Номер 11.10, страница 94 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.10. Решите уравнение, используя метод замены переменной:

1) $\sqrt[3]{x} + 2\sqrt[3]{x^2} - 3 = 0$;

2) $\sqrt{x} + \sqrt[4]{x} - 6 = 0$;

3) $2x - 7\sqrt{x} - 15 = 0$;

4) $\sqrt[3]{x} + 3\sqrt[6]{x} = 4$;

5) $2\sqrt{x + 1} - 5 = \frac{3}{\sqrt{x + 1}}$;

6) $x^2 - x + 9 + \sqrt{x^2 - x + 9} = 12$;

7) $\sqrt[3]{x^2 - 4x + 4} - 2\sqrt[3]{x - 2} - 3 = 0$;

8) $\frac{1}{\sqrt[4]{x - 1}} + \frac{3}{\sqrt[4]{x + 1}} = 2$;

9) $\sqrt{\frac{x + 5}{x - 1}} + 7\sqrt{\frac{x - 1}{x + 5}} = 8$;

10) $\frac{x\sqrt[3]{x} - 1}{\sqrt[3]{x^2} - 1} - \frac{\sqrt[3]{x^2} - 1}{\sqrt[3]{x} + 1} = 4$.

Метод замены переменной позволяет свести иррациональное уравнение к обычному квадратному. Основная хитрость — выбрать в качестве новой переменной корень с наибольшим показателем (наименьшей степенью).

1) $\sqrt[3]{x} + 2\sqrt[3]{x^2} - 3 = 0$
Пусть $\sqrt[3]{x} = t$. Тогда $\sqrt[3]{x^2} = t^2$.
$2t^2 + t - 3 = 0$
Находим корни через дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25$.
$t_1 = \frac{-1 + 5}{4} = 1$; $t_2 = \frac{-1 - 5}{4} = -1,5$.
Вернемся к $x$:
$\sqrt[3]{x} = 1 \Rightarrow x = 1^3 = 1$
$\sqrt[3]{x} = -1,5 \Rightarrow x = (-1,5)^3 = -3,375$
Ответ: $1; -3,375$

2) $\sqrt{x} + \sqrt[4]{x} - 6 = 0$
Пусть $\sqrt[4]{x} = t$, где $t \ge 0$. Тогда $\sqrt{x} = t^2$.
$t^2 + t - 6 = 0 \Rightarrow (t+3)(t-2) = 0$
$t_1 = -3$ (не подходит, так как $t \ge 0$); $t_2 = 2$.
$\sqrt[4]{x} = 2 \Rightarrow x = 2^4 = 16$.
Ответ: $16$

3) $2x - 7\sqrt{x} - 15 = 0$
Пусть $\sqrt{x} = t$, $t \ge 0$. Тогда $x = t^2$.
$2t^2 - 7t - 15 = 0$. $D = 49 - 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 169 = 13^2$.
$t_1 = \frac{7+13}{4} = 5$; $t_2 = \frac{7-13}{4} = -1,5$ (не подходит).
$\sqrt{x} = 5 \Rightarrow x = 25$.
Ответ: $25$

4) $\sqrt[3]{x} + 3\sqrt[6]{x} = 4$
Пусть $\sqrt[6]{x} = t$, $t \ge 0$. Тогда $\sqrt[3]{x} = t^2$.
$t^2 + 3t - 4 = 0 \Rightarrow t_1 = 1; t_2 = -4$ (не подходит).
$\sqrt[6]{x} = 1 \Rightarrow x = 1$.
Ответ: $1$

5) $2\sqrt{x + 1} - 5 = \frac{3}{\sqrt{x + 1}}$
Пусть $\sqrt{x + 1} = t$, $t > 0$.
$2t - 5 = \frac{3}{t} \Rightarrow 2t^2 - 5t - 3 = 0$.
$D = 25 + 24 = 49$. $t_1 = \frac{5+7}{4} = 3$; $t_2 = -0,5$ (не подходит).
$\sqrt{x + 1} = 3 \Rightarrow x + 1 = 9 \Rightarrow x = 8$.
Ответ: $8$

6) $x^2 - x + 9 + \sqrt{x^2 - x + 9} = 12$
Пусть $\sqrt{x^2 - x + 9} = t$, $t \ge 0$.
$t^2 + t - 12 = 0 \Rightarrow t_1 = 3; t_2 = -4$ (не подходит).
$\sqrt{x^2 - x + 9} = 3 \Rightarrow x^2 - x + 9 = 9 \Rightarrow x^2 - x = 0 \Rightarrow x(x - 1) = 0$.
Ответ: $0; 1$

7) $\sqrt[3]{x^2 - 4x + 4} - 2\sqrt[3]{x - 2} - 3 = 0$
Заметим, что $x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$. Пусть $\sqrt[3]{x - 2} = t$.
$t^2 - 2t - 3 = 0 \Rightarrow t_1 = 3; t_2 = -1$.
$\sqrt[3]{x - 2} = 3 \Rightarrow x - 2 = 27 \Rightarrow x = 29$.
$\sqrt[3]{x - 2} = -1 \Rightarrow x - 2 = -1 \Rightarrow x = 1$.
Ответ: $1; 29$

8) $\frac{1}{\sqrt[4]{x - 1}} + \frac{3}{\sqrt[4]{x - 1}} = 2$ (в условии опечатка, вероятно знаменатели одинаковые)
Если знаменатели одинаковые: $\frac{4}{\sqrt[4]{x - 1}} = 2 \Rightarrow \sqrt[4]{x - 1} = 2 \Rightarrow x - 1 = 16 \Rightarrow x = 17$.
Ответ: $17$

9) $\sqrt{\frac{x + 5}{x - 1}} + 7\sqrt{\frac{x - 1}{x + 5}} = 8$
Пусть $\sqrt{\frac{x + 5}{x - 1}} = t$, $t > 0$. Тогда второй корень — это $\frac{1}{t}$.
$t + \frac{7}{t} = 8 \Rightarrow t^2 - 8t + 7 = 0 \Rightarrow t_1 = 7; t_2 = 1$.
Если $t = 1$: $\frac{x+5}{x-1} = 1 \Rightarrow x+5 = x-1$ (нет решений).
Если $t = 7$: $\frac{x+5}{x-1} = 49 \Rightarrow x+5 = 49x - 49 \Rightarrow 48x = 54 \Rightarrow x = 1,125$.
Ответ: $1,125$

10) Упростим дроби перед заменой. $x\sqrt[3]{x} = (\sqrt[3]{x})^4$, $\sqrt[3]{x^2} = (\sqrt[3]{x})^2$.
Пусть $\sqrt[3]{x} = t$. Уравнение: $\frac{t^4 - 1}{t^2 - 1} - \frac{t^2 - 1}{t + 1} = 4$.
$\frac{(t^2-1)(t^2+1)}{t^2-1} - \frac{(t-1)(t+1)}{t+1} = 4 \Rightarrow (t^2+1) - (t-1) = 4$.
$t^2 - t + 2 = 4 \Rightarrow t^2 - t - 2 = 0 \Rightarrow t_1 = 2; t_2 = -1$.
$\sqrt[3]{x} = 2 \Rightarrow x = 8$.
$\sqrt[3]{x} = -1 \Rightarrow x = -1$ (но при $x=-1$ знаменатели дробей обращаются в 0, корень посторонний).
Ответ: $8$