Номер 10.24, страница 88 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

10.24. Сократите дробь:

1) $\frac{a + 2a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{2}{3}} + 2}$;

2) $\frac{m^{\frac{5}{4}}n^{\frac{1}{4}} - m^{\frac{1}{4}}n}{m^{\frac{5}{4}}n^{\frac{5}{4}}}$;

3) $\frac{a - b^2}{a - a^{\frac{1}{2}}b}$;

4) $\frac{a - b}{a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}}$;

5) $\frac{a^{0.5} - b^{0.5}}{a - b}$;

6) $\frac{x^{3.5}y^{2.5} - x^{2.5}y^{3.5}}{x + 2x^{0.5}y^{0.5} + y}$;

7) $\frac{a - 125}{a^{\frac{2}{3}} - 25}$;

8) $\frac{m^{\frac{7}{6}} - 36m^{\frac{5}{6}}}{m^{\frac{1}{2}} - 6m^{\frac{1}{3}}}$;

9) $\frac{24^{\frac{1}{4}} - 8^{\frac{1}{4}}}{6^{\frac{1}{4}} - 2^{\frac{1}{4}}}$.

1)

Рассмотрим дробь $\frac{a + 2a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{2}{3}} + 2}$.

В числителе вынесем за скобки общий множитель $a^{\frac{1}{3}}$, учитывая, что $a = a^1 = a^{\frac{1}{3}} \cdot a^{\frac{2}{3}}$:
$a + 2a^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{2}{3}} + 2)$.

Подставим полученное выражение обратно в дробь:
$\frac{a^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{2}{3}} + 2)}{a^{\frac{2}{3}} + 2}$.

Сократим общий множитель $(a^{\frac{2}{3}} + 2)$ в числителе и знаменателе.

Ответ: $a^{\frac{1}{3}}$

2)

Рассмотрим дробь $\frac{m^{\frac{5}{4}}n^{\frac{1}{4}} - m^{\frac{1}{4}}n^{\frac{5}{4}}}{m^{\frac{5}{4}}n^{\frac{5}{4}}}$.

В числителе вынесем за скобки общий множитель $m^{\frac{1}{4}}n^{\frac{1}{4}}$:
$m^{\frac{5}{4}}n^{\frac{1}{4}} - m^{\frac{1}{4}}n^{\frac{5}{4}} = m^{\frac{1}{4}}n^{\frac{1}{4}}(m^{\frac{5}{4}-\frac{1}{4}}n^{\frac{1}{4}-\frac{1}{4}} - m^{\frac{1}{4}-\frac{1}{4}}n^{\frac{5}{4}-\frac{1}{4}}) = m^{\frac{1}{4}}n^{\frac{1}{4}}(m - n)$.

Подставим в дробь:
$\frac{m^{\frac{1}{4}}n^{\frac{1}{4}}(m - n)}{m^{\frac{5}{4}}n^{\frac{5}{4}}}$.

Сократим степени $m$ и $n$:
$m^{\frac{1}{4}-\frac{5}{4}}n^{\frac{1}{4}-\frac{5}{4}}(m - n) = m^{-\frac{4}{4}}n^{-\frac{4}{4}}(m-n) = m^{-1}n^{-1}(m-n)$.

Ответ: $\frac{m-n}{mn}$

3)

Рассмотрим дробь $\frac{a - b^2}{a - a^{\frac{1}{2}}b}$.

Представим числитель как разность квадратов, учитывая, что $a = (a^{\frac{1}{2}})^2$:
$a - b^2 = (a^{\frac{1}{2}})^2 - b^2 = (a^{\frac{1}{2}} - b)(a^{\frac{1}{2}} + b)$.

В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $a^{\frac{1}{2}}$:
$a - a^{\frac{1}{2}}b = a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - b)$.

Подставим полученные выражения в дробь:
$\frac{(a^{\frac{1}{2}} - b)(a^{\frac{1}{2}} + b)}{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - b)}$.

Сократим общий множитель $(a^{\frac{1}{2}} - b)$.

Ответ: $\frac{a^{\frac{1}{2}} + b}{a^{\frac{1}{2}}}$

4)

Рассмотрим дробь $\frac{a - b}{a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}}$.

Числитель является разностью кубов. Представим $a = (a^{\frac{1}{3}})^3$ и $b = (b^{\frac{1}{3}})^3$.
Используем формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$:
$a - b = (a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})( (a^{\frac{1}{3}})^2 + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + (b^{\frac{1}{3}})^2 ) = (a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}})$.

Подставим в дробь:
$\frac{(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}})}{a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}}$.

Знаменатель является неполным квадратом суммы, который сокращается с соответствующим множителем в числителе.

Ответ: $a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}$

5)

Рассмотрим дробь $\frac{a^{0.5} - b^{0.5}}{a - b}$.

Знаменатель является разностью квадратов. Представим $a = (a^{0.5})^2$ и $b = (b^{0.5})^2$.
Используем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:
$a - b = (a^{0.5} - b^{0.5})(a^{0.5} + b^{0.5})$.

Подставим в дробь:
$\frac{a^{0.5} - b^{0.5}}{(a^{0.5} - b^{0.5})(a^{0.5} + b^{0.5})}$.

Сократим общий множитель $(a^{0.5} - b^{0.5})$.

Ответ: $\frac{1}{a^{0.5} + b^{0.5}}$

6)

Рассмотрим дробь $\frac{x^{3.5}y^{2.5} - x^{2.5}y^{3.5}}{x + 2x^{0.5}y^{0.5} + y}$.

В числителе вынесем за скобки общий множитель $x^{2.5}y^{2.5}$:
$x^{3.5}y^{2.5} - x^{2.5}y^{3.5} = x^{2.5}y^{2.5}(x - y)$.

Знаменатель является полным квадратом суммы: $x + 2x^{0.5}y^{0.5} + y = (x^{0.5} + y^{0.5})^2$.

Разложим множитель $(x-y)$ в числителе как разность квадратов: $x - y = (x^{0.5} - y^{0.5})(x^{0.5} + y^{0.5})$.

Подставим все в дробь:
$\frac{x^{2.5}y^{2.5}(x^{0.5} - y^{0.5})(x^{0.5} + y^{0.5})}{(x^{0.5} + y^{0.5})^2}$.

Сократим общий множитель $(x^{0.5} + y^{0.5})$.

Ответ: $\frac{x^{2.5}y^{2.5}(x^{0.5} - y^{0.5})}{x^{0.5} + y^{0.5}}$

7)

Рассмотрим дробь $\frac{a - 125}{a^{\frac{2}{3}} - 25}$.

Представим числитель как разность кубов: $a - 125 = (a^{\frac{1}{3}})^3 - 5^3 = (a^{\frac{1}{3}}-5)(a^{\frac{2}{3}} + 5a^{\frac{1}{3}} + 25)$.

Представим знаменатель как разность квадратов: $a^{\frac{2}{3}} - 25 = (a^{\frac{1}{3}})^2 - 5^2 = (a^{\frac{1}{3}}-5)(a^{\frac{1}{3}}+5)$.

Подставим в дробь:
$\frac{(a^{\frac{1}{3}}-5)(a^{\frac{2}{3}} + 5a^{\frac{1}{3}} + 25)}{(a^{\frac{1}{3}}-5)(a^{\frac{1}{3}}+5)}$.

Сократим общий множитель $(a^{\frac{1}{3}}-5)$.

Ответ: $\frac{a^{\frac{2}{3}} + 5a^{\frac{1}{3}} + 25}{a^{\frac{1}{3}} + 5}$

8)

Рассмотрим дробь $\frac{m^{\frac{7}{6}} - 36m^{\frac{5}{6}}}{m^{\frac{1}{2}} - 6m^{\frac{1}{3}}}$.

В числителе вынесем за скобки общий множитель $m^{\frac{5}{6}}$:
$m^{\frac{5}{6}}(m^{\frac{7}{6}-\frac{5}{6}} - 36) = m^{\frac{5}{6}}(m^{\frac{2}{6}} - 36) = m^{\frac{5}{6}}(m^{\frac{1}{3}} - 36)$.
Разложим $(m^{\frac{1}{3}} - 36)$ как разность квадратов: $(m^{\frac{1}{6}})^2 - 6^2 = (m^{\frac{1}{6}}-6)(m^{\frac{1}{6}}+6)$.
Числитель равен $m^{\frac{5}{6}}(m^{\frac{1}{6}}-6)(m^{\frac{1}{6}}+6)$.

В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $m^{\frac{1}{3}}$ (наименьшая степень, $1/3=2/6 < 1/2=3/6$):
$m^{\frac{1}{3}}(m^{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}} - 6) = m^{\frac{1}{3}}(m^{\frac{3-2}{6}} - 6) = m^{\frac{1}{3}}(m^{\frac{1}{6}} - 6)$.

Подставим в дробь:
$\frac{m^{\frac{5}{6}}(m^{\frac{1}{6}}-6)(m^{\frac{1}{6}}+6)}{m^{\frac{1}{3}}(m^{\frac{1}{6}} - 6)}$.

Сократим общий множитель $(m^{\frac{1}{6}}-6)$ и степени $m$: $\frac{m^{\frac{5}{6}}}{m^{\frac{1}{3}}} = m^{\frac{5}{6}-\frac{2}{6}} = m^{\frac{3}{6}} = m^{\frac{1}{2}}$.

Ответ: $m^{\frac{1}{2}}(m^{\frac{1}{6}} + 6)$

9)

Рассмотрим дробь $\frac{24^{\frac{1}{4}} - 8^{\frac{1}{4}}}{6^{\frac{1}{4}} - 2^{\frac{1}{4}}}$.

Разложим числа под корнем на множители.
В числителе: $24^{\frac{1}{4}} - 8^{\frac{1}{4}} = (3 \cdot 8)^{\frac{1}{4}} - 8^{\frac{1}{4}} = 3^{\frac{1}{4}} \cdot 8^{\frac{1}{4}} - 8^{\frac{1}{4}} = 8^{\frac{1}{4}}(3^{\frac{1}{4}} - 1)$.

В знаменателе: $6^{\frac{1}{4}} - 2^{\frac{1}{4}} = (3 \cdot 2)^{\frac{1}{4}} - 2^{\frac{1}{4}} = 3^{\frac{1}{4}} \cdot 2^{\frac{1}{4}} - 2^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{1}{4}}(3^{\frac{1}{4}} - 1)$.

Подставим в дробь:
$\frac{8^{\frac{1}{4}}(3^{\frac{1}{4}} - 1)}{2^{\frac{1}{4}}(3^{\frac{1}{4}} - 1)}$.

Сократим общий множитель $(3^{\frac{1}{4}} - 1)$. Остается $\frac{8^{\frac{1}{4}}}{2^{\frac{1}{4}}} = (\frac{8}{2})^{\frac{1}{4}} = 4^{\frac{1}{4}}$.

Упростим результат: $4^{\frac{1}{4}} = (2^2)^{\frac{1}{4}} = 2^{2 \cdot \frac{1}{4}} = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$