Номер 10.29, страница 89 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

10.29. Решите уравнение:

1) $\sqrt{3x - 2} = 0$;

2) $\sqrt{3x - 7} = 0$;

3) $\sqrt{4x - 1} = 6$;

4) $\frac{56}{\sqrt{x}} = 8$;

5) $\frac{22}{\sqrt{x + 3}} = 11$;

6) $\sqrt{x^2 - 64} = 6$;

7) $\sqrt{1 + \sqrt{3 + x}} = 4$;

8) $\sqrt{x} + \sqrt{x - 2} = 0$;

9) $(x - 2)\sqrt{x + 2} = 0$.

1) $\sqrt{3x} - 2 = 0$
Найдем область допустимых значений (ОДЗ): выражение под корнем должно быть неотрицательным, то есть $3x \ge 0$, откуда следует $x \ge 0$.
Перенесем $-2$ в правую часть уравнения: $\sqrt{3x} = 2$.
Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от иррациональности: $(\sqrt{3x})^2 = 2^2$.
Получаем $3x = 4$.
Отсюда $x = \frac{4}{3}$.
Проверим, принадлежит ли корень ОДЗ: $\frac{4}{3} \ge 0$. Условие выполняется.
Ответ: $\frac{4}{3}$.

2) $\sqrt{3x} - 7 = 0$
ОДЗ: $3x \ge 0 \Rightarrow x \ge 0$.
Изолируем корень: $\sqrt{3x} = 7$.
Возводим обе части в квадрат: $(\sqrt{3x})^2 = 7^2$.
$3x = 49$.
$x = \frac{49}{3}$.
Корень $x = \frac{49}{3}$ удовлетворяет ОДЗ, так как $\frac{49}{3} \ge 0$.
Ответ: $\frac{49}{3}$.

3) $\sqrt{4x - 1} = 6$
ОДЗ: $4x - 1 \ge 0 \Rightarrow 4x \ge 1 \Rightarrow x \ge \frac{1}{4}$.
Возводим обе части уравнения в квадрат: $(\sqrt{4x-1})^2 = 6^2$.
$4x - 1 = 36$.
$4x = 37$.
$x = \frac{37}{4}$.
Проверяем ОДЗ: $\frac{37}{4} = 9.25$, что больше, чем $\frac{1}{4} = 0.25$. Корень подходит.
Ответ: $\frac{37}{4}$.

4) $\frac{56}{\sqrt{x}} = 8$
ОДЗ: так как корень находится в знаменателе, подкоренное выражение должно быть строго положительным: $x > 0$.
Выразим $\sqrt{x}$ из уравнения: $\sqrt{x} = \frac{56}{8}$.
$\sqrt{x} = 7$.
Возведем обе части в квадрат: $(\sqrt{x})^2 = 7^2$.
$x = 49$.
Корень $x = 49$ удовлетворяет ОДЗ ($49 > 0$).
Ответ: 49.

5) $\frac{22}{\sqrt{x + 3}} = 11$
ОДЗ: $x + 3 > 0 \Rightarrow x > -3$.
Выразим $\sqrt{x+3}$: $\sqrt{x+3} = \frac{22}{11}$.
$\sqrt{x+3} = 2$.
Возведем обе части в квадрат: $(\sqrt{x+3})^2 = 2^2$.
$x + 3 = 4$.
$x = 1$.
Корень $x = 1$ удовлетворяет ОДЗ ($1 > -3$).
Ответ: 1.

6) $\sqrt{x^2 - 64} = 6$
ОДЗ: $x^2 - 64 \ge 0 \Rightarrow x^2 \ge 64$. Это неравенство выполняется при $x \le -8$ или $x \ge 8$. Таким образом, $x \in (-\infty; -8] \cup [8; \infty)$.
Возводим обе части в квадрат: $(\sqrt{x^2 - 64})^2 = 6^2$.
$x^2 - 64 = 36$.
$x^2 = 100$.
$x_1 = 10, x_2 = -10$.
Проверяем оба корня на соответствие ОДЗ. $10 \in [8; \infty)$ и $-10 \in (-\infty; -8]$. Оба корня подходят.
Ответ: -10; 10.

7) $\sqrt{1 + \sqrt{3 + x}} = 4$
ОДЗ: Сначала определим ОДЗ для внутреннего корня: $3 + x \ge 0 \Rightarrow x \ge -3$. Выражение под внешним корнем $1 + \sqrt{3 + x}$ всегда будет положительным, так как $\sqrt{3 + x} \ge 0$. Значит, ОДЗ: $x \ge -3$.
Возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от внешнего корня: $(\sqrt{1 + \sqrt{3 + x}})^2 = 4^2$.
$1 + \sqrt{3 + x} = 16$.
$\sqrt{3 + x} = 15$.
Снова возведем обе части в квадрат: $(\sqrt{3 + x})^2 = 15^2$.
$3 + x = 225$.
$x = 222$.
Корень $x = 222$ удовлетворяет ОДЗ ($222 \ge -3$).
Ответ: 222.

8) $\sqrt{x} + \sqrt{x - 2} = 0$
ОДЗ: Должны выполняться два условия одновременно: $x \ge 0$ и $x - 2 \ge 0$. Из второго условия следует $x \ge 2$. Объединяя оба условия, получаем ОДЗ: $x \ge 2$.
В левой части уравнения стоит сумма двух неотрицательных слагаемых ($\sqrt{x} \ge 0$ и $\sqrt{x-2} \ge 0$). Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда оба числа равны нулю.
$\sqrt{x} = 0 \Rightarrow x = 0$.
$\sqrt{x - 2} = 0 \Rightarrow x = 2$.
Система $\begin{cases} x = 0 \\ x = 2 \end{cases}$ не имеет решений, так как переменная $x$ не может одновременно принимать два разных значения. Следовательно, исходное уравнение не имеет корней.
Ответ: нет корней.

9) $(x - 2)\sqrt{x + 2} = 0$
ОДЗ: $x + 2 \ge 0 \Rightarrow x \ge -2$.
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а второй при этом существует (определен).
Рассмотрим два случая:
1) $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($2 \ge -2$).
2) $\sqrt{x + 2} = 0 \Rightarrow x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$. Этот корень также удовлетворяет ОДЗ ($-2 \ge -2$).
Таким образом, уравнение имеет два корня.
Ответ: -2; 2.