Номер 10.23, страница 88 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

10.23. Сократите дробь:

1) $ \frac{a - 5a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} - 5} $;

2) $ \frac{a - 4b}{a^{0.5} + 2b^{0.5}} $;

3) $ \frac{a - b}{ab^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{2}}b} $;

4) $ \frac{a + 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} $;

5) $ \frac{4c^{\frac{2}{3}} - 12c^{\frac{1}{3}}d^{\frac{1}{3}} + 9d^{\frac{2}{3}}}{2c^{\frac{1}{3}} - 3d^{\frac{1}{3}}} $;

6) $ \frac{a + b}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}} $;

7) $ \frac{m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{3}{2}} - n^{\frac{3}{2}}} $;

8) $ \frac{a^{\frac{3}{4}} + 7a^{\frac{1}{2}}}{a - 49a^{\frac{1}{2}}} $;

9) $ \frac{30^{\frac{1}{5}} - 6^{\frac{1}{5}}}{10^{\frac{1}{5}} - 2^{\frac{1}{5}}} $.

1)

Исходная дробь: $ \frac{a - 5a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} - 5} $.

В числителе вынесем общий множитель $ a^{\frac{1}{2}} $ за скобки. Учитывая, что $ a = (a^{\frac{1}{2}})^2 $, получаем:

$ a - 5a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{2}} - 5a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - 5) $.

Подставим это выражение обратно в дробь:

$ \frac{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - 5)}{a^{\frac{1}{2}} - 5} $.

Сокращаем одинаковые множители $ (a^{\frac{1}{2}} - 5) $ в числителе и знаменателе.

Ответ: $ a^{\frac{1}{2}} $.

2)

Исходная дробь: $ \frac{a - 4b}{a^{0,5} + 2b^{0,5}} $.

Заметим, что $ a^{0,5} = a^{\frac{1}{2}} $ и $ b^{0,5} = b^{\frac{1}{2}} $. Числитель $ a - 4b $ можно представить как разность квадратов, так как $ a = (a^{\frac{1}{2}})^2 $ и $ 4b = (2b^{\frac{1}{2}})^2 $.

Применим формулу разности квадратов $ x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) $ к числителю:

$ a - 4b = (a^{\frac{1}{2}})^2 - (2b^{\frac{1}{2}})^2 = (a^{\frac{1}{2}} - 2b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + 2b^{\frac{1}{2}}) $.

Подставим разложенный числитель в дробь:

$ \frac{(a^{\frac{1}{2}} - 2b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + 2b^{\frac{1}{2}})}{a^{\frac{1}{2}} + 2b^{\frac{1}{2}}} $.

Сокращаем общий множитель $ (a^{\frac{1}{2}} + 2b^{\frac{1}{2}}) $.

Ответ: $ a^{\frac{1}{2}} - 2b^{\frac{1}{2}} $.

3)

Исходная дробь: $ \frac{a - b}{ab^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{2}}b} $.

Числитель $ a - b $ разложим как разность квадратов: $ a - b = (a^{\frac{1}{2}})^2 - (b^{\frac{1}{2}})^2 = (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}) $.

В знаменателе вынесем общий множитель $ a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} $ за скобки:

$ ab^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{2}}b = a^{\frac{1}{2}}a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}) $.

Теперь дробь имеет вид:

$ \frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})}{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})} $.

Сокращаем общий множитель $ (a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}) $.

Ответ: $ \frac{a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}} $.

4)

Исходная дробь: $ \frac{a + 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} $.

Числитель $ a + 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b $ является полным квадратом суммы. Учитывая, что $ a = (a^{\frac{1}{2}})^2 $ и $ b = (b^{\frac{1}{2}})^2 $, применим формулу $ x^2+2xy+y^2=(x+y)^2 $:

$ a + 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b = (a^{\frac{1}{2}})^2 + 2(a^{\frac{1}{2}})(b^{\frac{1}{2}}) + (b^{\frac{1}{2}})^2 = (a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})^2 $.

Подставим в дробь:

$ \frac{(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})^2}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} $.

Сокращаем дробь на $ (a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}) $.

Ответ: $ a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}} $.

5)

Исходная дробь: $ \frac{4c^{\frac{2}{3}} - 12c^{\frac{1}{3}}d^{\frac{1}{3}} + 9d^{\frac{2}{3}}}{2c^{\frac{1}{3}} - 3d^{\frac{1}{3}}} $.

Числитель представляет собой полный квадрат разности. Обозначим $ x = 2c^{\frac{1}{3}} $ и $ y = 3d^{\frac{1}{3}} $. Тогда $ x^2 = 4c^{\frac{2}{3}} $, $ y^2 = 9d^{\frac{2}{3}} $ и $ 2xy = 2(2c^{\frac{1}{3}})(3d^{\frac{1}{3}}) = 12c^{\frac{1}{3}}d^{\frac{1}{3}} $.

Используя формулу $ (x-y)^2=x^2-2xy+y^2 $, получаем:

$ 4c^{\frac{2}{3}} - 12c^{\frac{1}{3}}d^{\frac{1}{3}} + 9d^{\frac{2}{3}} = (2c^{\frac{1}{3}} - 3d^{\frac{1}{3}})^2 $.

Подставим в дробь:

$ \frac{(2c^{\frac{1}{3}} - 3d^{\frac{1}{3}})^2}{2c^{\frac{1}{3}} - 3d^{\frac{1}{3}}} $.

Сокращаем дробь на $ (2c^{\frac{1}{3}} - 3d^{\frac{1}{3}}) $.

Ответ: $ 2c^{\frac{1}{3}} - 3d^{\frac{1}{3}} $.

6)

Исходная дробь: $ \frac{a + b}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}} $.

Числитель $ a + b $ можно представить как сумму кубов: $ a = (a^{\frac{1}{3}})^3 $ и $ b = (b^{\frac{1}{3}})^3 $.

Применим формулу суммы кубов $ x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2) $:

$ a + b = (a^{\frac{1}{3}})^3 + (b^{\frac{1}{3}})^3 = (a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})((a^{\frac{1}{3}})^2 - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + (b^{\frac{1}{3}})^2) = (a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}) $.

Подставим в дробь:

$ \frac{(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}})}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}} $.

Сокращаем общий множитель $ (a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}) $.

Ответ: $ a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}} $.

7)

Исходная дробь: $ \frac{m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{3}{2}} - n^{\frac{3}{2}}} $.

Знаменатель $ m^{\frac{3}{2}} - n^{\frac{3}{2}} $ можно представить как разность кубов: $ m^{\frac{3}{2}} = (m^{\frac{1}{2}})^3 $ и $ n^{\frac{3}{2}} = (n^{\frac{1}{2}})^3 $.

Применим формулу разности кубов $ x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2) $:

$ m^{\frac{3}{2}} - n^{\frac{3}{2}} = (m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}})((m^{\frac{1}{2}})^2 + m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{1}{2}} + (n^{\frac{1}{2}})^2) = (m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}})(m + m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{1}{2}} + n) $.

Подставим в дробь:

$ \frac{m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}}}{(m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}})(m + m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{1}{2}} + n)} $.

Сокращаем общий множитель $ (m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}}) $.

Ответ: $ \frac{1}{m + m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{1}{2}} + n} $.

8)

Исходная дробь: $ \frac{a^{\frac{3}{4}} + 7a^{\frac{1}{2}}}{a - 49a^{\frac{1}{2}}} $.

В числителе вынесем за скобки $ a^{\frac{1}{2}} $: $ a^{\frac{3}{4}} + 7a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{2}{4}} \cdot a^{\frac{1}{4}} + 7a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{4}} + 7) $.

В знаменателе вынесем за скобки $ a^{\frac{1}{2}} $: $ a - 49a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{2}} - 49a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - 49) $.

Дробь принимает вид: $ \frac{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{4}} + 7)}{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - 49)} $.

Сокращаем $ a^{\frac{1}{2}} $: $ \frac{a^{\frac{1}{4}} + 7}{a^{\frac{1}{2}} - 49} $.

Знаменатель $ a^{\frac{1}{2}} - 49 $ является разностью квадратов: $ (a^{\frac{1}{4}})^2 - 7^2 = (a^{\frac{1}{4}} - 7)(a^{\frac{1}{4}} + 7) $.

Подставляем в дробь: $ \frac{a^{\frac{1}{4}} + 7}{(a^{\frac{1}{4}} - 7)(a^{\frac{1}{4}} + 7)} $.

Сокращаем общий множитель $ (a^{\frac{1}{4}} + 7) $.

Ответ: $ \frac{1}{a^{\frac{1}{4}} - 7} $.

9)

Исходная дробь: $ \frac{30^{\frac{1}{5}} - 6^{\frac{1}{5}}}{10^{\frac{1}{5}} - 2^{\frac{1}{5}}} $.

Разложим числа под корнем на множители. В числителе: $ 30 = 5 \cdot 6 $.

$ 30^{\frac{1}{5}} - 6^{\frac{1}{5}} = (5 \cdot 6)^{\frac{1}{5}} - 6^{\frac{1}{5}} = 5^{\frac{1}{5}} \cdot 6^{\frac{1}{5}} - 6^{\frac{1}{5}} = 6^{\frac{1}{5}}(5^{\frac{1}{5}} - 1) $.

В знаменателе: $ 10 = 5 \cdot 2 $.

$ 10^{\frac{1}{5}} - 2^{\frac{1}{5}} = (5 \cdot 2)^{\frac{1}{5}} - 2^{\frac{1}{5}} = 5^{\frac{1}{5}} \cdot 2^{\frac{1}{5}} - 2^{\frac{1}{5}} = 2^{\frac{1}{5}}(5^{\frac{1}{5}} - 1) $.

Подставим эти выражения в дробь:

$ \frac{6^{\frac{1}{5}}(5^{\frac{1}{5}} - 1)}{2^{\frac{1}{5}}(5^{\frac{1}{5}} - 1)} $.

Сокращаем общий множитель $ (5^{\frac{1}{5}} - 1) $:

$ \frac{6^{\frac{1}{5}}}{2^{\frac{1}{5}}} $.

Используем свойство степеней $ \frac{x^n}{y^n} = (\frac{x}{y})^n $:

$ (\frac{6}{2})^{\frac{1}{5}} = 3^{\frac{1}{5}} $.

Ответ: $ 3^{\frac{1}{5}} $.