Номер 11.15, страница 95 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.15. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x-5} + \sqrt{10-x} = 3;$

2) $\sqrt{x-7} + \sqrt{x-1} = 4;$

3) $\sqrt{1-x} + \sqrt{1+x} = 1;$

4) $\sqrt{13-4x} + \sqrt{x+3} = 5.$

1) $\sqrt{x-5} + \sqrt{10-x} = 3$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под корнями должны быть неотрицательными:
$x-5 \ge 0 \Rightarrow x \ge 5$
$10-x \ge 0 \Rightarrow x \le 10$
Таким образом, ОДЗ: $x \in [5; 10]$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x-5} + \sqrt{10-x})^2 = 3^2$
$(x-5) + 2\sqrt{(x-5)(10-x)} + (10-x) = 9$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$x - 5 + 10 - x + 2\sqrt{10x - x^2 - 50 + 5x} = 9$
$5 + 2\sqrt{-x^2 + 15x - 50} = 9$
Уединим радикал:
$2\sqrt{-x^2 + 15x - 50} = 9 - 5$
$2\sqrt{-x^2 + 15x - 50} = 4$
$\sqrt{-x^2 + 15x - 50} = 2$

Снова возведем обе части в квадрат:
$-x^2 + 15x - 50 = 4$
$-x^2 + 15x - 54 = 0$
Умножим на -1, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 - 15x + 54 = 0$
Решим уравнение с помощью теоремы Виета:
Сумма корней $x_1 + x_2 = 15$.
Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = 54$.
Подбором находим корни: $x_1=6$ и $x_2=9$.

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($x \in [5; 10]$).
$x_1=6$ принадлежит ОДЗ.
$x_2=9$ принадлежит ОДЗ.
Так как мы возводили в квадрат, нужно сделать проверку подстановкой в исходное уравнение.
При $x=6$: $\sqrt{6-5} + \sqrt{10-6} = \sqrt{1} + \sqrt{4} = 1+2=3$. Верно.
При $x=9$: $\sqrt{9-5} + \sqrt{10-9} = \sqrt{4} + \sqrt{1} = 2+1=3$. Верно.
Оба корня являются решениями.
Ответ: $6; 9$.

2) $\sqrt{x-7} + \sqrt{x-1} = 4$

Найдем ОДЗ:
$x-7 \ge 0 \Rightarrow x \ge 7$
$x-1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1$
Общая область: $x \in [7; +\infty)$.

Уединим один из радикалов для удобства возведения в квадрат:
$\sqrt{x-1} = 4 - \sqrt{x-7}$
Возведем обе части в квадрат. При этом правая часть должна быть неотрицательной: $4 - \sqrt{x-7} \ge 0 \Rightarrow \sqrt{x-7} \le 4 \Rightarrow x-7 \le 16 \Rightarrow x \le 23$.
$(\sqrt{x-1})^2 = (4 - \sqrt{x-7})^2$
$x-1 = 16 - 8\sqrt{x-7} + (x-7)$
$x-1 = 16 - 8\sqrt{x-7} + x - 7$
$x-1 = 9 + x - 8\sqrt{x-7}$
Уединим оставшийся радикал:
$8\sqrt{x-7} = 9 + x - (x-1)$
$8\sqrt{x-7} = 10$
$\sqrt{x-7} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$

Возведем в квадрат еще раз:
$x-7 = (\frac{5}{4})^2$
$x-7 = \frac{25}{16}$
$x = 7 + \frac{25}{16} = \frac{112}{16} + \frac{25}{16} = \frac{137}{16}$

Проверим, принадлежит ли корень ОДЗ ($x \ge 7$) и дополнительному условию ($x \le 23$).
$x = \frac{137}{16} = 8\frac{9}{16}$.
$8\frac{9}{16} \ge 7$ и $8\frac{9}{16} \le 23$. Корень подходит.
Ответ: $\frac{137}{16}$.

3) $\sqrt{1-x} + \sqrt{1+x} = 1$

Найдем ОДЗ:
$1-x \ge 0 \Rightarrow x \le 1$
$1+x \ge 0 \Rightarrow x \ge -1$
ОДЗ: $x \in [-1; 1]$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{1-x} + \sqrt{1+x})^2 = 1^2$
$(1-x) + 2\sqrt{(1-x)(1+x)} + (1+x) = 1$
$1 - x + 1 + x + 2\sqrt{1-x^2} = 1$
$2 + 2\sqrt{1-x^2} = 1$
$2\sqrt{1-x^2} = 1 - 2$
$2\sqrt{1-x^2} = -1$
$\sqrt{1-x^2} = -\frac{1}{2}$

Арифметический квадратный корень по определению не может быть отрицательным числом ($\sqrt{a} \ge 0$).
Следовательно, полученное уравнение не имеет решений.
Ответ: корней нет.

4) $\sqrt{13-4x} + \sqrt{x+3} = 5$

Найдем ОДЗ:
$13-4x \ge 0 \Rightarrow 4x \le 13 \Rightarrow x \le \frac{13}{4} \Rightarrow x \le 3.25$
$x+3 \ge 0 \Rightarrow x \ge -3$
ОДЗ: $x \in [-3; 3.25]$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{13-4x} + \sqrt{x+3})^2 = 5^2$
$(13-4x) + 2\sqrt{(13-4x)(x+3)} + (x+3) = 25$
$13 - 4x + x + 3 + 2\sqrt{13x + 39 - 4x^2 - 12x} = 25$
$16 - 3x + 2\sqrt{-4x^2 + x + 39} = 25$
Уединим радикал:
$2\sqrt{-4x^2 + x + 39} = 25 - 16 + 3x$
$2\sqrt{-4x^2 + x + 39} = 9 + 3x$

Возведем в квадрат еще раз. Правая часть должна быть неотрицательной: $9+3x \ge 0 \Rightarrow 3x \ge -9 \Rightarrow x \ge -3$. Это условие уже входит в ОДЗ.
$(2\sqrt{-4x^2 + x + 39})^2 = (9 + 3x)^2$
$4(-4x^2 + x + 39) = 81 + 54x + 9x^2$
$-16x^2 + 4x + 156 = 81 + 54x + 9x^2$
Перенесем все в правую часть:
$0 = 9x^2 + 16x^2 + 54x - 4x + 81 - 156$
$25x^2 + 50x - 75 = 0$
Разделим все уравнение на 25:
$x^2 + 2x - 3 = 0$
По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -2$
$x_1 \cdot x_2 = -3$
Корни: $x_1=1$ и $x_2=-3$.

Проверим, принадлежат ли корни ОДЗ ($x \in [-3; 3.25]$).
$x_1=1$ принадлежит ОДЗ.
$x_2=-3$ принадлежит ОДЗ.
Проверим подстановкой в исходное уравнение.
При $x=1$: $\sqrt{13-4(1)} + \sqrt{1+3} = \sqrt{9} + \sqrt{4} = 3+2=5$. Верно.
При $x=-3$: $\sqrt{13-4(-3)} + \sqrt{-3+3} = \sqrt{13+12} + \sqrt{0} = \sqrt{25} = 5$. Верно.
Оба корня подходят.
Ответ: $-3; 1$.