Номер 10.22, страница 88 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

10.22. Разложите на множители, используя формулу разности кубов (переменные принимают только неотрицательные значения):

1) $a - b;$ 2) $a^{1.5} - b^{1.5};$ 3) $m^{0.6} - 8n^{1.8};$ 4) $x^{\frac{6}{7}} - 6.$

Для решения данной задачи мы воспользуемся формулой разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$. Условие о том, что переменные принимают только неотрицательные значения, позволяет нам извлекать корни любой степени.

Представим $a$ и $b$ как кубы некоторых выражений. Для этого воспользуемся свойством степеней: $a = (a^{\frac{1}{3}})^3$ и $b = (b^{\frac{1}{3}})^3$.
Исходное выражение принимает вид:
$a - b = (a^{\frac{1}{3}})^3 - (b^{\frac{1}{3}})^3$
Теперь применим формулу разности кубов, где в качестве $x$ выступает $a^{\frac{1}{3}}$, а в качестве $y$ выступает $b^{\frac{1}{3}}$:
$(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}) \cdot ((a^{\frac{1}{3}})^2 + a^{\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{1}{3}} + (b^{\frac{1}{3}})^2)$
Упростим вторую скобку, используя свойство $(x^m)^n = x^{mn}$:
$(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}})$
Ответ: $(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}})$.

Представим каждый член выражения в виде куба.
$a^{1.5} = a^{3 \cdot 0.5} = (a^{0.5})^3$
$b^{1.5} = b^{3 \cdot 0.5} = (b^{0.5})^3$
Таким образом, выражение можно переписать как:
$a^{1.5} - b^{1.5} = (a^{0.5})^3 - (b^{0.5})^3$
Применяем формулу разности кубов для $x = a^{0.5}$ и $y = b^{0.5}$:
$(a^{0.5} - b^{0.5})((a^{0.5})^2 + a^{0.5}b^{0.5} + (b^{0.5})^2)$
Упрощаем выражение во второй скобке:
$(a^{0.5} - b^{0.5})(a^1 + a^{0.5}b^{0.5} + b^1) = (a^{0.5} - b^{0.5})(a + a^{0.5}b^{0.5} + b)$
Ответ: $(a^{0.5} - b^{0.5})(a + a^{0.5}b^{0.5} + b)$.

Представим каждый член выражения в виде куба.
$m^{0.6} = m^{3 \cdot 0.2} = (m^{0.2})^3$
$8n^{1.8} = 2^3 \cdot n^{3 \cdot 0.6} = (2n^{0.6})^3$
Перепишем исходное выражение:
$m^{0.6} - 8n^{1.8} = (m^{0.2})^3 - (2n^{0.6})^3$
Применяем формулу разности кубов для $x = m^{0.2}$ и $y = 2n^{0.6}$:
$(m^{0.2} - 2n^{0.6})((m^{0.2})^2 + m^{0.2} \cdot 2n^{0.6} + (2n^{0.6})^2)$
Упрощаем выражение во второй скобке:
$(m^{0.2} - 2n^{0.6})(m^{0.4} + 2m^{0.2}n^{0.6} + 4n^{1.2})$
Ответ: $(m^{0.2} - 2n^{0.6})(m^{0.4} + 2m^{0.2}n^{0.6} + 4n^{1.2})$.

Представим каждый член выражения в виде куба.
$x^{\frac{6}{7}} = x^{3 \cdot \frac{2}{7}} = (x^{\frac{2}{7}})^3$
$6 = (\sqrt[3]{6})^3 = (6^{\frac{1}{3}})^3$
Перепишем исходное выражение:
$x^{\frac{6}{7}} - 6 = (x^{\frac{2}{7}})^3 - (6^{\frac{1}{3}})^3$
Применяем формулу разности кубов для $x = x^{\frac{2}{7}}$ и $y = 6^{\frac{1}{3}}$:
$(x^{\frac{2}{7}} - 6^{\frac{1}{3}})((x^{\frac{2}{7}})^2 + x^{\frac{2}{7}} \cdot 6^{\frac{1}{3}} + (6^{\frac{1}{3}})^2)$
Упрощаем выражение во второй скобке:
$(x^{\frac{2}{7}} - 6^{\frac{1}{3}})(x^{\frac{4}{7}} + 6^{\frac{1}{3}}x^{\frac{2}{7}} + 6^{\frac{2}{3}})$
Ответ: $(x^{\frac{2}{7}} - 6^{\frac{1}{3}})(x^{\frac{4}{7}} + 6^{\frac{1}{3}}x^{\frac{2}{7}} + 6^{\frac{2}{3}})$.