Страница 89 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

10.25. Упростите выражение:

1) $ \frac{a-b}{a^{0.5}-b^{0.5}} - \frac{a^{1.5}-b^{1.5}}{a-b}; $

2) $ \frac{a^{0.5}-b^{0.5}}{a^{0.5}+b^{0.5}} + \frac{a^{0.5}+b^{0.5}}{a^{0.5}-b^{0.5}}; $

3) $ \frac{a^{\frac{1}{2}}+2a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{7}{6}}b^{\frac{5}{6}}-a^{\frac{5}{6}}b^{\frac{7}{6}}} \cdot \frac{a-a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{2}}}; $

4) $ \frac{a^{\frac{3}{2}}+b^{\frac{3}{2}}}{(a^2-ab)^{\frac{2}{3}}} : \frac{a^{-\frac{2}{3}}(a-b)^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{3}{2}}-b^{\frac{3}{2}}}. $

1) Исходное выражение: $ \frac{a-b}{a^{0.5}-b^{0.5}} - \frac{a^{1.5}-b^{1.5}}{a-b} $
Упростим каждую дробь по отдельности. Для этого воспользуемся формулой разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$ и формулой разности кубов $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$.
Представим $a = (a^{0.5})^2$, $b = (b^{0.5})^2$, $a^{1.5} = (a^{0.5})^3$ и $b^{1.5} = (b^{0.5})^3$.
Первая дробь: $ \frac{a-b}{a^{0.5}-b^{0.5}} = \frac{(a^{0.5})^2-(b^{0.5})^2}{a^{0.5}-b^{0.5}} = \frac{(a^{0.5}-b^{0.5})(a^{0.5}+b^{0.5})}{a^{0.5}-b^{0.5}} = a^{0.5}+b^{0.5} $.
Вторая дробь: $ \frac{a^{1.5}-b^{1.5}}{a-b} = \frac{(a^{0.5})^3-(b^{0.5})^3}{(a^{0.5})^2-(b^{0.5})^2} = \frac{(a^{0.5}-b^{0.5})(a+a^{0.5}b^{0.5}+b)}{(a^{0.5}-b^{0.5})(a^{0.5}+b^{0.5})} = \frac{a+a^{0.5}b^{0.5}+b}{a^{0.5}+b^{0.5}} $.
Теперь подставим упрощенные дроби в исходное выражение:
$ (a^{0.5}+b^{0.5}) - \frac{a+a^{0.5}b^{0.5}+b}{a^{0.5}+b^{0.5}} $
Приведем к общему знаменателю $a^{0.5}+b^{0.5}$:
$ \frac{(a^{0.5}+b^{0.5})^2 - (a+a^{0.5}b^{0.5}+b)}{a^{0.5}+b^{0.5}} = \frac{(a+2a^{0.5}b^{0.5}+b) - a - a^{0.5}b^{0.5} - b}{a^{0.5}+b^{0.5}} $
Упростим числитель: $ a+2a^{0.5}b^{0.5}+b - a - a^{0.5}b^{0.5} - b = a^{0.5}b^{0.5} $.
В результате получаем: $ \frac{a^{0.5}b^{0.5}}{a^{0.5}+b^{0.5}} $.
Ответ: $ \frac{a^{0.5}b^{0.5}}{a^{0.5}+b^{0.5}} $

2) Исходное выражение: $ \frac{a^{0.5}-b^{0.5}}{a^{0.5}+b^{0.5}} + \frac{a^{0.5}+b^{0.5}}{a^{0.5}-b^{0.5}} $
Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель: $(a^{0.5}+b^{0.5})(a^{0.5}-b^{0.5}) = (a^{0.5})^2 - (b^{0.5})^2 = a-b$.
$ \frac{(a^{0.5}-b^{0.5})^2 + (a^{0.5}+b^{0.5})^2}{(a^{0.5}+b^{0.5})(a^{0.5}-b^{0.5})} = \frac{(a-2a^{0.5}b^{0.5}+b) + (a+2a^{0.5}b^{0.5}+b)}{a-b} $
Раскроем скобки и упростим числитель: $ a-2a^{0.5}b^{0.5}+b + a+2a^{0.5}b^{0.5}+b = 2a+2b = 2(a+b) $.
В результате получаем: $ \frac{2(a+b)}{a-b} $.
Ответ: $ \frac{2(a+b)}{a-b} $

3) Исходное выражение: $ \frac{a^{\frac{1}{2}}+2a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{7}{6}}b^{\frac{5}{6}}-a^{\frac{5}{6}}b^{\frac{7}{6}}} \cdot \frac{a-a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{2}}} $
Упростим каждую часть выражения по отдельности.
Числитель первой дроби является полным квадратом: $ a^{\frac{1}{2}}+2a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{2}} = (a^{\frac{1}{4}})^2 + 2a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{4}} + (b^{\frac{1}{4}})^2 = (a^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{4}})^2 $.
Знаменатель первой дроби: $ a^{\frac{7}{6}}b^{\frac{5}{6}}-a^{\frac{5}{6}}b^{\frac{7}{6}} = a^{\frac{5}{6}}b^{\frac{5}{6}}(a^{\frac{7}{6}-\frac{5}{6}} - b^{\frac{7}{6}-\frac{5}{6}}) = a^{\frac{5}{6}}b^{\frac{5}{6}}(a^{\frac{2}{6}}-b^{\frac{2}{6}}) = a^{\frac{5}{6}}b^{\frac{5}{6}}(a^{\frac{1}{3}}-b^{\frac{1}{3}}) $.
Числитель второй дроби: $ a-a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{2}{3}}(a^{1-\frac{2}{3}}-b^{\frac{1}{3}}) = a^{\frac{2}{3}}(a^{\frac{1}{3}}-b^{\frac{1}{3}}) $.
Знаменатель второй дроби: $ a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{2}} = b^{\frac{1}{4}}(a^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{2}-\frac{1}{4}}) = b^{\frac{1}{4}}(a^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{4}}) $.
Подставим упрощенные части в выражение:
$ \frac{(a^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{4}})^2}{a^{\frac{5}{6}}b^{\frac{5}{6}}(a^{\frac{1}{3}}-b^{\frac{1}{3}})} \cdot \frac{a^{\frac{2}{3}}(a^{\frac{1}{3}}-b^{\frac{1}{3}})}{b^{\frac{1}{4}}(a^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{4}})} $
Сократим общие множители $(a^{\frac{1}{3}}-b^{\frac{1}{3}})$ и $(a^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{4}})$:
$ \frac{a^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{4}}}{a^{\frac{5}{6}}b^{\frac{5}{6}}} \cdot \frac{a^{\frac{2}{3}}}{b^{\frac{1}{4}}} = \frac{a^{\frac{2}{3}}(a^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{4}})}{a^{\frac{5}{6}}b^{\frac{5}{6}}b^{\frac{1}{4}}} $
Объединим степени: $ \frac{a^{\frac{2}{3}-\frac{5}{6}}(a^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{4}})}{b^{\frac{5}{6}+\frac{1}{4}}} = \frac{a^{\frac{4}{6}-\frac{5}{6}}(a^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{4}})}{b^{\frac{10}{12}+\frac{3}{12}}} = \frac{a^{-\frac{1}{6}}(a^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{4}})}{b^{\frac{13}{12}}} $.
Ответ: $ \frac{a^{-\frac{1}{6}}(a^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{4}})}{b^{\frac{13}{12}}} $

4) Исходное выражение: $ \frac{a^{\frac{3}{2}}+b^{\frac{3}{2}}}{(a^2-ab)^{\frac{2}{3}}} : \frac{a^{-\frac{2}{3}}(a-b)^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{3}{2}}-b^{\frac{3}{2}}} $
Заменим деление на умножение, перевернув вторую дробь:
$ \frac{a^{\frac{3}{2}}+b^{\frac{3}{2}}}{(a^2-ab)^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{a^{\frac{3}{2}}-b^{\frac{3}{2}}}{a^{-\frac{2}{3}}(a-b)^{\frac{1}{3}}} $
Перемножим числители и знаменатели.
В числителе получим разность квадратов: $ (a^{\frac{3}{2}}+b^{\frac{3}{2}})(a^{\frac{3}{2}}-b^{\frac{3}{2}}) = (a^{\frac{3}{2}})^2 - (b^{\frac{3}{2}})^2 = a^3-b^3 $.
Упростим знаменатель: $ (a^2-ab)^{\frac{2}{3}} \cdot a^{-\frac{2}{3}}(a-b)^{\frac{1}{3}} = (a(a-b))^{\frac{2}{3}} \cdot a^{-\frac{2}{3}}(a-b)^{\frac{1}{3}} $
$ = a^{\frac{2}{3}}(a-b)^{\frac{2}{3}} \cdot a^{-\frac{2}{3}}(a-b)^{\frac{1}{3}} = (a^{\frac{2}{3}}a^{-\frac{2}{3}}) \cdot ((a-b)^{\frac{2}{3}}(a-b)^{\frac{1}{3}}) $
$ = a^0 \cdot (a-b)^{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}} = 1 \cdot (a-b)^1 = a-b $.
В результате получим дробь: $ \frac{a^3-b^3}{a-b} $.
Используя формулу разности кубов $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$, сократим дробь:
$ \frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{a-b} = a^2+ab+b^2 $.
Ответ: $ a^2+ab+b^2 $

10.26. Упростите выражение:

1) $ \frac{m - n}{m^{\frac{1}{3}} - n^{\frac{1}{3}}} - \frac{m + n}{m^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{1}{3}}}$;

2) $ \left(1 - a^{\frac{1}{36}}\right)\left(1 + a^{\frac{1}{36}} + a^{\frac{1}{18}}\right) + \frac{4 - a^{\frac{1}{6}}}{2 - a^{\frac{1}{12}}}$;

3) $ \left(a^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{4}}\right) : \left\{\frac{b^{\frac{5}{4}}}{a} - \frac{b}{a^{\frac{3}{4}}}\right\}$;

4) $ \frac{m^{\frac{5}{2}} - m^{\frac{3}{2}}}{m^{\frac{5}{3}} - m^{\frac{2}{3}}} - \frac{m^{\frac{1}{2}} + m}{m^{\frac{2}{3}} + m^{\frac{3}{2}}}$.

1) Исходное выражение: $\frac{m-n}{m^{\frac{1}{3}}-n^{\frac{1}{3}}} - \frac{m+n}{m^{\frac{1}{3}}+n^{\frac{1}{3}}}$

Для упрощения воспользуемся формулами разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ и суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$.

Рассмотрим числители дробей как разность и сумму кубов. Представим $m = (m^{\frac{1}{3}})^3$ и $n = (n^{\frac{1}{3}})^3$.

Тогда первая дробь преобразуется следующим образом:
$\frac{m-n}{m^{\frac{1}{3}}-n^{\frac{1}{3}}} = \frac{(m^{\frac{1}{3}})^3 - (n^{\frac{1}{3}})^3}{m^{\frac{1}{3}}-n^{\frac{1}{3}}} = \frac{(m^{\frac{1}{3}}-n^{\frac{1}{3}})((m^{\frac{1}{3}})^2 + m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} + (n^{\frac{1}{3}})^2)}{m^{\frac{1}{3}}-n^{\frac{1}{3}}} = m^{\frac{2}{3}} + m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{2}{3}}$

Вторая дробь преобразуется аналогично, используя формулу суммы кубов:
$\frac{m+n}{m^{\frac{1}{3}}+n^{\frac{1}{3}}} = \frac{(m^{\frac{1}{3}})^3 + (n^{\frac{1}{3}})^3}{m^{\frac{1}{3}}+n^{\frac{1}{3}}} = \frac{(m^{\frac{1}{3}}+n^{\frac{1}{3}})((m^{\frac{1}{3}})^2 - m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} + (n^{\frac{1}{3}})^2)}{m^{\frac{1}{3}}+n^{\frac{1}{3}}} = m^{\frac{2}{3}} - m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{2}{3}}$

Теперь вычтем второе выражение из первого:
$(m^{\frac{2}{3}} + m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{2}{3}}) - (m^{\frac{2}{3}} - m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{2}{3}}) = m^{\frac{2}{3}} + m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{2}{3}} - m^{\frac{2}{3}} + m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} - n^{\frac{2}{3}} = 2m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} = 2(mn)^{\frac{1}{3}}$

Ответ: $2(mn)^{\frac{1}{3}}$

2) Исходное выражение: $(1-a^{\frac{1}{36}})(1+a^{\frac{1}{36}}+a^{\frac{1}{18}}) + \frac{4-a^{\frac{1}{6}}}{2-a^{\frac{1}{12}}}$

Упростим выражение по частям.

Первая часть: $(1-a^{\frac{1}{36}})(1+a^{\frac{1}{36}}+a^{\frac{1}{18}})$. Заметим, что $a^{\frac{1}{18}} = (a^{\frac{1}{36}})^2$. Это выражение является формулой разности кубов $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$, где $x=1$ и $y=a^{\frac{1}{36}}$.
$(1-a^{\frac{1}{36}})(1^2 + 1 \cdot a^{\frac{1}{36}} + (a^{\frac{1}{36}})^2) = 1^3 - (a^{\frac{1}{36}})^3 = 1 - a^{\frac{3}{36}} = 1 - a^{\frac{1}{12}}$

Вторая часть: $\frac{4-a^{\frac{1}{6}}}{2-a^{\frac{1}{12}}}$. Заметим, что $a^{\frac{1}{6}} = (a^{\frac{1}{12}})^2$. Числитель является разностью квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$, где $x=2$ и $y=a^{\frac{1}{12}}$.
$\frac{2^2 - (a^{\frac{1}{12}})^2}{2-a^{\frac{1}{12}}} = \frac{(2-a^{\frac{1}{12}})(2+a^{\frac{1}{12}})}{2-a^{\frac{1}{12}}} = 2+a^{\frac{1}{12}}$

Теперь сложим результаты обеих частей:
$(1 - a^{\frac{1}{12}}) + (2+a^{\frac{1}{12}}) = 1 - a^{\frac{1}{12}} + 2 + a^{\frac{1}{12}} = 3$

Ответ: $3$

3) Исходное выражение: $(a^{\frac{1}{4}}-b^{\frac{1}{4}}) : \left(\frac{b^{\frac{5}{4}}}{a} - \frac{b}{a^{\frac{3}{4}}}\right)$

Сначала упростим выражение в скобках (делитель). Приведем дроби к общему знаменателю $a$.
$\frac{b^{\frac{5}{4}}}{a} - \frac{b}{a^{\frac{3}{4}}} = \frac{b^{\frac{5}{4}}}{a} - \frac{b \cdot a^{\frac{1}{4}}}{a^{\frac{3}{4}} \cdot a^{\frac{1}{4}}} = \frac{b^{\frac{5}{4}} - b \cdot a^{\frac{1}{4}}}{a}$

Вынесем в числителе общий множитель $b$.
$\frac{b(b^{\frac{1}{4}} - a^{\frac{1}{4}})}{a}$

Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь.
$(a^{\frac{1}{4}}-b^{\frac{1}{4}}) : \frac{b(b^{\frac{1}{4}} - a^{\frac{1}{4}})}{a} = (a^{\frac{1}{4}}-b^{\frac{1}{4}}) \cdot \frac{a}{b(b^{\frac{1}{4}} - a^{\frac{1}{4}})}$

Заметим, что $(a^{\frac{1}{4}}-b^{\frac{1}{4}}) = -(b^{\frac{1}{4}} - a^{\frac{1}{4}})$. Подставим это в выражение:
$\frac{-(b^{\frac{1}{4}} - a^{\frac{1}{4}}) \cdot a}{b(b^{\frac{1}{4}} - a^{\frac{1}{4}})}$

Сократим одинаковые множители $(b^{\frac{1}{4}} - a^{\frac{1}{4}})$ в числителе и знаменателе.
$\frac{-a}{b} = -\frac{a}{b}$

Ответ: $-\frac{a}{b}$

4) Исходное выражение: $\frac{m^{\frac{5}{2}}-m^{\frac{3}{2}}}{m^3 - m^{\frac{5}{2}}} - \frac{m^{\frac{1}{2}}+m}{m^2+m^{\frac{3}{2}}}$

Упростим каждую дробь по отдельности.

Первая дробь: $\frac{m^{\frac{5}{2}}-m^{\frac{3}{2}}}{m^3 - m^{\frac{5}{2}}}$. Вынесем за скобки общие множители в числителе и знаменателе.
$\frac{m^{\frac{3}{2}}(m-1)}{m^{\frac{5}{2}}(m^{\frac{1}{2}}-1)}$
Разложим $m-1$ по формуле разности квадратов: $m-1 = (m^{\frac{1}{2}})^2 - 1^2 = (m^{\frac{1}{2}}-1)(m^{\frac{1}{2}}+1)$.
$\frac{m^{\frac{3}{2}}(m^{\frac{1}{2}}-1)(m^{\frac{1}{2}}+1)}{m^{\frac{5}{2}}(m^{\frac{1}{2}}-1)} = \frac{m^{\frac{3}{2}}(m^{\frac{1}{2}}+1)}{m^{\frac{5}{2}}}$
Сократим степени $m$: $m^{\frac{3}{2} - \frac{5}{2}} = m^{-1} = \frac{1}{m}$.
Получаем: $\frac{m^{\frac{1}{2}}+1}{m}$

Вторая дробь: $\frac{m^{\frac{1}{2}}+m}{m^2+m^{\frac{3}{2}}}$. Вынесем за скобки общие множители.
$\frac{m^{\frac{1}{2}}(1+m^{\frac{1}{2}})}{m^{\frac{3}{2}}(m^{\frac{1}{2}}+1)}$
Сократим одинаковые множители $(1+m^{\frac{1}{2}})$.
$\frac{m^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{3}{2}}} = m^{\frac{1}{2}-\frac{3}{2}} = m^{-1} = \frac{1}{m}$

Теперь выполним вычитание упрощенных дробей:
$\frac{m^{\frac{1}{2}}+1}{m} - \frac{1}{m} = \frac{m^{\frac{1}{2}}+1-1}{m} = \frac{m^{\frac{1}{2}}}{m}$

Упростим полученное выражение: $\frac{m^{\frac{1}{2}}}{m^1} = m^{\frac{1}{2}-1} = m^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{m^{\frac{1}{2}}}$

Ответ: $\frac{1}{m^{\frac{1}{2}}}$

10.27. Докажите тождество:

1) $\left(\frac{a^{0,5} + 2}{a + 2a^{0,5} + 1} - \frac{a^{0,5} - 2}{a - 1}\right) : \frac{a^{0,5}}{a^{0,5} + 1} = \frac{2}{a - 1};$

2) $\frac{(a - b)^2}{a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}}} + \frac{a^2 - b^2}{(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b)} = 2a^{\frac{1}{2}} - 2b^{\frac{1}{2}}.$

Докажем тождество, преобразовав его левую часть. Сначала выполним вычитание в скобках.

Упростим знаменатели дробей. Знаменатель первой дроби $a + 2a^{0.5} + 1$ является полным квадратом суммы:

$a + 2a^{0.5} + 1 = (a^{0.5})^2 + 2 \cdot a^{0.5} \cdot 1 + 1^2 = (a^{0.5} + 1)^2$

Знаменатель второй дроби $a - 1$ разложим по формуле разности квадратов:

$a - 1 = (a^{0.5})^2 - 1^2 = (a^{0.5} - 1)(a^{0.5} + 1)$

Теперь выражение в скобках имеет вид:

$\frac{a^{0.5} + 2}{(a^{0.5} + 1)^2} - \frac{a^{0.5} - 2}{(a^{0.5} - 1)(a^{0.5} + 1)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(a^{0.5} + 1)^2(a^{0.5} - 1)$:

$\frac{(a^{0.5} + 2)(a^{0.5} - 1) - (a^{0.5} - 2)(a^{0.5} + 1)}{(a^{0.5} + 1)^2(a^{0.5} - 1)}$

Раскроем скобки в числителе:

$(a^{0.5} + 2)(a^{0.5} - 1) = (a^{0.5})^2 - a^{0.5} + 2a^{0.5} - 2 = a + a^{0.5} - 2$

$(a^{0.5} - 2)(a^{0.5} + 1) = (a^{0.5})^2 + a^{0.5} - 2a^{0.5} - 2 = a - a^{0.5} - 2$

Выполним вычитание в числителе:

$(a + a^{0.5} - 2) - (a - a^{0.5} - 2) = a + a^{0.5} - 2 - a + a^{0.5} + 2 = 2a^{0.5}$

Таким образом, выражение в скобках равно:

$\frac{2a^{0.5}}{(a^{0.5} + 1)^2(a^{0.5} - 1)}$

Теперь выполним деление. Разделить на дробь — это то же самое, что умножить на обратную ей дробь:

$\frac{2a^{0.5}}{(a^{0.5} + 1)^2(a^{0.5} - 1)} : \frac{a^{0.5}}{a^{0.5} + 1} = \frac{2a^{0.5}}{(a^{0.5} + 1)^2(a^{0.5} - 1)} \cdot \frac{a^{0.5} + 1}{a^{0.5}}$

Сократим общие множители $a^{0.5}$ и $(a^{0.5} + 1)$:

$\frac{2\cancel{a^{0.5}}}{(a^{0.5} + 1)^{\cancel{2}}(a^{0.5} - 1)} \cdot \frac{\cancel{a^{0.5} + 1}}{\cancel{a^{0.5}}} = \frac{2}{(a^{0.5} + 1)(a^{0.5} - 1)}$

Применим формулу разности квадратов к знаменателю: $(a^{0.5} + 1)(a^{0.5} - 1) = (a^{0.5})^2 - 1^2 = a - 1$.

В результате преобразования левой части получили $\frac{2}{a - 1}$.

Сравнивая левую и правую части исходного выражения, получаем $\frac{2}{a - 1} = \frac{2}{a - 1}$.

Ответ: Тождество доказано.

Преобразуем левую часть тождества, упростив каждое слагаемое по отдельности.

Рассмотрим первое слагаемое: $\frac{(a - b)^2}{a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}}}$.

Разложим на множители числитель, используя формулу разности квадратов: $a - b = (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})$, тогда $(a-b)^2 = (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})^2(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})^2$.

Знаменатель разложим по формуле разности кубов: $a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}} = (a^{\frac{1}{2}})^3 - (b^{\frac{1}{2}})^3 = (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b)$.

После сокращения на $(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})$ первое слагаемое примет вид:

$\frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})^2}{a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b}$

Рассмотрим второе слагаемое: $\frac{a^2 - b^2}{(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b)}$.

Разложим числитель на множители: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) = (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})(a+b)$.

После сокращения на $(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})$ второе слагаемое примет вид:

$\frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a+b)}{a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b}$

Теперь сложим упрощенные слагаемые. У них общий знаменатель $a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b$.

$\frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})^2}{a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b} + \frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a+b)}{a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b} = \frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})[(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})^2 + (a+b)]}{a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b}$

Упростим выражение в квадратных скобках в числителе:

$(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})^2 + (a+b) = (a + 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b) + (a+b) = 2a + 2b + 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} = 2(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b)$

Подставим полученное выражение обратно в дробь:

$\frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}) \cdot 2(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b)}{a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b}$

Сократим общий множитель $(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b)$ и получим:

$2(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}) = 2a^{\frac{1}{2}} - 2b^{\frac{1}{2}}$

Левая часть тождества равна правой.

Ответ: Тождество доказано.

10.28. Докажите тождество:

1) $ \left(\frac{m^2 + n^2}{m^{\frac{3}{2}} + mn^{\frac{1}{2}}} - \frac{m+n}{m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}}}\right) \cdot \frac{m}{n} = n^2 - m^2; $

2) $ \left(\frac{a^{-\frac{1}{3}}b^{-\frac{1}{3}}}{a^{-1} - b^{-1}} - \frac{1}{a^{-\frac{1}{3}} - b^{-\frac{1}{3}}}\right) : \frac{a^{-\frac{2}{3}} + b^{-\frac{2}{3}}}{a^{-\frac{2}{3}} + a^{-\frac{1}{3}}b^{-\frac{1}{3}} + b^{-\frac{2}{3}}} = \frac{a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}}. $

1) Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть. Сначала упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю.
Знаменатель первой дроби: $m^{\frac{3}{2}} + mn^{\frac{1}{2}} = m \cdot m^{\frac{1}{2}} + m \cdot n^{\frac{1}{2}} = m(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}})$.
Общий знаменатель для выражения в скобках — $m(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}})$.
$(\frac{m^2 + n^2}{m(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}})} - \frac{m+n}{m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}}}) = \frac{m^2 + n^2 - m(m+n)}{m(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}})}$
Упростим числитель: $m^2 + n^2 - m^2 - mn = n^2 - mn = n(n-m)$.
Выражение в скобках равно: $\frac{n(n - m)}{m(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}})}$.
Теперь умножим результат на $\frac{m}{n}$: $\frac{n(n - m)}{m(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}})} \cdot \frac{m}{n} = \frac{n-m}{m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}}}$.
Используем формулу разности квадратов для числителя $n-m = (n^{\frac{1}{2}})^2 - (m^{\frac{1}{2}})^2 = (n^{\frac{1}{2}} - m^{\frac{1}{2}})(n^{\frac{1}{2}} + m^{\frac{1}{2}})$.
$\frac{(n^{\frac{1}{2}} - m^{\frac{1}{2}})(n^{\frac{1}{2}} + m^{\frac{1}{2}})}{m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}}} = n^{\frac{1}{2}} - m^{\frac{1}{2}}$.
Левая часть тождества после преобразований равна правой части. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

2) Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть. Для удобства введем замену: пусть $x = a^{-\frac{1}{3}}$ и $y = b^{-\frac{1}{3}}$.
Тогда $a^{-1} = x^3$, $b^{-1} = y^3$, $a^{-\frac{2}{3}} = x^2$, $b^{-\frac{2}{3}} = y^2$.
Левая часть тождества примет вид: $(\frac{xy}{x^3-y^3} - \frac{1}{x-y}) : \frac{x^2+y^2}{x^2+xy+y^2}$.
Упростим выражение в скобках. Используем формулу разности кубов $x^3-y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$. Приведем дроби к общему знаменателю $x^3-y^3$:
$\frac{xy - 1 \cdot (x^2+xy+y^2)}{x^3-y^3} = \frac{xy-x^2-xy-y^2}{x^3-y^3} = \frac{-x^2-y^2}{x^3-y^3} = -\frac{x^2+y^2}{x^3-y^3}$.
Теперь выполним деление: $(-\frac{x^2+y^2}{x^3-y^3}) : (\frac{x^2+y^2}{x^2+xy+y^2}) = -\frac{x^2+y^2}{x^3-y^3} \cdot \frac{x^2+xy+y^2}{x^2+y^2}$.
Сократим на $(x^2+y^2)$: $-\frac{x^2+xy+y^2}{x^3-y^3} = -\frac{x^2+xy+y^2}{(x-y)(x^2+xy+y^2)}$.
Сократим на $(x^2+xy+y^2)$: $-\frac{1}{x-y} = \frac{1}{y-x}$.
Выполним обратную замену $x = a^{-\frac{1}{3}}$, $y = b^{-\frac{1}{3}}$: $\frac{1}{b^{-\frac{1}{3}} - a^{-\frac{1}{3}}} = \frac{1}{\frac{1}{b^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{a^{\frac{1}{3}}}}$.
Преобразуем знаменатель: $\frac{1}{\frac{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}}} = \frac{a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}}$.
Левая часть тождества после преобразований равна правой части. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

10.29. Решите уравнение:

1) $\sqrt{3x - 2} = 0$;

2) $\sqrt{3x - 7} = 0$;

3) $\sqrt{4x - 1} = 6$;

4) $\frac{56}{\sqrt{x}} = 8$;

5) $\frac{22}{\sqrt{x + 3}} = 11$;

6) $\sqrt{x^2 - 64} = 6$;

7) $\sqrt{1 + \sqrt{3 + x}} = 4$;

8) $\sqrt{x} + \sqrt{x - 2} = 0$;

9) $(x - 2)\sqrt{x + 2} = 0$.

1) $\sqrt{3x} - 2 = 0$
Найдем область допустимых значений (ОДЗ): выражение под корнем должно быть неотрицательным, то есть $3x \ge 0$, откуда следует $x \ge 0$.
Перенесем $-2$ в правую часть уравнения: $\sqrt{3x} = 2$.
Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от иррациональности: $(\sqrt{3x})^2 = 2^2$.
Получаем $3x = 4$.
Отсюда $x = \frac{4}{3}$.
Проверим, принадлежит ли корень ОДЗ: $\frac{4}{3} \ge 0$. Условие выполняется.
Ответ: $\frac{4}{3}$.

2) $\sqrt{3x} - 7 = 0$
ОДЗ: $3x \ge 0 \Rightarrow x \ge 0$.
Изолируем корень: $\sqrt{3x} = 7$.
Возводим обе части в квадрат: $(\sqrt{3x})^2 = 7^2$.
$3x = 49$.
$x = \frac{49}{3}$.
Корень $x = \frac{49}{3}$ удовлетворяет ОДЗ, так как $\frac{49}{3} \ge 0$.
Ответ: $\frac{49}{3}$.

3) $\sqrt{4x - 1} = 6$
ОДЗ: $4x - 1 \ge 0 \Rightarrow 4x \ge 1 \Rightarrow x \ge \frac{1}{4}$.
Возводим обе части уравнения в квадрат: $(\sqrt{4x-1})^2 = 6^2$.
$4x - 1 = 36$.
$4x = 37$.
$x = \frac{37}{4}$.
Проверяем ОДЗ: $\frac{37}{4} = 9.25$, что больше, чем $\frac{1}{4} = 0.25$. Корень подходит.
Ответ: $\frac{37}{4}$.

4) $\frac{56}{\sqrt{x}} = 8$
ОДЗ: так как корень находится в знаменателе, подкоренное выражение должно быть строго положительным: $x > 0$.
Выразим $\sqrt{x}$ из уравнения: $\sqrt{x} = \frac{56}{8}$.
$\sqrt{x} = 7$.
Возведем обе части в квадрат: $(\sqrt{x})^2 = 7^2$.
$x = 49$.
Корень $x = 49$ удовлетворяет ОДЗ ($49 > 0$).
Ответ: 49.

5) $\frac{22}{\sqrt{x + 3}} = 11$
ОДЗ: $x + 3 > 0 \Rightarrow x > -3$.
Выразим $\sqrt{x+3}$: $\sqrt{x+3} = \frac{22}{11}$.
$\sqrt{x+3} = 2$.
Возведем обе части в квадрат: $(\sqrt{x+3})^2 = 2^2$.
$x + 3 = 4$.
$x = 1$.
Корень $x = 1$ удовлетворяет ОДЗ ($1 > -3$).
Ответ: 1.

6) $\sqrt{x^2 - 64} = 6$
ОДЗ: $x^2 - 64 \ge 0 \Rightarrow x^2 \ge 64$. Это неравенство выполняется при $x \le -8$ или $x \ge 8$. Таким образом, $x \in (-\infty; -8] \cup [8; \infty)$.
Возводим обе части в квадрат: $(\sqrt{x^2 - 64})^2 = 6^2$.
$x^2 - 64 = 36$.
$x^2 = 100$.
$x_1 = 10, x_2 = -10$.
Проверяем оба корня на соответствие ОДЗ. $10 \in [8; \infty)$ и $-10 \in (-\infty; -8]$. Оба корня подходят.
Ответ: -10; 10.

7) $\sqrt{1 + \sqrt{3 + x}} = 4$
ОДЗ: Сначала определим ОДЗ для внутреннего корня: $3 + x \ge 0 \Rightarrow x \ge -3$. Выражение под внешним корнем $1 + \sqrt{3 + x}$ всегда будет положительным, так как $\sqrt{3 + x} \ge 0$. Значит, ОДЗ: $x \ge -3$.
Возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от внешнего корня: $(\sqrt{1 + \sqrt{3 + x}})^2 = 4^2$.
$1 + \sqrt{3 + x} = 16$.
$\sqrt{3 + x} = 15$.
Снова возведем обе части в квадрат: $(\sqrt{3 + x})^2 = 15^2$.
$3 + x = 225$.
$x = 222$.
Корень $x = 222$ удовлетворяет ОДЗ ($222 \ge -3$).
Ответ: 222.

8) $\sqrt{x} + \sqrt{x - 2} = 0$
ОДЗ: Должны выполняться два условия одновременно: $x \ge 0$ и $x - 2 \ge 0$. Из второго условия следует $x \ge 2$. Объединяя оба условия, получаем ОДЗ: $x \ge 2$.
В левой части уравнения стоит сумма двух неотрицательных слагаемых ($\sqrt{x} \ge 0$ и $\sqrt{x-2} \ge 0$). Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда оба числа равны нулю.
$\sqrt{x} = 0 \Rightarrow x = 0$.
$\sqrt{x - 2} = 0 \Rightarrow x = 2$.
Система $\begin{cases} x = 0 \\ x = 2 \end{cases}$ не имеет решений, так как переменная $x$ не может одновременно принимать два разных значения. Следовательно, исходное уравнение не имеет корней.
Ответ: нет корней.

9) $(x - 2)\sqrt{x + 2} = 0$
ОДЗ: $x + 2 \ge 0 \Rightarrow x \ge -2$.
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а второй при этом существует (определен).
Рассмотрим два случая:
1) $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($2 \ge -2$).
2) $\sqrt{x + 2} = 0 \Rightarrow x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$. Этот корень также удовлетворяет ОДЗ ($-2 \ge -2$).
Таким образом, уравнение имеет два корня.
Ответ: -2; 2.