Номер 11.2, страница 93 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.2. Решите уравнение:

1) $\sqrt[4]{2x - 2} = 2$;

2) $\sqrt[3]{x - 4} = 2$;

3) $\sqrt[5]{x - 6} = -3$;

4) $\sqrt[3]{x^3 - 2x + 3} = x$;

5) $\sqrt{7 + \sqrt[3]{x^2 + 7}} = 3$;

6) $\sqrt[3]{x^2 + 15} = 2\sqrt[3]{x + 1}$.

Дано иррациональное уравнение $\sqrt[4]{2x - 2} = 2$.

Так как показатель корня — четное число (4), то подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Это определяет область допустимых значений (ОДЗ):

$2x - 2 \geq 0$

$2x \geq 2$

$x \geq 1$

Чтобы избавиться от корня, возведем обе части уравнения в 4-ю степень:

$(\sqrt[4]{2x - 2})^4 = 2^4$

$2x - 2 = 16$

Решим полученное линейное уравнение:

$2x = 16 + 2$

$2x = 18$

$x = 9$

Найденный корень $x=9$ удовлетворяет условию ОДЗ ($9 \geq 1$). Выполним проверку, подставив значение в исходное уравнение:

$\sqrt[4]{2 \cdot 9 - 2} = \sqrt[4]{18 - 2} = \sqrt[4]{16} = 2$.

$2 = 2$. Равенство верное.

Ответ: $9$

Дано уравнение $\sqrt[3]{x - 4} = 2$.

Поскольку корень нечетной степени (3-й), подкоренное выражение может быть любым действительным числом. Ограничений на $x$ нет.

Возведем обе части уравнения в 3-ю степень:

$(\sqrt[3]{x - 4})^3 = 2^3$

$x - 4 = 8$

Решим уравнение:

$x = 8 + 4$

$x = 12$

Проверка:

$\sqrt[3]{12 - 4} = \sqrt[3]{8} = 2$.

$2 = 2$. Равенство верное.

Ответ: $12$

Дано уравнение $\sqrt[5]{x - 6} = -3$.

Так как корень нечетной степени (5-й), ОДЗ — все действительные числа. Корень нечетной степени из отрицательного числа существует и является отрицательным числом.

Возведем обе части уравнения в 5-ю степень:

$(\sqrt[5]{x - 6})^5 = (-3)^5$

$x - 6 = -243$

Найдем $x$:

$x = -243 + 6$

$x = -237$

Проверка:

$\sqrt[5]{-237 - 6} = \sqrt[5]{-243} = -3$.

$-3 = -3$. Равенство верное.

Ответ: $-237$

Дано уравнение $\sqrt[3]{x^3 - 2x + 3} = x$.

Корень нечетной степени, поэтому ОДЗ — все действительные числа.

Возведем обе части уравнения в 3-ю степень:

$(\sqrt[3]{x^3 - 2x + 3})^3 = x^3$

$x^3 - 2x + 3 = x^3$

Упростим уравнение, вычтя $x^3$ из обеих частей:

$-2x + 3 = 0$

Решим полученное линейное уравнение:

$-2x = -3$

$x = \frac{3}{2}$

Проверка: подставим $x = \frac{3}{2}$ в исходное уравнение.

Левая часть: $\sqrt[3]{(\frac{3}{2})^3 - 2(\frac{3}{2}) + 3} = \sqrt[3]{\frac{27}{8} - 3 + 3} = \sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{3}{2}$.

Правая часть: $x = \frac{3}{2}$.

Левая и правая части равны, следовательно, корень найден верно.

Ответ: $\frac{3}{2}$

Дано уравнение $\sqrt{7 + \sqrt[3]{x^2 + 7}} = 3$.

Внешний корень — квадратный, поэтому его подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $7 + \sqrt[3]{x^2 + 7} \geq 0$.

Так как $x^2 \geq 0$, то $x^2 + 7 \geq 7$. Тогда $\sqrt[3]{x^2 + 7} \geq \sqrt[3]{7} > 0$. Следовательно, сумма $7 + \sqrt[3]{x^2 + 7}$ всегда положительна, и ОДЗ — все действительные числа.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{7 + \sqrt[3]{x^2 + 7}})^2 = 3^2$

$7 + \sqrt[3]{x^2 + 7} = 9$

Выразим оставшийся корень:

$\sqrt[3]{x^2 + 7} = 9 - 7$

$\sqrt[3]{x^2 + 7} = 2$

Возведем обе части в куб:

$(\sqrt[3]{x^2 + 7})^3 = 2^3$

$x^2 + 7 = 8$

Решим полученное неполное квадратное уравнение:

$x^2 = 1$

$x_1 = 1$, $x_2 = -1$.

Проверка. Для $x=1$: $\sqrt{7 + \sqrt[3]{1^2 + 7}} = \sqrt{7 + \sqrt[3]{8}} = \sqrt{7 + 2} = \sqrt{9} = 3$. Верно.

Для $x=-1$: $\sqrt{7 + \sqrt[3]{(-1)^2 + 7}} = \sqrt{7 + \sqrt[3]{1 + 7}} = \sqrt{7 + 2} = \sqrt{9} = 3$. Верно.

Ответ: $-1; 1$

Дано уравнение $\sqrt[3]{x^2 + 15} = 2\sqrt[3]{x + 1}$.

Так как оба корня нечетной степени, ОДЗ — все действительные числа.

Чтобы упростить уравнение, внесем множитель 2 под знак корня в правой части: $2\sqrt[3]{x + 1} = \sqrt[3]{2^3(x + 1)} = \sqrt[3]{8(x+1)} = \sqrt[3]{8x+8}$.

Уравнение принимает вид: $\sqrt[3]{x^2 + 15} = \sqrt[3]{8x + 8}$.

Возведем обе части в куб:

$x^2 + 15 = 8x + 8$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 8x + 15 - 8 = 0$

$x^2 - 8x + 7 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а их произведение равно 7. Отсюда корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 7$.

Проверка. Для $x=1$:

Левая часть: $\sqrt[3]{1^2 + 15} = \sqrt[3]{16}$.

Правая часть: $2\sqrt[3]{1 + 1} = 2\sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{8 \cdot 2} = \sqrt[3]{16}$. Равенство верное.

Для $x=7$:

Левая часть: $\sqrt[3]{7^2 + 15} = \sqrt[3]{49 + 15} = \sqrt[3]{64} = 4$.

Правая часть: $2\sqrt[3]{7 + 1} = 2\sqrt[3]{8} = 2 \cdot 2 = 4$. Равенство верное.

Ответ: $1; 7$