Номер 11.14, страница 95 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.14. Решите уравнение:

1) $\sqrt{2x+5}-\sqrt{3x-5}=2$;

2) $\sqrt{3x+1}-\sqrt{x+1}=2$.

1) $\sqrt{2x+5} - \sqrt{3x-5} = 2$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными:

$2x+5 \ge 0 \implies 2x \ge -5 \implies x \ge -2.5$

$3x-5 \ge 0 \implies 3x \ge 5 \implies x \ge \frac{5}{3}$

Пересечением этих условий является $x \ge \frac{5}{3}$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [\frac{5}{3}, +\infty)$.

Перенесем один из корней в правую часть уравнения, чтобы избавиться от него возведением в квадрат:

$\sqrt{2x+5} = 2 + \sqrt{3x-5}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{2x+5})^2 = (2 + \sqrt{3x-5})^2$

$2x+5 = 4 + 4\sqrt{3x-5} + (3x-5)$

Упростим полученное выражение и уединим оставшийся корень:

$2x+5 = 3x - 1 + 4\sqrt{3x-5}$

$6 - x = 4\sqrt{3x-5}$

Так как правая часть $4\sqrt{3x-5}$ неотрицательна, то и левая часть должна быть неотрицательной: $6 - x \ge 0$, откуда $x \le 6$. С учетом ОДЗ, получаем, что корень должен принадлежать промежутку $[\frac{5}{3}, 6]$.

Снова возведем обе части в квадрат:

$(6 - x)^2 = (4\sqrt{3x-5})^2$

$36 - 12x + x^2 = 16(3x-5)$

$x^2 - 12x + 36 = 48x - 80$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$x^2 - 60x + 116 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-60)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 116 = 3600 - 464 = 3136$

$\sqrt{D} = \sqrt{3136} = 56$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{60 + 56}{2} = \frac{116}{2} = 58$

$x_2 = \frac{60 - 56}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Проверим найденные корни. Они должны удовлетворять условию $x \in [\frac{5}{3}, 6]$.

Корень $x_1 = 58$ не удовлетворяет условию $x \le 6$, значит, это посторонний корень.

Корень $x_2 = 2$ удовлетворяет условию $\frac{5}{3} \le 2 \le 6$.

Выполним проверку, подставив $x=2$ в исходное уравнение:

$\sqrt{2(2)+5} - \sqrt{3(2)-5} = \sqrt{9} - \sqrt{1} = 3 - 1 = 2$

$2 = 2$. Равенство верно.

Ответ: 2

2) $\sqrt{3x+1} - \sqrt{x+1} = 2$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$3x+1 \ge 0 \implies 3x \ge -1 \implies x \ge -\frac{1}{3}$

$x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$

Пересечением этих условий является $x \ge -\frac{1}{3}$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [-\frac{1}{3}, +\infty)$.

Уединим один из корней:

$\sqrt{3x+1} = 2 + \sqrt{x+1}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{3x+1})^2 = (2 + \sqrt{x+1})^2$

$3x+1 = 4 + 4\sqrt{x+1} + (x+1)$

Упростим и снова уединим корень:

$3x+1 = x + 5 + 4\sqrt{x+1}$

$2x - 4 = 4\sqrt{x+1}$

Разделим обе части на 2:

$x - 2 = 2\sqrt{x+1}$

Так как правая часть $2\sqrt{x+1}$ неотрицательна, то и левая часть должна быть неотрицательной: $x - 2 \ge 0$, откуда $x \ge 2$. С учетом ОДЗ, получаем, что корень должен принадлежать промежутку $[2, +\infty)$.

Еще раз возведем обе части в квадрат:

$(x - 2)^2 = (2\sqrt{x+1})^2$

$x^2 - 4x + 4 = 4(x+1)$

$x^2 - 4x + 4 = 4x + 4$

Приведем подобные члены:

$x^2 - 8x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x-8) = 0$

Получаем два возможных корня:

$x_1 = 0$

$x_2 = 8$

Проверим найденные корни на соответствие условию $x \ge 2$.

Корень $x_1 = 0$ не удовлетворяет условию $x \ge 2$, значит, это посторонний корень.

Корень $x_2 = 8$ удовлетворяет условию $x \ge 2$.

Выполним проверку, подставив $x=8$ в исходное уравнение:

$\sqrt{3(8)+1} - \sqrt{8+1} = \sqrt{25} - \sqrt{9} = 5 - 3 = 2$

$2 = 2$. Равенство верно.

Ответ: 8