Номер 3, страница 93 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

3. Обе части уравнения возвели в чётную степень. Будут ли исходное и полученное уравнение равносильными?

Нет, в общем случае исходное и полученное уравнения не будут равносильными. Возведение обеих частей уравнения в чётную степень является преобразованием-следствием, а не равносильным преобразованием. Это означает, что все корни исходного уравнения будут корнями полученного, но полученное уравнение может иметь дополнительные (посторонние) корни.

Пусть исходное уравнение имеет вид:

$f(x) = g(x)$

После возведения обеих частей в чётную степень $2n$ (где $n$ - натуральное число), мы получаем новое уравнение:

$(f(x))^{2n} = (g(x))^{2n}$

Это уравнение равносильно уравнению с модулями $|f(x)| = |g(x)|$, которое, в свою очередь, распадается на совокупность двух уравнений:

$\left[\begin{array}{l}f(x) = g(x) \\ f(x) = -g(x)\end{array}\right.$

Как видно, множество решений нового уравнения является объединением множеств решений двух уравнений: исходного ($f(x) = g(x)$) и дополнительного ($f(x) = -g(x)$). Если второе уравнение имеет решения, которые не являются решениями первого, то равносильность нарушается.

Пример:

Рассмотрим исходное уравнение: $x = 5$.
Множество его решений состоит из одного числа: $\{5\}$.

Теперь возведём обе части уравнения в квадрат (чётная степень 2):
$x^2 = 5^2$
$x^2 = 25$

Полученное уравнение $x^2 = 25$ имеет два корня: $x = 5$ и $x = -5$.
Множество его решений: $\{-5, 5\}$.

Поскольку множества решений $\{5\}$ и $\{-5, 5\}$ не совпадают, исходное и полученное уравнения не являются равносильными. Корень $x = -5$ является посторонним для исходного уравнения.

Примечание: Преобразование будет равносильным только в том частном случае, когда на области допустимых значений исходного уравнения обе его части, $f(x)$ и $g(x)$, имеют одинаковый знак (например, обе неотрицательны). В такой ситуации уравнение $f(x) = -g(x)$ не будет добавлять новых корней.

Ответ: Нет, в общем случае уравнения не будут равносильными, так как возведение в чётную степень может привести к появлению посторонних корней.