Номер 2, страница 93 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

2. Обе части уравнения возвели в нечётную степень. Будут ли исходное и полученное уравнение равносильными?

Да, исходное и полученное уравнения будут равносильными. Это утверждение верно, так как преобразование "возведение в нечётную степень" является равносильным преобразованием для уравнений.

Рассмотрим, почему это так. Пусть у нас есть исходное уравнение:

$f(x) = g(x)$

И уравнение, полученное возведением обеих частей в нечётную степень $n$ (где $n = 2k+1$, для целого $k$):

$(f(x))^n = (g(x))^n$

Два уравнения считаются равносильными, если множества их корней полностью совпадают. Для этого нужно доказать два утверждения:

1. Каждый корень исходного уравнения является корнем полученного.
Пусть $x_0$ — это корень исходного уравнения. Тогда при подстановке $x_0$ в него мы получаем верное числовое равенство: $f(x_0) = g(x_0)$. Если два числа равны, то и их одинаковые степени тоже равны. Следовательно, $(f(x_0))^n = (g(x_0))^n$ также является верным равенством. Это означает, что $x_0$ — корень и второго уравнения. Таким образом, при этом преобразовании не происходит потери корней.

2. Каждый корень полученного уравнения является корнем исходного.
Пусть $x_1$ — это корень второго уравнения. Тогда при подстановке $x_1$ мы получаем верное числовое равенство: $(f(x_1))^n = (g(x_1))^n$. Здесь ключевую роль играет то, что степень $n$ — нечётная. Функция $y=t^n$ для нечётного $n$ является строго монотонной на всей числовой оси. Это значит, что для любых двух чисел $a$ и $b$, равенство $a^n = b^n$ выполняется тогда и только тогда, когда $a=b$. Применяя это свойство к нашему равенству, мы можем сделать однозначный вывод, что $f(x_1) = g(x_1)$. Это означает, что $x_1$ является и корнем исходного уравнения. Таким образом, при этом преобразовании не появляются посторонние корни.

Также важно отметить, что возведение в натуральную нечётную степень не изменяет область допустимых значений (ОДЗ) функций $f(x)$ и $g(x)$, поэтому ОДЗ исходного и полученного уравнений совпадают.

Поскольку любой корень первого уравнения является корнем второго, и наоборот, а ОДЗ сохраняется, то эти уравнения равносильны.

Для сравнения, при возведении в чётную степень равносильность, как правило, нарушается, так как из $a^n = b^n$ (где $n$ – чётное) следует не $a=b$, а $|a|=|b|$ (то есть $a = \pm b$), что может привести к появлению посторонних корней.

Ответ: Да, исходное и полученное уравнения будут равносильными. Возведение обеих частей уравнения в нечётную степень является равносильным преобразованием, поскольку функция $y=x^n$ (где $n$ — нечётное число) строго монотонна, что обеспечивает взаимно-однозначное соответствие между равенством оснований $f(x)=g(x)$ и равенством их степеней $(f(x))^n=(g(x))^n$.