Номер 11.3, страница 93 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.3. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x - 3} = 4;$

2) $\sqrt{3x^2 - x - 15} = 3;$

3) $\sqrt[3]{25 + \sqrt{x^2 + 3}} = 3.$

1) Дано иррациональное уравнение $\sqrt{x-3} = 4$.
Для решения данного уравнения необходимо, чтобы выражение под корнем было неотрицательным. Это называется Областью допустимых значений (ОДЗ).
ОДЗ: $x-3 \ge 0$, что означает $x \ge 3$.
Чтобы избавиться от знака корня, возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x-3})^2 = 4^2$
$x-3 = 16$
Теперь решим полученное линейное уравнение, перенеся $-3$ в правую часть с противоположным знаком:
$x = 16 + 3$
$x = 19$
Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $x=19$ условию ОДЗ ($x \ge 3$).
$19 \ge 3$ — это верное неравенство, значит, корень подходит.
Выполним проверку, подставив значение в исходное уравнение:
$\sqrt{19-3} = \sqrt{16} = 4$.
$4=4$. Равенство верное.
Ответ: 19

2) Дано уравнение $\sqrt{3x^2 - x - 15} = 3$.
Так как правая часть уравнения — положительное число ($3$), то выражение под корнем после возведения в квадрат будет равно $3^2=9$, что автоматически гарантирует его неотрицательность. Поэтому отдельное нахождение ОДЗ не требуется, достаточно выполнить проверку корней.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{3x^2 - x - 15})^2 = 3^2$
$3x^2 - x - 15 = 9$
Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$3x^2 - x - 15 - 9 = 0$
$3x^2 - x - 24 = 0$
Решим это уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$a=3, b=-1, c=-24$
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-24) = 1 + 288 = 289$
$\sqrt{D} = \sqrt{289} = 17$
Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-1) + 17}{2 \cdot 3} = \frac{1 + 17}{6} = \frac{18}{6} = 3$
$x_2 = \frac{-(-1) - 17}{2 \cdot 3} = \frac{1 - 17}{6} = \frac{-16}{6} = -\frac{8}{3}$
Оба корня являются решением исходного иррационального уравнения.
Ответ: $3; -\frac{8}{3}$

3) Дано уравнение $\sqrt[3]{25 + \sqrt{x^2 + 3}} = 3$.
Для кубического корня ОДЗ не требуется, так как он определен для любых действительных чисел. Однако внутри него есть квадратный корень, для которого ОДЗ необходимо: $x^2 + 3 \ge 0$. Это неравенство выполняется для любого действительного значения $x$, так как $x^2$ всегда неотрицательно, а значит $x^2+3$ всегда больше или равно 3.
Возведем обе части уравнения в третью степень (в куб), чтобы избавиться от кубического корня:
$(\sqrt[3]{25 + \sqrt{x^2 + 3}})^3 = 3^3$
$25 + \sqrt{x^2 + 3} = 27$
Теперь уединим оставшийся корень в левой части уравнения:
$\sqrt{x^2 + 3} = 27 - 25$
$\sqrt{x^2 + 3} = 2$
Возведем обе части полученного уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x^2 + 3})^2 = 2^2$
$x^2 + 3 = 4$
Решим простое квадратное уравнение:
$x^2 = 4 - 3$
$x^2 = 1$
Уравнение имеет два корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $1; -1$