Номер 11.5, страница 93 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.5. Решите уравнение:

1) $\sqrt[4]{x+3} = \sqrt[4]{2x-3}$;

2) $\sqrt{4x-5} = \sqrt{1-x}$;

3) $\sqrt[5]{x^2-25} = \sqrt[5]{2x+10}$;

4) $\sqrt{x^2-36} = \sqrt{2x-1}$.

1) Дано иррациональное уравнение $\sqrt[4]{x+3} = \sqrt[4]{2x-3}$.Поскольку показатель корня четный (4), подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Найдем область допустимых значений (ОДЗ), решив систему неравенств:$\begin{cases} x+3 \ge 0 \\ 2x-3 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -3 \\ 2x \ge 3 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -3 \\ x \ge 1.5 \end{cases}$.Пересечением этих условий является $x \ge 1.5$.Для решения уравнения возведем обе его части в четвертую степень:$(\sqrt[4]{x+3})^4 = (\sqrt[4]{2x-3})^4$$x+3 = 2x-3$$3+3 = 2x-x$$x = 6$.Проверим, принадлежит ли найденный корень $x=6$ области допустимых значений $x \ge 1.5$.Так как $6 \ge 1.5$, корень является решением уравнения.Ответ: $6$.

2) Дано иррациональное уравнение $\sqrt{4x-5} = \sqrt{1-x}$.Показатель корня четный (2), поэтому подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Найдем ОДЗ:$\begin{cases} 4x-5 \ge 0 \\ 1-x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 4x \ge 5 \\ 1 \ge x \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 1.25 \\ x \le 1 \end{cases}$.Данная система неравенств не имеет решений, так как не существует такого числа $x$, которое одновременно больше или равно $1.25$ и меньше или равно $1$.Поскольку область допустимых значений пуста, уравнение не имеет действительных корней.Ответ: корней нет.

3) Дано иррациональное уравнение $\sqrt[5]{x^2-25} = \sqrt[5]{2x+10}$.Поскольку показатель корня нечетный (5), подкоренные выражения могут быть любыми действительными числами. Ограничений на ОДЗ нет.Возведем обе части уравнения в пятую степень, чтобы избавиться от корней:$(\sqrt[5]{x^2-25})^5 = (\sqrt[5]{2x+10})^5$$x^2-25 = 2x+10$.Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:$x^2 - 2x - 25 - 10 = 0$$x^2 - 2x - 35 = 0$.Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $2$, а их произведение равно $-35$. Этим условиям удовлетворяют числа $7$ и $-5$.$x_1 = 7$, $x_2 = -5$.Так как ограничений на ОДЗ не было, оба корня являются решениями.Ответ: $-5; 7$.

4) Дано иррациональное уравнение $\sqrt{x^2-36} = \sqrt{2x-1}$.Показатель корня четный (2), поэтому подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Найдем ОДЗ из системы неравенств:$\begin{cases} x^2-36 \ge 0 \\ 2x-1 \ge 0 \end{cases}$.Решение первого неравенства $x^2 \ge 36$ есть $x \in (-\infty, -6] \cup [6, \infty)$.Решение второго неравенства $2x \ge 1$ есть $x \ge 0.5$.Пересечение этих множеств дает ОДЗ: $x \in [6, \infty)$.Теперь решим само уравнение, возведя обе части в квадрат:$(\sqrt{x^2-36})^2 = (\sqrt{2x-1})^2$$x^2 - 36 = 2x - 1$.Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:$x^2 - 2x - 36 + 1 = 0$$x^2 - 2x - 35 = 0$.Корни этого уравнения (из предыдущего примера) равны $x_1 = 7$ и $x_2 = -5$.Проверим, принадлежат ли корни области допустимых значений $x \ge 6$.Корень $x_1 = 7$ удовлетворяет условию ($7 \ge 6$), следовательно, является решением.Корень $x_2 = -5$ не удовлетворяет условию ($-5 < 6$), следовательно, является посторонним корнем.Таким образом, уравнение имеет единственное решение.Ответ: $7$.