Номер 11.13, страница 95 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.13. Решите уравнение:

1) $\sqrt{22-x} - \sqrt{10-x} = 2;$

2) $\sqrt{x+2} - \sqrt{2x-3} = 1;$

3) $\sqrt{2x+3} - \sqrt{x+1} = 1;$

4) $2\sqrt{2-x} - \sqrt{7-x} = 1.$

1) $\sqrt{22-x} - \sqrt{10-x} = 2$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под корнем должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} 22 - x \ge 0 \\ 10 - x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 22 \\ x \le 10 \end{cases}$

Следовательно, ОДЗ: $x \le 10$.

Перенесем один из корней в правую часть уравнения, чтобы избавиться от знака минус:

$\sqrt{22-x} = 2 + \sqrt{10-x}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{22-x})^2 = (2 + \sqrt{10-x})^2$

$22 - x = 4 + 4\sqrt{10-x} + (10-x)$

$22 - x = 14 - x + 4\sqrt{10-x}$

Приведем подобные слагаемые, чтобы уединить оставшийся корень:

$22 - 14 = 4\sqrt{10-x}$

$8 = 4\sqrt{10-x}$

Разделим обе части на 4:

$2 = \sqrt{10-x}$

Снова возведем обе части в квадрат:

$4 = 10 - x$

$x = 10 - 4$

$x = 6$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. $6 \le 10$, что верно. Выполним проверку, подставив $x=6$ в исходное уравнение:

$\sqrt{22-6} - \sqrt{10-6} = \sqrt{16} - \sqrt{4} = 4 - 2 = 2$

$2 = 2$

Равенство верное, значит корень найден правильно.

Ответ: 6

2) $\sqrt{x+2} - \sqrt{2x-3} = 1$

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x + 2 \ge 0 \\ 2x - 3 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -2 \\ x \ge 1.5 \end{cases}$

Следовательно, ОДЗ: $x \ge 1.5$.

Перенесем корень в правую часть:

$\sqrt{x+2} = 1 + \sqrt{2x-3}$

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{x+2})^2 = (1 + \sqrt{2x-3})^2$

$x+2 = 1 + 2\sqrt{2x-3} + (2x-3)$

$x+2 = 2x - 2 + 2\sqrt{2x-3}$

Уединим корень:

$x+2 - (2x-2) = 2\sqrt{2x-3}$

$4 - x = 2\sqrt{2x-3}$

Так как правая часть уравнения неотрицательна, то и левая должна быть неотрицательной: $4-x \ge 0$, откуда $x \le 4$. С учетом ОДЗ получаем ограничение: $1.5 \le x \le 4$.

Возведем обе части последнего уравнения в квадрат:

$(4-x)^2 = (2\sqrt{2x-3})^2$

$16 - 8x + x^2 = 4(2x-3)$

$x^2 - 8x + 16 = 8x - 12$

$x^2 - 16x + 28 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 16$, $x_1 \cdot x_2 = 28$. Корни: $x_1=2$, $x_2=14$.

Проверим корни с учетом ограничения $1.5 \le x \le 4$.

$x_1=2$ удовлетворяет этому условию.

$x_2=14$ не удовлетворяет этому условию, следовательно, это посторонний корень.

Выполним проверку для $x=2$ в исходном уравнении:

$\sqrt{2+2} - \sqrt{2(2)-3} = \sqrt{4} - \sqrt{1} = 2 - 1 = 1$

$1=1$

Равенство верное.

Ответ: 2

3) $\sqrt{2x+3} - \sqrt{x+1} = 1$

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 2x+3 \ge 0 \\ x+1 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -1.5 \\ x \ge -1 \end{cases}$

Следовательно, ОДЗ: $x \ge -1$.

Перенесем корень в правую часть:

$\sqrt{2x+3} = 1 + \sqrt{x+1}$

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{2x+3})^2 = (1 + \sqrt{x+1})^2$

$2x+3 = 1 + 2\sqrt{x+1} + (x+1)$

$2x+3 = x+2 + 2\sqrt{x+1}$

Уединим корень:

$2x+3 - (x+2) = 2\sqrt{x+1}$

$x+1 = 2\sqrt{x+1}$

Возведем обе части в квадрат (так как $x \ge -1$, обе части неотрицательны):

$(x+1)^2 = (2\sqrt{x+1})^2$

$(x+1)^2 = 4(x+1)$

$(x+1)^2 - 4(x+1) = 0$

Вынесем общий множитель $(x+1)$ за скобки:

$(x+1)(x+1-4) = 0$

$(x+1)(x-3) = 0$

Получаем два возможных корня: $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \ge -1$). Проверим их, подставив в исходное уравнение.

Для $x_1 = -1$:

$\sqrt{2(-1)+3} - \sqrt{-1+1} = \sqrt{1} - \sqrt{0} = 1 - 0 = 1$

$1=1$. Верно.

Для $x_2 = 3$:

$\sqrt{2(3)+3} - \sqrt{3+1} = \sqrt{9} - \sqrt{4} = 3 - 2 = 1$

$1=1$. Верно.

Ответ: -1; 3

4) $2\sqrt{2-x} - \sqrt{7-x} = 1$

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 2-x \ge 0 \\ 7-x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 2 \\ x \le 7 \end{cases}$

Следовательно, ОДЗ: $x \le 2$.

Перенесем корень в правую часть:

$2\sqrt{2-x} = 1 + \sqrt{7-x}$

Возведем обе части в квадрат:

$(2\sqrt{2-x})^2 = (1 + \sqrt{7-x})^2$

$4(2-x) = 1 + 2\sqrt{7-x} + (7-x)$

$8 - 4x = 8 - x + 2\sqrt{7-x}$

Уединим корень:

$8 - 4x - (8 - x) = 2\sqrt{7-x}$

$-3x = 2\sqrt{7-x}$

Так как правая часть неотрицательна, то и левая должна быть неотрицательной: $-3x \ge 0$, откуда $x \le 0$. С учетом ОДЗ ($x \le 2$) получаем новое, более сильное ограничение: $x \le 0$.

Возведем обе части последнего уравнения в квадрат:

$(-3x)^2 = (2\sqrt{7-x})^2$

$9x^2 = 4(7-x)$

$9x^2 = 28 - 4x$

$9x^2 + 4x - 28 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-28) = 16 + 1008 = 1024 = 32^2$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm 32}{2 \cdot 9} = \frac{-4 \pm 32}{18}$

$x_1 = \frac{-4 + 32}{18} = \frac{28}{18} = \frac{14}{9}$

$x_2 = \frac{-4 - 32}{18} = \frac{-36}{18} = -2$

Проверим корни с учетом ограничения $x \le 0$.

$x_1 = \frac{14}{9}$ не удовлетворяет этому условию, это посторонний корень.

$x_2 = -2$ удовлетворяет этому условию.

Проверим корень $x=-2$ в исходном уравнении:

$2\sqrt{2-(-2)} - \sqrt{7-(-2)} = 2\sqrt{4} - \sqrt{9} = 2 \cdot 2 - 3 = 4 - 3 = 1$

$1=1$. Верно.

Ответ: -2