Страница 95 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.13. Решите уравнение:

1) $\sqrt{22-x} - \sqrt{10-x} = 2;$

2) $\sqrt{x+2} - \sqrt{2x-3} = 1;$

3) $\sqrt{2x+3} - \sqrt{x+1} = 1;$

4) $2\sqrt{2-x} - \sqrt{7-x} = 1.$

1) $\sqrt{22-x} - \sqrt{10-x} = 2$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под корнем должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} 22 - x \ge 0 \\ 10 - x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 22 \\ x \le 10 \end{cases}$

Следовательно, ОДЗ: $x \le 10$.

Перенесем один из корней в правую часть уравнения, чтобы избавиться от знака минус:

$\sqrt{22-x} = 2 + \sqrt{10-x}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{22-x})^2 = (2 + \sqrt{10-x})^2$

$22 - x = 4 + 4\sqrt{10-x} + (10-x)$

$22 - x = 14 - x + 4\sqrt{10-x}$

Приведем подобные слагаемые, чтобы уединить оставшийся корень:

$22 - 14 = 4\sqrt{10-x}$

$8 = 4\sqrt{10-x}$

Разделим обе части на 4:

$2 = \sqrt{10-x}$

Снова возведем обе части в квадрат:

$4 = 10 - x$

$x = 10 - 4$

$x = 6$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. $6 \le 10$, что верно. Выполним проверку, подставив $x=6$ в исходное уравнение:

$\sqrt{22-6} - \sqrt{10-6} = \sqrt{16} - \sqrt{4} = 4 - 2 = 2$

$2 = 2$

Равенство верное, значит корень найден правильно.

Ответ: 6

2) $\sqrt{x+2} - \sqrt{2x-3} = 1$

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x + 2 \ge 0 \\ 2x - 3 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -2 \\ x \ge 1.5 \end{cases}$

Следовательно, ОДЗ: $x \ge 1.5$.

Перенесем корень в правую часть:

$\sqrt{x+2} = 1 + \sqrt{2x-3}$

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{x+2})^2 = (1 + \sqrt{2x-3})^2$

$x+2 = 1 + 2\sqrt{2x-3} + (2x-3)$

$x+2 = 2x - 2 + 2\sqrt{2x-3}$

Уединим корень:

$x+2 - (2x-2) = 2\sqrt{2x-3}$

$4 - x = 2\sqrt{2x-3}$

Так как правая часть уравнения неотрицательна, то и левая должна быть неотрицательной: $4-x \ge 0$, откуда $x \le 4$. С учетом ОДЗ получаем ограничение: $1.5 \le x \le 4$.

Возведем обе части последнего уравнения в квадрат:

$(4-x)^2 = (2\sqrt{2x-3})^2$

$16 - 8x + x^2 = 4(2x-3)$

$x^2 - 8x + 16 = 8x - 12$

$x^2 - 16x + 28 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 16$, $x_1 \cdot x_2 = 28$. Корни: $x_1=2$, $x_2=14$.

Проверим корни с учетом ограничения $1.5 \le x \le 4$.

$x_1=2$ удовлетворяет этому условию.

$x_2=14$ не удовлетворяет этому условию, следовательно, это посторонний корень.

Выполним проверку для $x=2$ в исходном уравнении:

$\sqrt{2+2} - \sqrt{2(2)-3} = \sqrt{4} - \sqrt{1} = 2 - 1 = 1$

$1=1$

Равенство верное.

Ответ: 2

3) $\sqrt{2x+3} - \sqrt{x+1} = 1$

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 2x+3 \ge 0 \\ x+1 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -1.5 \\ x \ge -1 \end{cases}$

Следовательно, ОДЗ: $x \ge -1$.

Перенесем корень в правую часть:

$\sqrt{2x+3} = 1 + \sqrt{x+1}$

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{2x+3})^2 = (1 + \sqrt{x+1})^2$

$2x+3 = 1 + 2\sqrt{x+1} + (x+1)$

$2x+3 = x+2 + 2\sqrt{x+1}$

Уединим корень:

$2x+3 - (x+2) = 2\sqrt{x+1}$

$x+1 = 2\sqrt{x+1}$

Возведем обе части в квадрат (так как $x \ge -1$, обе части неотрицательны):

$(x+1)^2 = (2\sqrt{x+1})^2$

$(x+1)^2 = 4(x+1)$

$(x+1)^2 - 4(x+1) = 0$

Вынесем общий множитель $(x+1)$ за скобки:

$(x+1)(x+1-4) = 0$

$(x+1)(x-3) = 0$

Получаем два возможных корня: $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \ge -1$). Проверим их, подставив в исходное уравнение.

Для $x_1 = -1$:

$\sqrt{2(-1)+3} - \sqrt{-1+1} = \sqrt{1} - \sqrt{0} = 1 - 0 = 1$

$1=1$. Верно.

Для $x_2 = 3$:

$\sqrt{2(3)+3} - \sqrt{3+1} = \sqrt{9} - \sqrt{4} = 3 - 2 = 1$

$1=1$. Верно.

Ответ: -1; 3

4) $2\sqrt{2-x} - \sqrt{7-x} = 1$

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 2-x \ge 0 \\ 7-x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 2 \\ x \le 7 \end{cases}$

Следовательно, ОДЗ: $x \le 2$.

Перенесем корень в правую часть:

$2\sqrt{2-x} = 1 + \sqrt{7-x}$

Возведем обе части в квадрат:

$(2\sqrt{2-x})^2 = (1 + \sqrt{7-x})^2$

$4(2-x) = 1 + 2\sqrt{7-x} + (7-x)$

$8 - 4x = 8 - x + 2\sqrt{7-x}$

Уединим корень:

$8 - 4x - (8 - x) = 2\sqrt{7-x}$

$-3x = 2\sqrt{7-x}$

Так как правая часть неотрицательна, то и левая должна быть неотрицательной: $-3x \ge 0$, откуда $x \le 0$. С учетом ОДЗ ($x \le 2$) получаем новое, более сильное ограничение: $x \le 0$.

Возведем обе части последнего уравнения в квадрат:

$(-3x)^2 = (2\sqrt{7-x})^2$

$9x^2 = 4(7-x)$

$9x^2 = 28 - 4x$

$9x^2 + 4x - 28 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-28) = 16 + 1008 = 1024 = 32^2$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm 32}{2 \cdot 9} = \frac{-4 \pm 32}{18}$

$x_1 = \frac{-4 + 32}{18} = \frac{28}{18} = \frac{14}{9}$

$x_2 = \frac{-4 - 32}{18} = \frac{-36}{18} = -2$

Проверим корни с учетом ограничения $x \le 0$.

$x_1 = \frac{14}{9}$ не удовлетворяет этому условию, это посторонний корень.

$x_2 = -2$ удовлетворяет этому условию.

Проверим корень $x=-2$ в исходном уравнении:

$2\sqrt{2-(-2)} - \sqrt{7-(-2)} = 2\sqrt{4} - \sqrt{9} = 2 \cdot 2 - 3 = 4 - 3 = 1$

$1=1$. Верно.

Ответ: -2

11.14. Решите уравнение:

1) $\sqrt{2x+5}-\sqrt{3x-5}=2$;

2) $\sqrt{3x+1}-\sqrt{x+1}=2$.

1) $\sqrt{2x+5} - \sqrt{3x-5} = 2$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными:

$2x+5 \ge 0 \implies 2x \ge -5 \implies x \ge -2.5$

$3x-5 \ge 0 \implies 3x \ge 5 \implies x \ge \frac{5}{3}$

Пересечением этих условий является $x \ge \frac{5}{3}$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [\frac{5}{3}, +\infty)$.

Перенесем один из корней в правую часть уравнения, чтобы избавиться от него возведением в квадрат:

$\sqrt{2x+5} = 2 + \sqrt{3x-5}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{2x+5})^2 = (2 + \sqrt{3x-5})^2$

$2x+5 = 4 + 4\sqrt{3x-5} + (3x-5)$

Упростим полученное выражение и уединим оставшийся корень:

$2x+5 = 3x - 1 + 4\sqrt{3x-5}$

$6 - x = 4\sqrt{3x-5}$

Так как правая часть $4\sqrt{3x-5}$ неотрицательна, то и левая часть должна быть неотрицательной: $6 - x \ge 0$, откуда $x \le 6$. С учетом ОДЗ, получаем, что корень должен принадлежать промежутку $[\frac{5}{3}, 6]$.

Снова возведем обе части в квадрат:

$(6 - x)^2 = (4\sqrt{3x-5})^2$

$36 - 12x + x^2 = 16(3x-5)$

$x^2 - 12x + 36 = 48x - 80$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$x^2 - 60x + 116 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-60)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 116 = 3600 - 464 = 3136$

$\sqrt{D} = \sqrt{3136} = 56$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{60 + 56}{2} = \frac{116}{2} = 58$

$x_2 = \frac{60 - 56}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Проверим найденные корни. Они должны удовлетворять условию $x \in [\frac{5}{3}, 6]$.

Корень $x_1 = 58$ не удовлетворяет условию $x \le 6$, значит, это посторонний корень.

Корень $x_2 = 2$ удовлетворяет условию $\frac{5}{3} \le 2 \le 6$.

Выполним проверку, подставив $x=2$ в исходное уравнение:

$\sqrt{2(2)+5} - \sqrt{3(2)-5} = \sqrt{9} - \sqrt{1} = 3 - 1 = 2$

$2 = 2$. Равенство верно.

Ответ: 2

2) $\sqrt{3x+1} - \sqrt{x+1} = 2$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$3x+1 \ge 0 \implies 3x \ge -1 \implies x \ge -\frac{1}{3}$

$x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$

Пересечением этих условий является $x \ge -\frac{1}{3}$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [-\frac{1}{3}, +\infty)$.

Уединим один из корней:

$\sqrt{3x+1} = 2 + \sqrt{x+1}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{3x+1})^2 = (2 + \sqrt{x+1})^2$

$3x+1 = 4 + 4\sqrt{x+1} + (x+1)$

Упростим и снова уединим корень:

$3x+1 = x + 5 + 4\sqrt{x+1}$

$2x - 4 = 4\sqrt{x+1}$

Разделим обе части на 2:

$x - 2 = 2\sqrt{x+1}$

Так как правая часть $2\sqrt{x+1}$ неотрицательна, то и левая часть должна быть неотрицательной: $x - 2 \ge 0$, откуда $x \ge 2$. С учетом ОДЗ, получаем, что корень должен принадлежать промежутку $[2, +\infty)$.

Еще раз возведем обе части в квадрат:

$(x - 2)^2 = (2\sqrt{x+1})^2$

$x^2 - 4x + 4 = 4(x+1)$

$x^2 - 4x + 4 = 4x + 4$

Приведем подобные члены:

$x^2 - 8x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x-8) = 0$

Получаем два возможных корня:

$x_1 = 0$

$x_2 = 8$

Проверим найденные корни на соответствие условию $x \ge 2$.

Корень $x_1 = 0$ не удовлетворяет условию $x \ge 2$, значит, это посторонний корень.

Корень $x_2 = 8$ удовлетворяет условию $x \ge 2$.

Выполним проверку, подставив $x=8$ в исходное уравнение:

$\sqrt{3(8)+1} - \sqrt{8+1} = \sqrt{25} - \sqrt{9} = 5 - 3 = 2$

$2 = 2$. Равенство верно.

Ответ: 8

11.15. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x-5} + \sqrt{10-x} = 3;$

2) $\sqrt{x-7} + \sqrt{x-1} = 4;$

3) $\sqrt{1-x} + \sqrt{1+x} = 1;$

4) $\sqrt{13-4x} + \sqrt{x+3} = 5.$

1) $\sqrt{x-5} + \sqrt{10-x} = 3$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под корнями должны быть неотрицательными:
$x-5 \ge 0 \Rightarrow x \ge 5$
$10-x \ge 0 \Rightarrow x \le 10$
Таким образом, ОДЗ: $x \in [5; 10]$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x-5} + \sqrt{10-x})^2 = 3^2$
$(x-5) + 2\sqrt{(x-5)(10-x)} + (10-x) = 9$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$x - 5 + 10 - x + 2\sqrt{10x - x^2 - 50 + 5x} = 9$
$5 + 2\sqrt{-x^2 + 15x - 50} = 9$
Уединим радикал:
$2\sqrt{-x^2 + 15x - 50} = 9 - 5$
$2\sqrt{-x^2 + 15x - 50} = 4$
$\sqrt{-x^2 + 15x - 50} = 2$

Снова возведем обе части в квадрат:
$-x^2 + 15x - 50 = 4$
$-x^2 + 15x - 54 = 0$
Умножим на -1, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 - 15x + 54 = 0$
Решим уравнение с помощью теоремы Виета:
Сумма корней $x_1 + x_2 = 15$.
Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = 54$.
Подбором находим корни: $x_1=6$ и $x_2=9$.

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($x \in [5; 10]$).
$x_1=6$ принадлежит ОДЗ.
$x_2=9$ принадлежит ОДЗ.
Так как мы возводили в квадрат, нужно сделать проверку подстановкой в исходное уравнение.
При $x=6$: $\sqrt{6-5} + \sqrt{10-6} = \sqrt{1} + \sqrt{4} = 1+2=3$. Верно.
При $x=9$: $\sqrt{9-5} + \sqrt{10-9} = \sqrt{4} + \sqrt{1} = 2+1=3$. Верно.
Оба корня являются решениями.
Ответ: $6; 9$.

2) $\sqrt{x-7} + \sqrt{x-1} = 4$

Найдем ОДЗ:
$x-7 \ge 0 \Rightarrow x \ge 7$
$x-1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1$
Общая область: $x \in [7; +\infty)$.

Уединим один из радикалов для удобства возведения в квадрат:
$\sqrt{x-1} = 4 - \sqrt{x-7}$
Возведем обе части в квадрат. При этом правая часть должна быть неотрицательной: $4 - \sqrt{x-7} \ge 0 \Rightarrow \sqrt{x-7} \le 4 \Rightarrow x-7 \le 16 \Rightarrow x \le 23$.
$(\sqrt{x-1})^2 = (4 - \sqrt{x-7})^2$
$x-1 = 16 - 8\sqrt{x-7} + (x-7)$
$x-1 = 16 - 8\sqrt{x-7} + x - 7$
$x-1 = 9 + x - 8\sqrt{x-7}$
Уединим оставшийся радикал:
$8\sqrt{x-7} = 9 + x - (x-1)$
$8\sqrt{x-7} = 10$
$\sqrt{x-7} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$

Возведем в квадрат еще раз:
$x-7 = (\frac{5}{4})^2$
$x-7 = \frac{25}{16}$
$x = 7 + \frac{25}{16} = \frac{112}{16} + \frac{25}{16} = \frac{137}{16}$

Проверим, принадлежит ли корень ОДЗ ($x \ge 7$) и дополнительному условию ($x \le 23$).
$x = \frac{137}{16} = 8\frac{9}{16}$.
$8\frac{9}{16} \ge 7$ и $8\frac{9}{16} \le 23$. Корень подходит.
Ответ: $\frac{137}{16}$.

3) $\sqrt{1-x} + \sqrt{1+x} = 1$

Найдем ОДЗ:
$1-x \ge 0 \Rightarrow x \le 1$
$1+x \ge 0 \Rightarrow x \ge -1$
ОДЗ: $x \in [-1; 1]$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{1-x} + \sqrt{1+x})^2 = 1^2$
$(1-x) + 2\sqrt{(1-x)(1+x)} + (1+x) = 1$
$1 - x + 1 + x + 2\sqrt{1-x^2} = 1$
$2 + 2\sqrt{1-x^2} = 1$
$2\sqrt{1-x^2} = 1 - 2$
$2\sqrt{1-x^2} = -1$
$\sqrt{1-x^2} = -\frac{1}{2}$

Арифметический квадратный корень по определению не может быть отрицательным числом ($\sqrt{a} \ge 0$).
Следовательно, полученное уравнение не имеет решений.
Ответ: корней нет.

4) $\sqrt{13-4x} + \sqrt{x+3} = 5$

Найдем ОДЗ:
$13-4x \ge 0 \Rightarrow 4x \le 13 \Rightarrow x \le \frac{13}{4} \Rightarrow x \le 3.25$
$x+3 \ge 0 \Rightarrow x \ge -3$
ОДЗ: $x \in [-3; 3.25]$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{13-4x} + \sqrt{x+3})^2 = 5^2$
$(13-4x) + 2\sqrt{(13-4x)(x+3)} + (x+3) = 25$
$13 - 4x + x + 3 + 2\sqrt{13x + 39 - 4x^2 - 12x} = 25$
$16 - 3x + 2\sqrt{-4x^2 + x + 39} = 25$
Уединим радикал:
$2\sqrt{-4x^2 + x + 39} = 25 - 16 + 3x$
$2\sqrt{-4x^2 + x + 39} = 9 + 3x$

Возведем в квадрат еще раз. Правая часть должна быть неотрицательной: $9+3x \ge 0 \Rightarrow 3x \ge -9 \Rightarrow x \ge -3$. Это условие уже входит в ОДЗ.
$(2\sqrt{-4x^2 + x + 39})^2 = (9 + 3x)^2$
$4(-4x^2 + x + 39) = 81 + 54x + 9x^2$
$-16x^2 + 4x + 156 = 81 + 54x + 9x^2$
Перенесем все в правую часть:
$0 = 9x^2 + 16x^2 + 54x - 4x + 81 - 156$
$25x^2 + 50x - 75 = 0$
Разделим все уравнение на 25:
$x^2 + 2x - 3 = 0$
По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -2$
$x_1 \cdot x_2 = -3$
Корни: $x_1=1$ и $x_2=-3$.

Проверим, принадлежат ли корни ОДЗ ($x \in [-3; 3.25]$).
$x_1=1$ принадлежит ОДЗ.
$x_2=-3$ принадлежит ОДЗ.
Проверим подстановкой в исходное уравнение.
При $x=1$: $\sqrt{13-4(1)} + \sqrt{1+3} = \sqrt{9} + \sqrt{4} = 3+2=5$. Верно.
При $x=-3$: $\sqrt{13-4(-3)} + \sqrt{-3+3} = \sqrt{13+12} + \sqrt{0} = \sqrt{25} = 5$. Верно.
Оба корня подходят.
Ответ: $-3; 1$.

11.16. Решите уравнение:

1) $\sqrt{4 - x} + \sqrt{x + 5} = 3;$

2) $\sqrt{2x + 3} + \sqrt{x + 5} = 3.$

1) $\sqrt{4-x} + \sqrt{x+5} = 3$

Решение:

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными:

$4 - x \ge 0 \implies x \le 4$

$x + 5 \ge 0 \implies x \ge -5$

Таким образом, ОДЗ: $-5 \le x \le 4$, или $x \in [-5, 4]$.

2. Возведем обе части уравнения в квадрат. Чтобы упростить вычисления, уединим один из корней:

$\sqrt{4-x} = 3 - \sqrt{x+5}$

Возводим в квадрат обе части. Отметим, что правая часть должна быть неотрицательной: $3 - \sqrt{x+5} \ge 0$, что эквивалентно $\sqrt{x+5} \le 3$, или $x+5 \le 9$, то есть $x \le 4$. Это условие совпадает с частью ОДЗ.

$(\sqrt{4-x})^2 = (3 - \sqrt{x+5})^2$

$4-x = 9 - 6\sqrt{x+5} + (x+5)$

$4-x = 14 + x - 6\sqrt{x+5}$

Теперь уединим оставшийся корень:

$6\sqrt{x+5} = 14 + x - (4-x)$

$6\sqrt{x+5} = 10 + 2x$

Разделим обе части на 2:

$3\sqrt{x+5} = 5 + x$

Снова возведем обе части в квадрат:

$(3\sqrt{x+5})^2 = (5+x)^2$

$9(x+5) = 25 + 10x + x^2$

$9x + 45 = 25 + 10x + x^2$

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

$x^2 + 10x - 9x + 25 - 45 = 0$

$x^2 + x - 20 = 0$

3. Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -1$

$x_1 \cdot x_2 = -20$

Корнями являются $x_1 = 4$ и $x_2 = -5$.

4. Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ.

ОДЗ: $x \in [-5, 4]$. Оба корня, $x=4$ и $x=-5$, принадлежат ОДЗ.

5. Выполним проверку подстановкой в исходное уравнение.

При $x=4$: $\sqrt{4-4} + \sqrt{4+5} = \sqrt{0} + \sqrt{9} = 0 + 3 = 3$. Верно.

При $x=-5$: $\sqrt{4-(-5)} + \sqrt{-5+5} = \sqrt{9} + \sqrt{0} = 3 + 0 = 3$. Верно.

Оба корня являются решениями уравнения.

Ответ: $-5; 4$.

2) $\sqrt{2x+3} + \sqrt{x+5} = 3$

Решение:

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$2x + 3 \ge 0 \implies 2x \ge -3 \implies x \ge -1.5$

$x + 5 \ge 0 \implies x \ge -5$

Пересечением этих условий является $x \ge -1.5$. ОДЗ: $x \in [-1.5, +\infty)$.

2. Уединим один из корней и возведем обе части уравнения в квадрат:

$\sqrt{2x+3} = 3 - \sqrt{x+5}$

$(\sqrt{2x+3})^2 = (3 - \sqrt{x+5})^2$

$2x+3 = 9 - 6\sqrt{x+5} + x+5$

$2x+3 = 14 + x - 6\sqrt{x+5}$

Уединим оставшийся корень:

$6\sqrt{x+5} = 14 + x - (2x+3)$

$6\sqrt{x+5} = 11 - x$

Снова возведем обе части в квадрат. Для этого необходимо, чтобы правая часть была неотрицательной: $11-x \ge 0$, откуда $x \le 11$. С учетом ОДЗ, ищем решения в интервале $x \in [-1.5, 11]$.

$(6\sqrt{x+5})^2 = (11-x)^2$

$36(x+5) = 121 - 22x + x^2$

$36x + 180 = 121 - 22x + x^2$

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

$x^2 - 22x - 36x + 121 - 180 = 0$

$x^2 - 58x - 59 = 0$

3. Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-58)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-59) = 3364 + 236 = 3600 = 60^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{58 \pm 60}{2}$

$x_1 = \frac{58 + 60}{2} = \frac{118}{2} = 59$

$x_2 = \frac{58 - 60}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

4. Проверим найденные корни.

Корень $x_1 = 59$ не удовлетворяет условию $x \le 11$. Следовательно, $x_1=59$ — посторонний корень.

Корень $x_2 = -1$ удовлетворяет ОДЗ ($ -1 \ge -1.5$) и условию $x \le 11$.

5. Выполним проверку подстановкой $x=-1$ в исходное уравнение:

$\sqrt{2(-1)+3} + \sqrt{-1+5} = \sqrt{1} + \sqrt{4} = 1 + 2 = 3$. Верно.

Следовательно, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $-1$.

11.17. Решите уравнение:

1) $\sqrt{2x+1} + \sqrt{x-3} = 2\sqrt{x}$;

2) $\sqrt{5x-1} - \sqrt{3x-2} = \sqrt{x-1}$;

3) $2\sqrt{3x-1} - \sqrt{x-1} = \sqrt{x-9}$.

1) $\sqrt{2x+1} + \sqrt{x-3} = 2\sqrt{x}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под корнем должны быть неотрицательными:

$ \begin{cases} 2x+1 \ge 0 \\ x-3 \ge 0 \\ x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -1/2 \\ x \ge 3 \\ x \ge 0 \end{cases} \implies x \ge 3. $

Для $x \ge 3$ обе части уравнения неотрицательны. Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{2x+1} + \sqrt{x-3})^2 = (2\sqrt{x})^2$

$(2x+1) + 2\sqrt{(2x+1)(x-3)} + (x-3) = 4x$

$3x - 2 + 2\sqrt{2x^2 - 6x + x - 3} = 4x$

$3x - 2 + 2\sqrt{2x^2 - 5x - 3} = 4x$

Уединим корень:

$2\sqrt{2x^2 - 5x - 3} = 4x - (3x-2)$

$2\sqrt{2x^2 - 5x - 3} = x + 2$

Поскольку из ОДЗ $x \ge 3$, то правая часть $x+2$ положительна. Снова возведем обе части в квадрат:

$(2\sqrt{2x^2 - 5x - 3})^2 = (x+2)^2$

$4(2x^2 - 5x - 3) = x^2 + 4x + 4$

$8x^2 - 20x - 12 = x^2 + 4x + 4$

$7x^2 - 24x - 16 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-24)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-16) = 576 + 448 = 1024 = 32^2$.

$x_1 = \frac{24+32}{2 \cdot 7} = \frac{56}{14} = 4$

$x_2 = \frac{24-32}{2 \cdot 7} = \frac{-8}{14} = -\frac{4}{7}$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 3$).

Корень $x_1=4$ удовлетворяет условию $4 \ge 3$.

Корень $x_2 = -4/7$ не удовлетворяет условию $-4/7 \ge 3$.

Следовательно, единственным решением является $x=4$.

Ответ: $4$.

2) $\sqrt{5x-1} - \sqrt{3x-2} = \sqrt{x-1}$

Найдем ОДЗ:

$ \begin{cases} 5x-1 \ge 0 \\ 3x-2 \ge 0 \\ x-1 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 1/5 \\ x \ge 2/3 \\ x \ge 1 \end{cases} \implies x \ge 1. $

Перенесем член $\sqrt{3x-2}$ в правую часть, чтобы обе части стали неотрицательными:

$\sqrt{5x-1} = \sqrt{x-1} + \sqrt{3x-2}$

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{5x-1})^2 = (\sqrt{x-1} + \sqrt{3x-2})^2$

$5x-1 = (x-1) + 2\sqrt{(x-1)(3x-2)} + (3x-2)$

$5x-1 = 4x-3 + 2\sqrt{3x^2 - 2x - 3x + 2}$

$5x-1 = 4x-3 + 2\sqrt{3x^2 - 5x + 2}$

Уединим корень:

$5x-1 - (4x-3) = 2\sqrt{3x^2 - 5x + 2}$

$x+2 = 2\sqrt{3x^2 - 5x + 2}$

При $x \ge 1$ левая часть $x+2$ положительна. Возведем в квадрат еще раз:

$(x+2)^2 = 4(3x^2 - 5x + 2)$

$x^2 + 4x + 4 = 12x^2 - 20x + 8$

$11x^2 - 24x + 4 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-24)^2 - 4 \cdot 11 \cdot 4 = 576 - 176 = 400 = 20^2$.

$x_1 = \frac{24+20}{2 \cdot 11} = \frac{44}{22} = 2$

$x_2 = \frac{24-20}{2 \cdot 11} = \frac{4}{22} = \frac{2}{11}$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 1$).

Корень $x_1=2$ удовлетворяет условию $2 \ge 1$.

Корень $x_2 = 2/11$ не удовлетворяет условию $2/11 \ge 1$.

Таким образом, решением является $x=2$.

Ответ: $2$.

3) $2\sqrt{3x-1} - \sqrt{x-1} = \sqrt{x-9}$

Найдем ОДЗ:

$ \begin{cases} 3x-1 \ge 0 \\ x-1 \ge 0 \\ x-9 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 1/3 \\ x \ge 1 \\ x \ge 9 \end{cases} \implies x \ge 9. $

Перепишем уравнение в виде $2\sqrt{3x-1} = \sqrt{x-9} + \sqrt{x-1}$, чтобы обе части были неотрицательны, и возведем в квадрат:

$(2\sqrt{3x-1})^2 = (\sqrt{x-9} + \sqrt{x-1})^2$

$4(3x-1) = (x-9) + 2\sqrt{(x-9)(x-1)} + (x-1)$

$12x - 4 = 2x - 10 + 2\sqrt{x^2 - x - 9x + 9}$

$12x - 4 = 2x - 10 + 2\sqrt{x^2 - 10x + 9}$

Уединим корень:

$12x - 4 - (2x - 10) = 2\sqrt{x^2 - 10x + 9}$

$10x + 6 = 2\sqrt{x^2 - 10x + 9}$

Разделим обе части на 2:

$5x + 3 = \sqrt{x^2 - 10x + 9}$

Для $x \ge 9$ левая часть $5x+3$ положительна. Возведем в квадрат:

$(5x+3)^2 = x^2 - 10x + 9$

$25x^2 + 30x + 9 = x^2 - 10x + 9$

$24x^2 + 40x = 0$

$8x(3x+5) = 0$

Отсюда получаем два возможных корня:

$x_1 = 0$

$3x+5=0 \implies x_2 = -5/3$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 9$).

Ни $x_1=0$, ни $x_2=-5/3$ не удовлетворяют этому условию.

Следовательно, у уравнения нет решений.

Ответ: корней нет.

11.18. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x+2} + \sqrt{3x+7} = \sqrt{8-x}$;

2) $\sqrt{6x-11} - \sqrt{x-2} = \sqrt{x+3}$.

1) $\sqrt{x+2} + \sqrt{3x+7} = \sqrt{8-x}$

Решение:
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) уравнения. Для этого выражения под знаками квадратного корня должны быть неотрицательными:
$ \begin{cases} x+2 \ge 0 \\ 3x+7 \ge 0 \\ 8-x \ge 0 \end{cases} $
Решая эту систему неравенств, получаем:
$ \begin{cases} x \ge -2 \\ x \ge -7/3 \\ x \le 8 \end{cases} $
Пересечение этих трех условий дает нам ОДЗ: $x \in [-2, 8]$.

Возведем обе части исходного уравнения в квадрат. Так как обе части уравнения неотрицательны на ОДЗ, это является равносильным преобразованием.
$(\sqrt{x+2} + \sqrt{3x+7})^2 = (\sqrt{8-x})^2$
Применяем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$(x+2) + 2\sqrt{(x+2)(3x+7)} + (3x+7) = 8-x$
Приводим подобные слагаемые:
$4x + 9 + 2\sqrt{3x^2 + 7x + 6x + 14} = 8-x$
$4x + 9 + 2\sqrt{3x^2 + 13x + 14} = 8-x$

Уединим оставшийся радикал в одной части уравнения:
$2\sqrt{3x^2 + 13x + 14} = 8-x - 4x - 9$
$2\sqrt{3x^2 + 13x + 14} = -5x - 1$

Левая часть этого уравнения ($2\sqrt{...}$) неотрицательна. Следовательно, правая часть также должна быть неотрицательной. Это дает нам дополнительное условие:
$-5x - 1 \ge 0 \implies -5x \ge 1 \implies x \le -1/5$.
С учетом ранее найденной ОДЗ ($x \in [-2, 8]$), получаем, что искомый корень должен лежать в промежутке $x \in [-2, -1/5]$.

Теперь снова возведем обе части уравнения в квадрат:
$(2\sqrt{3x^2 + 13x + 14})^2 = (-5x - 1)^2$
$4(3x^2 + 13x + 14) = 25x^2 + 10x + 1$
$12x^2 + 52x + 56 = 25x^2 + 10x + 1$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$13x^2 - 42x - 55 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-42)^2 - 4 \cdot 13 \cdot (-55) = 1764 + 2860 = 4624 = 68^2$
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{42 - 68}{2 \cdot 13} = \frac{-26}{26} = -1$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{42 + 68}{2 \cdot 13} = \frac{110}{26} = \frac{55}{13}$

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $x \in [-2, -1/5]$.
Корень $x_1 = -1$ удовлетворяет условию, так как $-2 \le -1 \le -1/5$.
Корень $x_2 = 55/13 \approx 4.23$ не удовлетворяет условию, так как $55/13 > -1/5$. Следовательно, это посторонний корень.

Проведем проверку, подставив $x = -1$ в исходное уравнение:
$\sqrt{-1+2} + \sqrt{3(-1)+7} = \sqrt{8-(-1)}$
$\sqrt{1} + \sqrt{4} = \sqrt{9}$
$1 + 2 = 3$
$3 = 3$ (верно).
Ответ: -1

2) $\sqrt{6x-11} - \sqrt{x-2} = \sqrt{x+3}$

Решение:
Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$ \begin{cases} 6x-11 \ge 0 \\ x-2 \ge 0 \\ x+3 \ge 0 \end{cases} $
Решая систему, получаем:
$ \begin{cases} x \ge 11/6 \\ x \ge 2 \\ x \ge -3 \end{cases} $
Общее решение системы неравенств: $x \ge 2$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [2, \infty)$.

Чтобы упростить возведение в квадрат, перенесем отрицательный член в правую часть уравнения:
$\sqrt{6x-11} = \sqrt{x+3} + \sqrt{x-2}$
Теперь обе части уравнения неотрицательны. Возведем их в квадрат:
$(\sqrt{6x-11})^2 = (\sqrt{x+3} + \sqrt{x-2})^2$
$6x-11 = (x+3) + 2\sqrt{(x+3)(x-2)} + (x-2)$
$6x-11 = 2x + 1 + 2\sqrt{x^2+x-6}$

Уединим радикал:
$6x-11 - 2x - 1 = 2\sqrt{x^2+x-6}$
$4x - 12 = 2\sqrt{x^2+x-6}$
Разделим обе части на 2:
$2x - 6 = \sqrt{x^2+x-6}$

Левая часть уравнения должна быть неотрицательной, так как она равна значению квадратного корня:
$2x - 6 \ge 0 \implies 2x \ge 6 \implies x \ge 3$.
С учетом ОДЗ ($x \ge 2$), получаем более сильное ограничение для корней: $x \ge 3$.

Снова возведем обе части в квадрат:
$(2x-6)^2 = (\sqrt{x^2+x-6})^2$
$4x^2 - 24x + 36 = x^2 + x - 6$
Приводим к стандартному виду квадратного уравнения:
$3x^2 - 25x + 42 = 0$

Решим это уравнение:
$D = (-25)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 42 = 625 - 504 = 121 = 11^2$
$x_1 = \frac{25 - 11}{2 \cdot 3} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$
$x_2 = \frac{25 + 11}{2 \cdot 3} = \frac{36}{6} = 6$

Проверим найденные корни на соответствие условию $x \ge 3$.
Корень $x_1 = 7/3 \approx 2.33$. Этот корень не удовлетворяет условию $x \ge 3$, значит, он посторонний.
Корень $x_2 = 6$ удовлетворяет условию $x \ge 3$.

Выполним проверку для $x = 6$:
$\sqrt{6(6)-11} - \sqrt{6-2} = \sqrt{6+3}$
$\sqrt{36-11} - \sqrt{4} = \sqrt{9}$
$\sqrt{25} - 2 = 3$
$5 - 2 = 3$
$3 = 3$ (верно).
Ответ: 6

11.19. Решите уравнение, используя метод замены переменной:

1) $x^2 - 5x + 16 - 3\sqrt{x^2 - 5x + 20} = 0;$

2) $x^2 + 4 - 5\sqrt{x^2 - 2} = 0;$

3) $\sqrt{x^2 - 3x + 5} + x^2 = 3x + 7;$

4) $\sqrt{3x^2 - 9x - 26} = 12 + 3x - x^2;$

5) $2x^2 + 6x - 3\sqrt{x^2 + 3x - 3} = 5;$

6) $\sqrt{x^5\sqrt{x}} + \sqrt[5]{x\sqrt{x}} = 72.$

1) Исходное уравнение: $x^2 - 5x + 16 - 3\sqrt{x^2 - 5x + 20} = 0$.

Заметим, что выражение $x^2 - 5x$ повторяется. Сделаем замену переменной, чтобы упростить уравнение. Пусть $t = \sqrt{x^2 - 5x + 20}$. Так как корень арифметический, должно выполняться условие $t \ge 0$.

Возведем обе части замены в квадрат: $t^2 = x^2 - 5x + 20$. Отсюда выразим $x^2 - 5x = t^2 - 20$.

Подставим это в исходное уравнение:

$(t^2 - 20) + 16 - 3t = 0$

$t^2 - 3t - 4 = 0$

Получили квадратное уравнение относительно $t$. Решим его. По теореме Виета, корни $t_1 = 4$ и $t_2 = -1$.

Учитывая условие $t \ge 0$, корень $t_2 = -1$ является посторонним. Остается только $t = 4$.

Выполним обратную замену:

$\sqrt{x^2 - 5x + 20} = 4$

Возведем обе части в квадрат:

$x^2 - 5x + 20 = 16$

$x^2 - 5x + 4 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.

Проверим область определения исходного уравнения: $x^2 - 5x + 20 \ge 0$. Дискриминант этого трехчлена $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 25 - 80 = -55 < 0$. Так как старший коэффициент положителен, выражение $x^2 - 5x + 20$ всегда больше нуля. Следовательно, оба корня подходят.

Ответ: 1; 4.

2) Исходное уравнение: $x^2 + 4 - 5\sqrt{x^2 - 2} = 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x^2 - 2}$, при этом $t \ge 0$.

Тогда $t^2 = x^2 - 2$, откуда $x^2 = t^2 + 2$.

Подставим в исходное уравнение:

$(t^2 + 2) + 4 - 5t = 0$

$t^2 - 5t + 6 = 0$

Решим квадратное уравнение для $t$. По теореме Виета, корни $t_1 = 2$ и $t_2 = 3$.

Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $t = 2$.

$\sqrt{x^2 - 2} = 2$

$x^2 - 2 = 4$

$x^2 = 6 \implies x = \pm\sqrt{6}$.

Случай 2: $t = 3$.

$\sqrt{x^2 - 2} = 3$

$x^2 - 2 = 9$

$x^2 = 11 \implies x = \pm\sqrt{11}$.

Область определения исходного уравнения: $x^2 - 2 \ge 0$, то есть $x^2 \ge 2$. Все четыре найденных корня удовлетворяют этому условию, так как $6 > 2$ и $11 > 2$.

Ответ: $\pm\sqrt{6}; \pm\sqrt{11}$.

3) Исходное уравнение: $\sqrt{x^2 - 3x + 5} + x^2 = 3x + 7$.

Перенесем слагаемые, чтобы сгруппировать похожие выражения: $\sqrt{x^2 - 3x + 5} + x^2 - 3x - 7 = 0$.

Сделаем замену. Пусть $t = \sqrt{x^2 - 3x + 5}$, где $t \ge 0$.

Тогда $t^2 = x^2 - 3x + 5$, откуда $x^2 - 3x = t^2 - 5$.

Подставим в преобразованное уравнение:

$t + (t^2 - 5) - 7 = 0$

$t^2 + t - 12 = 0$

Решим квадратное уравнение для $t$. По теореме Виета, корни $t_1 = 3$ и $t_2 = -4$.

Корень $t_2 = -4$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$. Остается $t = 3$.

Выполним обратную замену:

$\sqrt{x^2 - 3x + 5} = 3$

$x^2 - 3x + 5 = 9$

$x^2 - 3x - 4 = 0$

По теореме Виета, корни $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$.

Проверим область определения: $x^2 - 3x + 5 \ge 0$. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 9 - 20 = -11 < 0$. Выражение всегда положительно. Оба корня подходят.

Ответ: -1; 4.

4) Исходное уравнение: $\sqrt{3x^2 - 9x - 26} = 12 + 3x - x^2$.

Преобразуем правую часть: $\sqrt{3(x^2 - 3x) - 26} = -(x^2 - 3x - 12)$.

Сделаем замену. Пусть $t = x^2 - 3x$. Уравнение примет вид:

$\sqrt{3t - 26} = 12 - t$.

Найдем область допустимых значений для $t$. Во-первых, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $3t - 26 \ge 0 \implies t \ge \frac{26}{3}$. Во-вторых, правая часть уравнения (значение арифметического корня) также должна быть неотрицательной: $12 - t \ge 0 \implies t \le 12$. Таким образом, $ \frac{26}{3} \le t \le 12$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$3t - 26 = (12 - t)^2$

$3t - 26 = 144 - 24t + t^2$

$t^2 - 27t + 170 = 0$

Решим квадратное уравнение для $t$. Дискриминант $D = (-27)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 170 = 729 - 680 = 49 = 7^2$.

$t_1 = \frac{27 - 7}{2} = 10$, $t_2 = \frac{27 + 7}{2} = 17$.

Проверим корни на принадлежность к ОДЗ для $t$: $\frac{26}{3} \approx 8.67$.

Корень $t_1 = 10$ удовлетворяет условию $8.67 \le 10 \le 12$.

Корень $t_2 = 17$ не удовлетворяет условию $17 \le 12$, это посторонний корень.

Итак, $t = 10$. Выполним обратную замену:

$x^2 - 3x = 10$

$x^2 - 3x - 10 = 0$

По теореме Виета, корни $x_1 = 5$ и $x_2 = -2$.

Ответ: -2; 5.

5) Исходное уравнение: $2x^2 + 6x - 3\sqrt{x^2 + 3x - 3} = 5$.

Заметим, что $2x^2 + 6x = 2(x^2 + 3x)$. Сделаем замену. Пусть $t = \sqrt{x^2 + 3x - 3}$, где $t \ge 0$.

Тогда $t^2 = x^2 + 3x - 3$, откуда $x^2 + 3x = t^2 + 3$.

Подставим в уравнение:

$2(t^2 + 3) - 3t = 5$

$2t^2 + 6 - 3t = 5$

$2t^2 - 3t + 1 = 0$

Решим квадратное уравнение для $t$. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.

$t_1 = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2}$, $t_2 = \frac{3 + 1}{4} = 1$.

Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $t = 1$.

$\sqrt{x^2 + 3x - 3} = 1 \implies x^2 + 3x - 3 = 1 \implies x^2 + 3x - 4 = 0$. Корни $x_1 = 1, x_2 = -4$.

Случай 2: $t = \frac{1}{2}$.

$\sqrt{x^2 + 3x - 3} = \frac{1}{2} \implies x^2 + 3x - 3 = \frac{1}{4}$.

$4x^2 + 12x - 12 = 1 \implies 4x^2 + 12x - 13 = 0$.

Дискриминант $D = 12^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-13) = 144 + 208 = 352 = 16 \cdot 22$.

Корни $x = \frac{-12 \pm \sqrt{352}}{8} = \frac{-12 \pm 4\sqrt{22}}{8} = \frac{-3 \pm \sqrt{22}}{2}$.

Область определения исходного уравнения: $x^2 + 3x - 3 \ge 0$. Все найденные корни удовлетворяют этому условию.

Ответ: -4; 1; $\frac{-3 - \sqrt{22}}{2}$; $\frac{-3 + \sqrt{22}}{2}$.

6) Исходное уравнение: $\sqrt{x\sqrt[5]{x}} + \sqrt[5]{x\sqrt{x}} = 72$.

Область определения: $x \ge 0$. Заметим, что $x=0$ не является корнем. Значит, $x>0$.

Упростим выражения с помощью свойств степеней:

Первое слагаемое: $\sqrt{x\sqrt[5]{x}} = \sqrt{x \cdot x^{1/5}} = \sqrt{x^{1+1/5}} = \sqrt{x^{6/5}} = (x^{6/5})^{1/2} = x^{3/5}$.

Второе слагаемое: $\sqrt[5]{x\sqrt{x}} = \sqrt[5]{x \cdot x^{1/2}} = \sqrt[5]{x^{1+1/2}} = \sqrt[5]{x^{3/2}} = (x^{3/2})^{1/5} = x^{3/10}$.

Уравнение принимает вид: $x^{3/5} + x^{3/10} = 72$.

Сделаем замену. Пусть $t = x^{3/10}$. Так как $x > 0$, то и $t > 0$.

Тогда $x^{3/5} = (x^{3/10})^2 = t^2$.

Подставим в уравнение:

$t^2 + t = 72$

$t^2 + t - 72 = 0$

Решим квадратное уравнение для $t$. По теореме Виета, корни $t_1 = 8$ и $t_2 = -9$.

Учитывая условие $t > 0$, оставляем только $t = 8$.

Выполним обратную замену:

$x^{3/10} = 8$

Возведем обе части в степень $10/3$:

$x = 8^{10/3} = (8^{1/3})^{10} = 2^{10} = 1024$.

Ответ: 1024.

11.20. Решите уравнение, используя метод замены переменной:

1) $x^2 - 4x - 3\sqrt{x^2 - 4x + 20} + 10 = 0;$

2) $2\sqrt{x^2 - 3x + 11} = 4 + 3x - x^2;$

3) $\sqrt{2x^2 - 6x + 40} = x^2 - 3x + 8;$

4) $5x^2 + 10x + \sqrt{x^2 + 2x - 15} = 123.$

1) $x^2 - 4x - 3\sqrt{x^2 - 4x + 20} + 10 = 0$.
Заметим, что выражение $x^2 - 4x$ повторяется. Сделаем замену, чтобы упростить уравнение.
Пусть $t = \sqrt{x^2 - 4x + 20}$. Поскольку корень арифметический, $t \ge 0$.
Выразим $x^2 - 4x$ через $t$. Возведем обе части замены в квадрат:
$t^2 = x^2 - 4x + 20$, откуда $x^2 - 4x = t^2 - 20$.
Подставим это в исходное уравнение:
$(t^2 - 20) - 3t + 10 = 0$
$t^2 - 3t - 10 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение относительно $t$ с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна $3$, произведение равно $-10$. Корни: $t_1 = 5$ и $t_2 = -2$.
Поскольку $t \ge 0$, корень $t = -2$ является посторонним. Используем $t = 5$.
Вернемся к исходной переменной:
$\sqrt{x^2 - 4x + 20} = 5$
Возведем обе части в квадрат:
$x^2 - 4x + 20 = 25$
$x^2 - 4x - 5 = 0$
Снова решим квадратное уравнение. Корни по теореме Виета: $x_1 = 5$ и $x_2 = -1$.
Подкоренное выражение $x^2 - 4x + 20$ всегда положительно (дискриминант $D = 16 - 80 = -64 < 0$), поэтому область допустимых значений $x$ — все действительные числа. Оба корня подходят.
Ответ: $-1; 5$.

2) $2\sqrt{x^2 - 3x + 11} = 4 + 3x - x^2$.
Перепишем уравнение в виде $2\sqrt{x^2 - 3x + 11} = 4 - (x^2 - 3x)$.
Сделаем замену $t = \sqrt{x^2 - 3x + 11}$. Так как $t$ — арифметический корень, $t \ge 0$.
Тогда $t^2 = x^2 - 3x + 11$, откуда $x^2 - 3x = t^2 - 11$.
Подставляем в уравнение:
$2t = 4 - (t^2 - 11)$
$2t = 4 - t^2 + 11$
$t^2 + 2t - 15 = 0$
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $t_1 = 3$ и $t_2 = -5$.
Условию $t \ge 0$ удовлетворяет только $t = 3$.
Выполним обратную замену:
$\sqrt{x^2 - 3x + 11} = 3$
Возведем в квадрат:
$x^2 - 3x + 11 = 9$
$x^2 - 3x + 2 = 0$
Корни этого уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.
Проверим, что правая часть исходного уравнения неотрицательна: $4 + 3x - x^2 \ge 0$.
При $x=1$: $4 + 3(1) - 1^2 = 6 > 0$. Корень подходит.
При $x=2$: $4 + 3(2) - 2^2 = 4 + 6 - 4 = 6 > 0$. Корень подходит.
Ответ: $1; 2$.

3) $\sqrt{2x^2 - 6x + 40} = x^2 - 3x + 8$.
Заметим, что $2x^2 - 6x = 2(x^2 - 3x)$.
Пусть $y = x^2 - 3x$. Тогда уравнение примет вид:
$\sqrt{2y + 40} = y + 8$.
Левая часть уравнения (корень) неотрицательна, значит и правая часть должна быть неотрицательной: $y + 8 \ge 0$, то есть $y \ge -8$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$2y + 40 = (y + 8)^2$
$2y + 40 = y^2 + 16y + 64$
$y^2 + 14y + 24 = 0$
По теореме Виета, корни $y_1 = -2$ и $y_2 = -12$.
Условию $y \ge -8$ удовлетворяет только $y = -2$.
Вернемся к переменной $x$:
$x^2 - 3x = -2$
$x^2 - 3x + 2 = 0$
Корни этого уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.
Оба корня являются решениями исходного уравнения.
Ответ: $1; 2$.

4) $5x^2 + 10x + \sqrt{x^2 + 2x - 15} = 123$.
Вынесем $5$ за скобки в первых двух слагаемых: $5(x^2 + 2x) + \sqrt{x^2 + 2x - 15} = 123$.
Сделаем замену $t = \sqrt{x^2 + 2x - 15}$. Условие: $t \ge 0$.
Возведем замену в квадрат: $t^2 = x^2 + 2x - 15$, откуда $x^2 + 2x = t^2 + 15$.
Подставим в уравнение:
$5(t^2 + 15) + t = 123$
$5t^2 + 75 + t = 123$
$5t^2 + t - 48 = 0$
Решим это квадратное уравнение через дискриминант:
$D = 1^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-48) = 1 + 960 = 961 = 31^2$.
$t_{1,2} = \frac{-1 \pm 31}{2 \cdot 5} = \frac{-1 \pm 31}{10}$.
$t_1 = \frac{-1 + 31}{10} = \frac{30}{10} = 3$.
$t_2 = \frac{-1 - 31}{10} = \frac{-32}{10} = -3.2$.
Условию $t \ge 0$ удовлетворяет только $t = 3$.
Выполним обратную замену:
$\sqrt{x^2 + 2x - 15} = 3$
Возведем в квадрат:
$x^2 + 2x - 15 = 9$
$x^2 + 2x - 24 = 0$
По теореме Виета, корни $x_1 = -6$ и $x_2 = 4$.
Проверим область допустимых значений: $x^2 + 2x - 15 \ge 0$, или $(x+5)(x-3) \ge 0$. Решением является $x \in (-\infty; -5] \cup [3; +\infty)$.
Корень $x = -6$ принадлежит промежутку $(-\infty; -5]$.
Корень $x = 4$ принадлежит промежутку $[3; +\infty)$.
Оба корня подходят.
Ответ: $-6; 4$.

11.21. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x-1-2\sqrt{x-2}} + \sqrt{x+7-6\sqrt{x-2}} = 6;$

2) $\sqrt{x+2+2\sqrt{x+1}} - \sqrt{x+5-4\sqrt{x+1}} = 4.$

Дано уравнение: $\sqrt{x-1-2\sqrt{x-2}} + \sqrt{x+7-6\sqrt{x-2}} = 6$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под внутренним корнем должно быть неотрицательным: $x-2 \ge 0$, откуда $x \ge 2$. Также должны быть неотрицательны выражения под внешними корнями, что мы проверим в ходе решения.

Преобразуем подкоренные выражения, выделив в них полные квадраты. Для этого воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.

Рассмотрим первое подкоренное выражение: $x-1-2\sqrt{x-2}$. Представим $x-1$ как $(x-2) + 1$. Тогда выражение примет вид: $(x-2) - 2\sqrt{x-2} + 1 = (\sqrt{x-2})^2 - 2 \cdot \sqrt{x-2} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{x-2}-1)^2$.

Рассмотрим второе подкоренное выражение: $x+7-6\sqrt{x-2}$. Представим $x+7$ как $(x-2) + 9$. Тогда выражение примет вид: $(x-2) - 6\sqrt{x-2} + 9 = (\sqrt{x-2})^2 - 2 \cdot \sqrt{x-2} \cdot 3 + 3^2 = (\sqrt{x-2}-3)^2$.

Теперь исходное уравнение можно переписать следующим образом: $\sqrt{(\sqrt{x-2}-1)^2} + \sqrt{(\sqrt{x-2}-3)^2} = 6$.

Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем уравнение с модулями: $|\sqrt{x-2}-1| + |\sqrt{x-2}-3| = 6$.

Для удобства введем замену переменной. Пусть $y = \sqrt{x-2}$. Поскольку $x \ge 2$, то $y \ge 0$. Уравнение примет вид: $|y-1| + |y-3| = 6$.

Решим это уравнение, рассмотрев три интервала для $y$, определяемых точками $y=1$ и $y=3$.

Случай 1: $0 \le y < 1$. В этом интервале $y-1 < 0$ и $y-3 < 0$, поэтому $|y-1| = -(y-1)$ и $|y-3| = -(y-3)$. $-(y-1) - (y-3) = 6$ $1-y+3-y = 6$ $4 - 2y = 6$ $-2y = 2$ $y = -1$. Это значение не принадлежит интервалу $[0, 1)$, поэтому решений в этом случае нет.

Случай 2: $1 \le y \le 3$. В этом интервале $y-1 \ge 0$ и $y-3 \le 0$, поэтому $|y-1| = y-1$ и $|y-3| = -(y-3)$. $(y-1) - (y-3) = 6$ $y-1-y+3 = 6$ $2 = 6$. Получено неверное равенство, значит, на этом отрезке решений нет.

Случай 3: $y > 3$. В этом интервале $y-1 > 0$ и $y-3 > 0$, поэтому $|y-1| = y-1$ и $|y-3| = y-3$. $(y-1) + (y-3) = 6$ $2y - 4 = 6$ $2y = 10$ $y = 5$. Значение $y=5$ удовлетворяет условию $y > 3$.

Мы получили единственное возможное значение $y=5$. Выполним обратную замену: $\sqrt{x-2} = 5$. Возведем обе части в квадрат: $x-2 = 25$ $x = 27$.

Корень $x=27$ удовлетворяет ОДЗ ($27 \ge 2$). Проверка показывает, что решение верное.

Ответ: $27$.

Дано уравнение: $\sqrt{x+2+2\sqrt{x+1}} - \sqrt{x+5-4\sqrt{x+1}} = 4$.

Найдем ОДЗ: выражение под внутренним корнем должно быть неотрицательным, т.е. $x+1 \ge 0$, откуда $x \ge -1$.

Преобразуем подкоренные выражения, выделив полные квадраты.

Для первого слагаемого: $x+2+2\sqrt{x+1}$. Представим $x+2$ как $(x+1)+1$. Тогда: $(x+1) + 2\sqrt{x+1} + 1 = (\sqrt{x+1})^2 + 2\cdot\sqrt{x+1}\cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{x+1}+1)^2$. Это формула квадрата суммы $(a+b)^2$.

Для второго слагаемого: $x+5-4\sqrt{x+1}$. Представим $x+5$ как $(x+1)+4$. Тогда: $(x+1) - 4\sqrt{x+1} + 4 = (\sqrt{x+1})^2 - 2\cdot\sqrt{x+1}\cdot 2 + 2^2 = (\sqrt{x+1}-2)^2$. Это формула квадрата разности $(a-b)^2$.

Подставим преобразованные выражения в уравнение: $\sqrt{(\sqrt{x+1}+1)^2} - \sqrt{(\sqrt{x+1}-2)^2} = 4$.

Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем: $|\sqrt{x+1}+1| - |\sqrt{x+1}-2| = 4$.

Так как $\sqrt{x+1} \ge 0$, то $\sqrt{x+1}+1 > 0$, и модуль можно опустить: $|\sqrt{x+1}+1| = \sqrt{x+1}+1$. Уравнение принимает вид: $(\sqrt{x+1}+1) - |\sqrt{x+1}-2| = 4$.

Сделаем замену переменной. Пусть $y = \sqrt{x+1}$. Из ОДЗ следует, что $y \ge 0$. Уравнение примет вид: $(y+1) - |y-2| = 4$.

Решим это уравнение, рассмотрев два случая, определяемые точкой $y=2$.

Случай 1: $0 \le y < 2$. В этом случае $y-2 < 0$, поэтому $|y-2| = -(y-2) = 2-y$. $(y+1) - (2-y) = 4$ $y+1-2+y = 4$ $2y - 1 = 4$ $2y = 5$ $y = 2.5$. Это значение не входит в рассматриваемый интервал $[0, 2)$, значит, в этом случае решений нет.

Случай 2: $y \ge 2$. В этом случае $y-2 \ge 0$, поэтому $|y-2| = y-2$. $(y+1) - (y-2) = 4$ $y+1-y+2 = 4$ $3 = 4$. Получено неверное равенство, следовательно, в этом случае решений также нет.

Так как ни в одном из возможных случаев мы не получили решений для $y$, то исходное уравнение не имеет корней.

Ответ: корней нет.

11.22. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x + 2\sqrt{x - 1}} + \sqrt{x - 2\sqrt{x - 1}} = 6;$

2) $\sqrt{x + 6 + 2\sqrt{x + 5}} - \sqrt{x + 6 - 2\sqrt{x + 5}} = 2.$

1) $\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}=6$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаками корня должны быть неотрицательными.

1. $x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$.

2. $x-2\sqrt{x-1} \ge 0$. Перенесем второе слагаемое вправо: $x \ge 2\sqrt{x-1}$. Поскольку при $x \ge 1$ обе части неравенства неотрицательны, можно возвести их в квадрат: $x^2 \ge 4(x-1) \implies x^2 - 4x + 4 \ge 0 \implies (x-2)^2 \ge 0$. Это неравенство верно для любых действительных значений $x$.

3. $x+2\sqrt{x-1} \ge 0$. При $x \ge 1$ это выражение очевидно неотрицательно.

Таким образом, ОДЗ уравнения: $x \ge 1$.

Заметим, что выражения под внешними корнями являются полными квадратами. Воспользуемся формулой $\sqrt{A \pm 2\sqrt{B}} = \sqrt{(\sqrt{a} \pm \sqrt{b})^2}$, где $A=a+b$ и $B=ab$.

Рассмотрим первое подкоренное выражение: $x+2\sqrt{x-1}$. Его можно представить в виде $(x-1)+2\sqrt{x-1}+1 = (\sqrt{x-1})^2+2\cdot\sqrt{x-1}\cdot1+1^2 = (\sqrt{x-1}+1)^2$.

Рассмотрим второе подкоренное выражение: $x-2\sqrt{x-1}$. Его можно представить в виде $(x-1)-2\sqrt{x-1}+1 = (\sqrt{x-1})^2-2\cdot\sqrt{x-1}\cdot1+1^2 = (\sqrt{x-1}-1)^2$.

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$\sqrt{(\sqrt{x-1}+1)^2} + \sqrt{(\sqrt{x-1}-1)^2} = 6$

Используя свойство $\sqrt{a^2}=|a|$, получаем:

$|\sqrt{x-1}+1| + |\sqrt{x-1}-1| = 6$

Поскольку $\sqrt{x-1} \ge 0$ (из ОДЗ), то $\sqrt{x-1}+1$ всегда положительно, следовательно $|\sqrt{x-1}+1| = \sqrt{x-1}+1$.

Уравнение принимает вид:

$\sqrt{x-1}+1 + |\sqrt{x-1}-1| = 6$

Для раскрытия оставшегося модуля рассмотрим два случая.

Случай 1: $\sqrt{x-1}-1 \ge 0 \implies \sqrt{x-1} \ge 1 \implies x-1 \ge 1 \implies x \ge 2$.

В этом случае $|\sqrt{x-1}-1| = \sqrt{x-1}-1$. Уравнение становится:

$(\sqrt{x-1}+1) + (\sqrt{x-1}-1) = 6$

$2\sqrt{x-1} = 6 \implies \sqrt{x-1} = 3$

Возводим в квадрат: $x-1=9 \implies x=10$.

Полученное значение $x=10$ удовлетворяет условию $x \ge 2$.

Случай 2: $\sqrt{x-1}-1 < 0 \implies \sqrt{x-1} < 1 \implies x-1 < 1 \implies x < 2$.

С учетом ОДЗ ($x \ge 1$), этот случай рассматривается для $1 \le x < 2$.

В этом случае $|\sqrt{x-1}-1| = -(\sqrt{x-1}-1) = 1-\sqrt{x-1}$. Уравнение становится:

$(\sqrt{x-1}+1) + (1-\sqrt{x-1}) = 6$

$2 = 6$.

Получено неверное равенство, значит, в этом интервале решений нет.

Единственным решением является корень, найденный в первом случае.

Ответ: $10$.

2) $\sqrt{x+6+2\sqrt{x+5}}-\sqrt{x+6-2\sqrt{x+5}}=2$

Найдем ОДЗ: $x+5 \ge 0 \implies x \ge -5$.

Как и в предыдущей задаче, преобразуем подкоренные выражения. Представим $x+6$ как $(x+5)+1$.

Первое подкоренное выражение: $x+6+2\sqrt{x+5} = (x+5)+2\sqrt{x+5}+1 = (\sqrt{x+5}+1)^2$.

Второе подкоренное выражение: $x+6-2\sqrt{x+5} = (x+5)-2\sqrt{x+5}+1 = (\sqrt{x+5}-1)^2$.

Подставим эти выражения в уравнение:

$\sqrt{(\sqrt{x+5}+1)^2} - \sqrt{(\sqrt{x+5}-1)^2} = 2$

$|\sqrt{x+5}+1| - |\sqrt{x+5}-1| = 2$

Поскольку $\sqrt{x+5} \ge 0$, то $\sqrt{x+5}+1 > 0$, и $|\sqrt{x+5}+1| = \sqrt{x+5}+1$.

Уравнение принимает вид:

$\sqrt{x+5}+1 - |\sqrt{x+5}-1| = 2$

Для раскрытия модуля рассмотрим два случая.

Случай 1: $\sqrt{x+5}-1 \ge 0 \implies \sqrt{x+5} \ge 1 \implies x+5 \ge 1 \implies x \ge -4$.

В этом случае $|\sqrt{x+5}-1| = \sqrt{x+5}-1$. Уравнение становится:

$(\sqrt{x+5}+1) - (\sqrt{x+5}-1) = 2$

$\sqrt{x+5}+1 - \sqrt{x+5}+1 = 2$

$2 = 2$.

Получено тождество, которое верно для всех $x$, удовлетворяющих условию $x \ge -4$.

Случай 2: $\sqrt{x+5}-1 < 0 \implies \sqrt{x+5} < 1 \implies x+5 < 1 \implies x < -4$.

С учетом ОДЗ ($x \ge -5$), этот случай рассматривается для $-5 \le x < -4$.

В этом случае $|\sqrt{x+5}-1| = -(\sqrt{x+5}-1) = 1-\sqrt{x+5}$. Уравнение становится:

$(\sqrt{x+5}+1) - (1-\sqrt{x+5}) = 2$

$\sqrt{x+5}+1 - 1+\sqrt{x+5} = 2$

$2\sqrt{x+5} = 2 \implies \sqrt{x+5} = 1$

$x+5 = 1 \implies x = -4$.

Это значение не входит в рассматриваемый интервал $-5 \le x < -4$, поэтому в этом случае решений нет.

Решением уравнения является множество значений $x$ из первого случая.

Ответ: $x \in [-4; +\infty)$.