Номер 4, страница 93 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

4. Как можно выявить посторонние корни уравнения?

Посторонние корни — это значения переменной, которые получаются в процессе решения уравнения, но не являются его решениями при подстановке в исходное уравнение. Они возникают из-за применения неравносильных преобразований, то есть таких преобразований, которые могут расширять множество корней. К таким преобразованиям относятся, например, возведение обеих частей уравнения в чётную степень, умножение на выражение, содержащее переменную, или избавление от знаменателя.

Выявить посторонние корни можно несколькими способами.

1. Проверка подстановкой

Это самый универсальный и надежный способ. Суть метода заключается в том, чтобы подставить каждый из найденных корней в исходное (самое первое) уравнение.

• Если при подстановке корня уравнение превращается в верное числовое равенство, то корень является действительным.
• Если получается неверное равенство или выражение, не имеющее смысла (например, деление на ноль или корень из отрицательного числа), то корень — посторонний.

Пример:

Решим уравнение $ \sqrt{x+7} = x-5 $.

Возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$ (\sqrt{x+7})^2 = (x-5)^2 $

$ x+7 = x^2 - 10x + 25 $

$ x^2 - 11x + 18 = 0 $

По теореме Виета или через дискриминант находим корни: $ x_1 = 2 $ и $ x_2 = 9 $.

Теперь выполним проверку, подставляя корни в исходное уравнение $ \sqrt{x+7} = x-5 $:

• Проверка для $ x_1 = 2 $:
  $ \sqrt{2+7} = 2-5 $
  $ \sqrt{9} = -3 $
  $ 3 = -3 $ — неверно. Следовательно, $ x=2 $ — посторонний корень.
• Проверка для $ x_2 = 9 $:
  $ \sqrt{9+7} = 9-5 $
  $ \sqrt{16} = 4 $
  $ 4 = 4 $ — верно. Следовательно, $ x=9 $ — действительный корень.

Ответ: $ x=9 $.

2. Нахождение области допустимых значений (ОДЗ)

Этот метод заключается в том, чтобы до начала решения уравнения найти все значения переменной, при которых уравнение имеет смысл. После нахождения потенциальных корней нужно проверить, принадлежат ли они ОДЗ.

Основные ограничения для ОДЗ:

• Знаменатель дроби не может быть равен нулю.
• Выражение под корнем чётной степени (квадратным, 4-й степени и т.д.) должно быть неотрицательным.
• Аргумент логарифма должен быть строго положительным.

Пример (тот же):

Рассмотрим уравнение $ \sqrt{x+7} = x-5 $.

Найдем ОДЗ. Для этого должны выполняться два условия:

1. Выражение под корнем неотрицательно: $ x+7 \ge 0 \implies x \ge -7 $.
2. Правая часть уравнения должна быть неотрицательной, так как арифметический квадратный корень не может быть отрицательным: $ x-5 \ge 0 \implies x \ge 5 $.

Объединяя оба условия ($ x \ge -7 $ и $ x \ge 5 $), получаем итоговую ОДЗ: $ x \ge 5 $.

Мы уже решили уравнение $ x^2 - 11x + 18 = 0 $ и получили корни $ x_1 = 2 $ и $ x_2 = 9 $.

Теперь сравним корни с ОДЗ ($ x \ge 5 $):

• Корень $ x_1 = 2 $ не удовлетворяет условию $ x \ge 5 $, значит, это посторонний корень.
• Корень $ x_2 = 9 $ удовлетворяет условию $ x \ge 5 $, значит, это действительный корень.

Ответ: $ x=9 $.

3. Использование равносильных переходов

Этот метод предполагает замену исходного уравнения системой или совокупностью уравнений и неравенств, которая полностью эквивалентна исходному уравнению. Это позволяет избежать появления посторонних корней с самого начала.

Например, уравнение вида $ \sqrt{f(x)} = g(x) $ равносильно системе:

$ \begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) = (g(x))^2 \end{cases} $

Условие $ f(x) \ge 0 $ здесь избыточно, так как оно автоматически следует из второго уравнения системы.

Пример (тот же):

Для уравнения $ \sqrt{x+7} = x-5 $ составим равносильную систему:

$ \begin{cases} x-5 \ge 0 \\ x+7 = (x-5)^2 \end{cases} $

Решаем систему:

$ \begin{cases} x \ge 5 \\ x^2 - 11x + 18 = 0 \end{cases} $

Корни второго уравнения: $ x_1 = 2 $, $ x_2 = 9 $.

Выбираем тот корень, который удовлетворяет неравенству $ x \ge 5 $. Это корень $ x_2=9 $.

Ответ: $ x=9 $.

Таким образом, для выявления посторонних корней можно использовать:

1. Проверку подстановкой: самый надежный и простой для понимания метод.
2. Нахождение ОДЗ: эффективно отсеивает корни, не входящие в область определения, но иногда ОДЗ не учитывает все ограничения (как в примере, где ОДЗ нужно было дополнить условием неотрицательности правой части).
3. Равносильные переходы: наиболее строгий математический подход, который позволяет не получать посторонние корни вообще, но требует хорошего знания правил таких переходов.

Ответ: Посторонние корни уравнения можно выявить путем подстановки найденных значений в исходное уравнение, либо путем сравнения корней с предварительно найденной областью допустимых значений (ОДЗ) уравнения, либо используя равносильные преобразования, которые исключают их появление.