Номер 11.10, страница 94 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.10. Решите уравнение, используя метод замены переменной:

1) $\sqrt[3]{x} + 2\sqrt[3]{x^2} - 3 = 0$;

2) $\sqrt{x} + \sqrt[4]{x} - 6 = 0$;

3) $2x - 7\sqrt{x} - 15 = 0$;

4) $\sqrt[3]{x} + 3\sqrt[6]{x} = 4$;

5) $2\sqrt{x + 1} - 5 = \frac{3}{\sqrt{x + 1}}$;

6) $x^2 - x + 9 + \sqrt{x^2 - x + 9} = 12$;

7) $\sqrt[3]{x^2 - 4x + 4} - 2\sqrt[3]{x - 2} - 3 = 0$;

8) $\frac{1}{\sqrt[4]{x - 1}} + \frac{3}{\sqrt[4]{x + 1}} = 2$;

9) $\sqrt{\frac{x + 5}{x - 1}} + 7\sqrt{\frac{x - 1}{x + 5}} = 8$;

10) $\frac{x\sqrt[3]{x} - 1}{\sqrt[3]{x^2} - 1} - \frac{\sqrt[3]{x^2} - 1}{\sqrt[3]{x} + 1} = 4$.

1) Исходное уравнение: $\sqrt[3]{x} + 2\sqrt[3]{x^2} - 3 = 0$.
Заметим, что $\sqrt[3]{x^2} = (\sqrt[3]{x})^2$. Перепишем уравнение в виде $2(\sqrt[3]{x})^2 + \sqrt[3]{x} - 3 = 0$.
Сделаем замену переменной: пусть $t = \sqrt[3]{x}$. Тогда уравнение принимает вид квадратного уравнения:
$2t^2 + t - 3 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$.
Корни уравнения для $t$:
$t_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 5}{4} = \frac{4}{4} = 1$.
$t_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 5}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$.
Теперь выполним обратную замену:
1. Если $t = 1$, то $\sqrt[3]{x} = 1$, откуда $x = 1^3 = 1$.2. Если $t = -3/2$, то $\sqrt[3]{x} = -3/2$, откуда $x = (-\frac{3}{2})^3 = -\frac{27}{8}$.
Оба корня являются действительными.
Ответ: $1; -\frac{27}{8}$.

2) Исходное уравнение: $\sqrt{x} + \sqrt[4]{x} - 6 = 0$.
Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ge 0$.
Заметим, что $\sqrt{x} = (\sqrt[4]{x})^2$.
Сделаем замену переменной: пусть $t = \sqrt[4]{x}$. Учитывая ОДЗ, $t \ge 0$.
Уравнение принимает вид: $t^2 + t - 6 = 0$.
По теореме Виета, корни уравнения: $t_1 = 2$ и $t_2 = -3$.
Проверим условие $t \ge 0$. Корень $t_2 = -3$ не удовлетворяет этому условию.
Остается один корень: $t = 2$.
Выполним обратную замену: $\sqrt[4]{x} = 2$.
Возведем обе части в четвертую степень: $x = 2^4 = 16$.
Корень $x = 16$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $16$.

3) Исходное уравнение: $2x - 7\sqrt{x} - 15 = 0$.
ОДЗ: $x \ge 0$.
Заметим, что $x = (\sqrt{x})^2$.
Сделаем замену переменной: пусть $t = \sqrt{x}$. Учитывая ОДЗ, $t \ge 0$.
Уравнение принимает вид: $2t^2 - 7t - 15 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 49 + 120 = 169 = 13^2$.
Корни уравнения для $t$:
$t_1 = \frac{7 + 13}{2 \cdot 2} = \frac{20}{4} = 5$.
$t_2 = \frac{7 - 13}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -1.5$.
Корень $t_2 = -1.5$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$.
Остается $t = 5$.
Выполним обратную замену: $\sqrt{x} = 5$.
Возведем обе части в квадрат: $x = 5^2 = 25$.
Корень $x = 25$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $25$.

4) Исходное уравнение: $\sqrt[3]{x} + 3\sqrt[6]{x} = 4$.
ОДЗ: $x \ge 0$ (из-за корня шестой степени).
Заметим, что $\sqrt[3]{x} = (\sqrt[6]{x})^2$. Перепишем уравнение: $(\sqrt[6]{x})^2 + 3\sqrt[6]{x} - 4 = 0$.
Сделаем замену переменной: пусть $t = \sqrt[6]{x}$. Учитывая ОДЗ, $t \ge 0$.
Уравнение принимает вид: $t^2 + 3t - 4 = 0$.
По теореме Виета, корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = -4$.
Корень $t_2 = -4$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$.
Остается $t = 1$.
Выполним обратную замену: $\sqrt[6]{x} = 1$.
Возведем обе части в шестую степень: $x = 1^6 = 1$.
Корень $x = 1$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $1$.

5) Исходное уравнение: $2\sqrt{x+1} - 5 = \frac{3}{\sqrt{x+1}}$.
ОДЗ: $x+1 > 0$, так как выражение под корнем должно быть неотрицательным, а знаменатель не должен быть равен нулю. Отсюда $x > -1$.
Сделаем замену переменной: пусть $t = \sqrt{x+1}$. Учитывая ОДЗ, $t > 0$.
Уравнение принимает вид: $2t - 5 = \frac{3}{t}$.
Умножим обе части на $t$ (так как $t \neq 0$): $2t^2 - 5t = 3$, или $2t^2 - 5t - 3 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.
Корни для $t$:
$t_1 = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3$.
$t_2 = \frac{5 - 7}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$.
Корень $t_2 = -0.5$ не удовлетворяет условию $t > 0$.
Остается $t=3$.
Выполним обратную замену: $\sqrt{x+1} = 3$.
Возведем обе части в квадрат: $x+1 = 9$, откуда $x = 8$.
Корень $x=8$ удовлетворяет ОДЗ ($8 > -1$).
Ответ: $8$.

6) Исходное уравнение: $x^2 - x + 9 + \sqrt{x^2 - x + 9} = 12$.
Выражение под корнем $x^2 - x + 9$ всегда положительно, так как его дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = -35 < 0$, а старший коэффициент положителен. ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.
Сделаем замену переменной: пусть $t = \sqrt{x^2 - x + 9}$. Тогда $t > 0$. Также $x^2 - x + 9 = t^2$.
Уравнение принимает вид: $t^2 + t = 12$, или $t^2 + t - 12 = 0$.
По теореме Виета, корни: $t_1 = 3$ и $t_2 = -4$.
Корень $t_2 = -4$ не удовлетворяет условию $t > 0$.
Остается $t = 3$.
Выполним обратную замену: $\sqrt{x^2 - x + 9} = 3$.
Возведем обе части в квадрат: $x^2 - x + 9 = 9$.
$x^2 - x = 0$.
$x(x-1) = 0$.
Отсюда $x_1 = 0$ и $x_2 =