посторонний корень.
Для $x_2 = 5$:
- $5 \ge 0$ (верно).
- Проверим второе условие ОДЗ: $2(5)^2 - 3(5) - 10 = 2(25) - 15 - 10 = 50 - 25 = 25 \ge 0$ (верно).
Следовательно, $x=5$ является решением.
Ответ: $5$

5) $2\sqrt{x+5} = x+2$

Определим ОДЗ:
1. $x + 5 \ge 0 \implies x \ge -5$
2. $x + 2 \ge 0 \implies x \ge -2$
Общее ОДЗ: $x \ge -2$.
Возводим обе части в квадрат:
$(2\sqrt{x+5})^2 = (x+2)^2$
$4(x+5) = x^2 + 4x + 4$
$4x + 20 = x^2 + 4x + 4$
$x^2 = 16$
Получаем два возможных корня: $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$.
Проверяем корни по ОДЗ ($x \ge -2$):
$x_1 = 4$ удовлетворяет ОДЗ, так как $4 \ge -2$.
$x_2 = -4$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $-4 < -2$.
Ответ: $4$

6) $\sqrt{15-3x} - 1 = x$

Сначала изолируем корень:
$\sqrt{15-3x} = x+1$
Определим ОДЗ:
1. $15 - 3x \ge 0 \implies 15 \ge 3x \implies x \le 5$
2. $x + 1 \ge 0 \implies x \ge -1$
Общее ОДЗ: $-1 \le x \le 5$.
Возводим обе части в квадрат:
$15 - 3x = (x+1)^2$
$15 - 3x = x^2 + 2x + 1$
$x^2 + 5x - 14 = 0$
Найдем корни через дискриминант: $D = 5^2 - 4(1)(-14) = 25 + 56 = 81 = 9^2$.
$x_1 = \frac{-5 - 9}{2} = -7$
$x_2 = \frac{-5 + 9}{2} = 2$
Проверяем корни по ОДЗ ($-1 \le x \le 5$):
$x_1 = -7$ не удовлетворяет ОДЗ.
$x_2 = 2$ удовлетворяет ОДЗ, так как $-1 \le 2 \le 5$.
Ответ: $2$

7) $x - \sqrt{2x^2+x-21} = 3$

Изолируем корень:
$x - 3 = \sqrt{2x^2+x-21}$
Определим ОДЗ:
1. $2x^2 + x - 21 \ge 0$
2. $x - 3 \ge 0 \implies x \ge 3$
Для первого условия найдем корни $2x^2 + x - 21 = 0$: $D = 1^2 - 4(2)(-21) = 1 + 168 = 169 = 13^2$. Корни: $x = \frac{-1 \pm 13}{4}$, то есть $x = 3$ и $x = -3.5$. Неравенство $2x^2 + x - 21 \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty, -3.5] \cup [3, \infty)$.
Общее ОДЗ с учетом $x \ge 3$: $x \ge 3$.
Возводим обе части в квадрат:
$(x - 3)^2 = 2x^2+x-21$
$x^2 - 6x + 9 = 2x^2+x-21$
$x^2 + 7x - 30 = 0$
Найдем корни через дискриминант: $D = 7^2 - 4(1)(-30) = 49 + 120 = 169 = 13^2$.
$x_1 = \frac{-7 - 13}{2} = -10$
$x_2 = \frac{-7 + 13}{2} = 3$
Проверяем корни по ОДЗ ($x \ge 3$):
$x_1 = -10$ не удовлетворяет ОДЗ.
$x_2 = 3$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $3$

8) $x + 2 + \sqrt{8-3x-x^2} = 0$

Изолируем корень:
$\sqrt{8-3x-x^2} = -x-2$
Определим ОДЗ:
1. $8 - 3x - x^2 \ge 0 \implies x^2 + 3x - 8 \le 0$
2. $-x - 2 \ge 0 \implies -x \ge 2 \implies x \le -2$
Для первого условия найдем корни $x^2 + 3x - 8 = 0$: $D = 3^2 - 4(1)(-8) = 9 + 32 = 41$. Корни $x = \frac{-3 \pm \sqrt{41}}{2}$. Неравенство $x^2 + 3x - 8 \le 0$ выполняется при $x \in [\frac{-3-\sqrt{41}}{2}, \frac{-3+\sqrt{41}}{2}]$.
Общее ОДЗ с учетом $x \le -2$: $x \in [\frac{-3-\sqrt{41}}{2}, -2]$. (Так как $\frac{-3-\sqrt{41}}{2} \approx -4.7$ и $\frac{-3+\sqrt{41}}{2} \approx 1.7$).
Возводим обе части в квадрат:
$8 - 3x - x^2 = (-x-2)^2$
$8 - 3x - x^2 = x^2 + 4x + 4$
$2x^2 + 7x - 4 = 0$
Найдем корни через дискриминант: $D = 7^2 - 4(2)(-4) = 49 + 32 = 81 = 9^2$.
$x_1 = \frac{-7 - 9}{4} = -4$
$x_2 = \frac{-7 + 9}{4} = 0.5$
Проверяем корни по ОДЗ ($x \in [\frac{-3-\sqrt{41}}{2}, -2]$):
$x_1 = -4$ удовлетворяет ОДЗ, так как $\frac{-3-\sqrt{41}}{2} \approx -4.7$, и $-4.7 \le -4 \le -2$.
$x_2 = 0.5$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $0.5 > -2$.
Ответ: $-4$