Номер 11.21, страница 95 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.21. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x-1-2\sqrt{x-2}} + \sqrt{x+7-6\sqrt{x-2}} = 6;$

2) $\sqrt{x+2+2\sqrt{x+1}} - \sqrt{x+5-4\sqrt{x+1}} = 4.$

Дано уравнение: $\sqrt{x-1-2\sqrt{x-2}} + \sqrt{x+7-6\sqrt{x-2}} = 6$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под внутренним корнем должно быть неотрицательным: $x-2 \ge 0$, откуда $x \ge 2$. Также должны быть неотрицательны выражения под внешними корнями, что мы проверим в ходе решения.

Преобразуем подкоренные выражения, выделив в них полные квадраты. Для этого воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.

Рассмотрим первое подкоренное выражение: $x-1-2\sqrt{x-2}$. Представим $x-1$ как $(x-2) + 1$. Тогда выражение примет вид: $(x-2) - 2\sqrt{x-2} + 1 = (\sqrt{x-2})^2 - 2 \cdot \sqrt{x-2} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{x-2}-1)^2$.

Рассмотрим второе подкоренное выражение: $x+7-6\sqrt{x-2}$. Представим $x+7$ как $(x-2) + 9$. Тогда выражение примет вид: $(x-2) - 6\sqrt{x-2} + 9 = (\sqrt{x-2})^2 - 2 \cdot \sqrt{x-2} \cdot 3 + 3^2 = (\sqrt{x-2}-3)^2$.

Теперь исходное уравнение можно переписать следующим образом: $\sqrt{(\sqrt{x-2}-1)^2} + \sqrt{(\sqrt{x-2}-3)^2} = 6$.

Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем уравнение с модулями: $|\sqrt{x-2}-1| + |\sqrt{x-2}-3| = 6$.

Для удобства введем замену переменной. Пусть $y = \sqrt{x-2}$. Поскольку $x \ge 2$, то $y \ge 0$. Уравнение примет вид: $|y-1| + |y-3| = 6$.

Решим это уравнение, рассмотрев три интервала для $y$, определяемых точками $y=1$ и $y=3$.

Случай 1: $0 \le y < 1$. В этом интервале $y-1 < 0$ и $y-3 < 0$, поэтому $|y-1| = -(y-1)$ и $|y-3| = -(y-3)$. $-(y-1) - (y-3) = 6$ $1-y+3-y = 6$ $4 - 2y = 6$ $-2y = 2$ $y = -1$. Это значение не принадлежит интервалу $[0, 1)$, поэтому решений в этом случае нет.

Случай 2: $1 \le y \le 3$. В этом интервале $y-1 \ge 0$ и $y-3 \le 0$, поэтому $|y-1| = y-1$ и $|y-3| = -(y-3)$. $(y-1) - (y-3) = 6$ $y-1-y+3 = 6$ $2 = 6$. Получено неверное равенство, значит, на этом отрезке решений нет.

Случай 3: $y > 3$. В этом интервале $y-1 > 0$ и $y-3 > 0$, поэтому $|y-1| = y-1$ и $|y-3| = y-3$. $(y-1) + (y-3) = 6$ $2y - 4 = 6$ $2y = 10$ $y = 5$. Значение $y=5$ удовлетворяет условию $y > 3$.

Мы получили единственное возможное значение $y=5$. Выполним обратную замену: $\sqrt{x-2} = 5$. Возведем обе части в квадрат: $x-2 = 25$ $x = 27$.

Корень $x=27$ удовлетворяет ОДЗ ($27 \ge 2$). Проверка показывает, что решение верное.

Ответ: $27$.

Дано уравнение: $\sqrt{x+2+2\sqrt{x+1}} - \sqrt{x+5-4\sqrt{x+1}} = 4$.

Найдем ОДЗ: выражение под внутренним корнем должно быть неотрицательным, т.е. $x+1 \ge 0$, откуда $x \ge -1$.

Преобразуем подкоренные выражения, выделив полные квадраты.

Для первого слагаемого: $x+2+2\sqrt{x+1}$. Представим $x+2$ как $(x+1)+1$. Тогда: $(x+1) + 2\sqrt{x+1} + 1 = (\sqrt{x+1})^2 + 2\cdot\sqrt{x+1}\cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{x+1}+1)^2$. Это формула квадрата суммы $(a+b)^2$.

Для второго слагаемого: $x+5-4\sqrt{x+1}$. Представим $x+5$ как $(x+1)+4$. Тогда: $(x+1) - 4\sqrt{x+1} + 4 = (\sqrt{x+1})^2 - 2\cdot\sqrt{x+1}\cdot 2 + 2^2 = (\sqrt{x+1}-2)^2$. Это формула квадрата разности $(a-b)^2$.

Подставим преобразованные выражения в уравнение: $\sqrt{(\sqrt{x+1}+1)^2} - \sqrt{(\sqrt{x+1}-2)^2} = 4$.

Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем: $|\sqrt{x+1}+1| - |\sqrt{x+1}-2| = 4$.

Так как $\sqrt{x+1} \ge 0$, то $\sqrt{x+1}+1 > 0$, и модуль можно опустить: $|\sqrt{x+1}+1| = \sqrt{x+1}+1$. Уравнение принимает вид: $(\sqrt{x+1}+1) - |\sqrt{x+1}-2| = 4$.

Сделаем замену переменной. Пусть $y = \sqrt{x+1}$. Из ОДЗ следует, что $y \ge 0$. Уравнение примет вид: $(y+1) - |y-2| = 4$.

Решим это уравнение, рассмотрев два случая, определяемые точкой $y=2$.

Случай 1: $0 \le y < 2$. В этом случае $y-2 < 0$, поэтому $|y-2| = -(y-2) = 2-y$. $(y+1) - (2-y) = 4$ $y+1-2+y = 4$ $2y - 1 = 4$ $2y = 5$ $y = 2.5$. Это значение не входит в рассматриваемый интервал $[0, 2)$, значит, в этом случае решений нет.

Случай 2: $y \ge 2$. В этом случае $y-2 \ge 0$, поэтому $|y-2| = y-2$. $(y+1) - (y-2) = 4$ $y+1-y+2 = 4$ $3 = 4$. Получено неверное равенство, следовательно, в этом случае решений также нет.

Так как ни в одном из возможных случаев мы не получили решений для $y$, то исходное уравнение не имеет корней.

Ответ: корней нет.