Номер 11.22, страница 95 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.22. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x + 2\sqrt{x - 1}} + \sqrt{x - 2\sqrt{x - 1}} = 6;$

2) $\sqrt{x + 6 + 2\sqrt{x + 5}} - \sqrt{x + 6 - 2\sqrt{x + 5}} = 2.$

1) $\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}=6$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаками корня должны быть неотрицательными.

1. $x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$.

2. $x-2\sqrt{x-1} \ge 0$. Перенесем второе слагаемое вправо: $x \ge 2\sqrt{x-1}$. Поскольку при $x \ge 1$ обе части неравенства неотрицательны, можно возвести их в квадрат: $x^2 \ge 4(x-1) \implies x^2 - 4x + 4 \ge 0 \implies (x-2)^2 \ge 0$. Это неравенство верно для любых действительных значений $x$.

3. $x+2\sqrt{x-1} \ge 0$. При $x \ge 1$ это выражение очевидно неотрицательно.

Таким образом, ОДЗ уравнения: $x \ge 1$.

Заметим, что выражения под внешними корнями являются полными квадратами. Воспользуемся формулой $\sqrt{A \pm 2\sqrt{B}} = \sqrt{(\sqrt{a} \pm \sqrt{b})^2}$, где $A=a+b$ и $B=ab$.

Рассмотрим первое подкоренное выражение: $x+2\sqrt{x-1}$. Его можно представить в виде $(x-1)+2\sqrt{x-1}+1 = (\sqrt{x-1})^2+2\cdot\sqrt{x-1}\cdot1+1^2 = (\sqrt{x-1}+1)^2$.

Рассмотрим второе подкоренное выражение: $x-2\sqrt{x-1}$. Его можно представить в виде $(x-1)-2\sqrt{x-1}+1 = (\sqrt{x-1})^2-2\cdot\sqrt{x-1}\cdot1+1^2 = (\sqrt{x-1}-1)^2$.

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$\sqrt{(\sqrt{x-1}+1)^2} + \sqrt{(\sqrt{x-1}-1)^2} = 6$

Используя свойство $\sqrt{a^2}=|a|$, получаем:

$|\sqrt{x-1}+1| + |\sqrt{x-1}-1| = 6$

Поскольку $\sqrt{x-1} \ge 0$ (из ОДЗ), то $\sqrt{x-1}+1$ всегда положительно, следовательно $|\sqrt{x-1}+1| = \sqrt{x-1}+1$.

Уравнение принимает вид:

$\sqrt{x-1}+1 + |\sqrt{x-1}-1| = 6$

Для раскрытия оставшегося модуля рассмотрим два случая.

Случай 1: $\sqrt{x-1}-1 \ge 0 \implies \sqrt{x-1} \ge 1 \implies x-1 \ge 1 \implies x \ge 2$.

В этом случае $|\sqrt{x-1}-1| = \sqrt{x-1}-1$. Уравнение становится:

$(\sqrt{x-1}+1) + (\sqrt{x-1}-1) = 6$

$2\sqrt{x-1} = 6 \implies \sqrt{x-1} = 3$

Возводим в квадрат: $x-1=9 \implies x=10$.

Полученное значение $x=10$ удовлетворяет условию $x \ge 2$.

Случай 2: $\sqrt{x-1}-1 < 0 \implies \sqrt{x-1} < 1 \implies x-1 < 1 \implies x < 2$.

С учетом ОДЗ ($x \ge 1$), этот случай рассматривается для $1 \le x < 2$.

В этом случае $|\sqrt{x-1}-1| = -(\sqrt{x-1}-1) = 1-\sqrt{x-1}$. Уравнение становится:

$(\sqrt{x-1}+1) + (1-\sqrt{x-1}) = 6$

$2 = 6$.

Получено неверное равенство, значит, в этом интервале решений нет.

Единственным решением является корень, найденный в первом случае.

Ответ: $10$.

2) $\sqrt{x+6+2\sqrt{x+5}}-\sqrt{x+6-2\sqrt{x+5}}=2$

Найдем ОДЗ: $x+5 \ge 0 \implies x \ge -5$.

Как и в предыдущей задаче, преобразуем подкоренные выражения. Представим $x+6$ как $(x+5)+1$.

Первое подкоренное выражение: $x+6+2\sqrt{x+5} = (x+5)+2\sqrt{x+5}+1 = (\sqrt{x+5}+1)^2$.

Второе подкоренное выражение: $x+6-2\sqrt{x+5} = (x+5)-2\sqrt{x+5}+1 = (\sqrt{x+5}-1)^2$.

Подставим эти выражения в уравнение:

$\sqrt{(\sqrt{x+5}+1)^2} - \sqrt{(\sqrt{x+5}-1)^2} = 2$

$|\sqrt{x+5}+1| - |\sqrt{x+5}-1| = 2$

Поскольку $\sqrt{x+5} \ge 0$, то $\sqrt{x+5}+1 > 0$, и $|\sqrt{x+5}+1| = \sqrt{x+5}+1$.

Уравнение принимает вид:

$\sqrt{x+5}+1 - |\sqrt{x+5}-1| = 2$

Для раскрытия модуля рассмотрим два случая.

Случай 1: $\sqrt{x+5}-1 \ge 0 \implies \sqrt{x+5} \ge 1 \implies x+5 \ge 1 \implies x \ge -4$.

В этом случае $|\sqrt{x+5}-1| = \sqrt{x+5}-1$. Уравнение становится:

$(\sqrt{x+5}+1) - (\sqrt{x+5}-1) = 2$

$\sqrt{x+5}+1 - \sqrt{x+5}+1 = 2$

$2 = 2$.

Получено тождество, которое верно для всех $x$, удовлетворяющих условию $x \ge -4$.

Случай 2: $\sqrt{x+5}-1 < 0 \implies \sqrt{x+5} < 1 \implies x+5 < 1 \implies x < -4$.

С учетом ОДЗ ($x \ge -5$), этот случай рассматривается для $-5 \le x < -4$.

В этом случае $|\sqrt{x+5}-1| = -(\sqrt{x+5}-1) = 1-\sqrt{x+5}$. Уравнение становится:

$(\sqrt{x+5}+1) - (1-\sqrt{x+5}) = 2$

$\sqrt{x+5}+1 - 1+\sqrt{x+5} = 2$

$2\sqrt{x+5} = 2 \implies \sqrt{x+5} = 1$

$x+5 = 1 \implies x = -4$.

Это значение не входит в рассматриваемый интервал $-5 \le x < -4$, поэтому в этом случае решений нет.

Решением уравнения является множество значений $x$ из первого случая.

Ответ: $x \in [-4; +\infty)$.