Номер 10.26, страница 89 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

10.26. Упростите выражение:

1) $ \frac{m - n}{m^{\frac{1}{3}} - n^{\frac{1}{3}}} - \frac{m + n}{m^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{1}{3}}}$;

2) $ \left(1 - a^{\frac{1}{36}}\right)\left(1 + a^{\frac{1}{36}} + a^{\frac{1}{18}}\right) + \frac{4 - a^{\frac{1}{6}}}{2 - a^{\frac{1}{12}}}$;

3) $ \left(a^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{4}}\right) : \left\{\frac{b^{\frac{5}{4}}}{a} - \frac{b}{a^{\frac{3}{4}}}\right\}$;

4) $ \frac{m^{\frac{5}{2}} - m^{\frac{3}{2}}}{m^{\frac{5}{3}} - m^{\frac{2}{3}}} - \frac{m^{\frac{1}{2}} + m}{m^{\frac{2}{3}} + m^{\frac{3}{2}}}$.

1) Исходное выражение: $\frac{m-n}{m^{\frac{1}{3}}-n^{\frac{1}{3}}} - \frac{m+n}{m^{\frac{1}{3}}+n^{\frac{1}{3}}}$

Для упрощения воспользуемся формулами разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ и суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$.

Рассмотрим числители дробей как разность и сумму кубов. Представим $m = (m^{\frac{1}{3}})^3$ и $n = (n^{\frac{1}{3}})^3$.

Тогда первая дробь преобразуется следующим образом:
$\frac{m-n}{m^{\frac{1}{3}}-n^{\frac{1}{3}}} = \frac{(m^{\frac{1}{3}})^3 - (n^{\frac{1}{3}})^3}{m^{\frac{1}{3}}-n^{\frac{1}{3}}} = \frac{(m^{\frac{1}{3}}-n^{\frac{1}{3}})((m^{\frac{1}{3}})^2 + m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} + (n^{\frac{1}{3}})^2)}{m^{\frac{1}{3}}-n^{\frac{1}{3}}} = m^{\frac{2}{3}} + m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{2}{3}}$

Вторая дробь преобразуется аналогично, используя формулу суммы кубов:
$\frac{m+n}{m^{\frac{1}{3}}+n^{\frac{1}{3}}} = \frac{(m^{\frac{1}{3}})^3 + (n^{\frac{1}{3}})^3}{m^{\frac{1}{3}}+n^{\frac{1}{3}}} = \frac{(m^{\frac{1}{3}}+n^{\frac{1}{3}})((m^{\frac{1}{3}})^2 - m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} + (n^{\frac{1}{3}})^2)}{m^{\frac{1}{3}}+n^{\frac{1}{3}}} = m^{\frac{2}{3}} - m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{2}{3}}$

Теперь вычтем второе выражение из первого:
$(m^{\frac{2}{3}} + m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{2}{3}}) - (m^{\frac{2}{3}} - m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{2}{3}}) = m^{\frac{2}{3}} + m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{2}{3}} - m^{\frac{2}{3}} + m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} - n^{\frac{2}{3}} = 2m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} = 2(mn)^{\frac{1}{3}}$

Ответ: $2(mn)^{\frac{1}{3}}$

2) Исходное выражение: $(1-a^{\frac{1}{36}})(1+a^{\frac{1}{36}}+a^{\frac{1}{18}}) + \frac{4-a^{\frac{1}{6}}}{2-a^{\frac{1}{12}}}$

Упростим выражение по частям.

Первая часть: $(1-a^{\frac{1}{36}})(1+a^{\frac{1}{36}}+a^{\frac{1}{18}})$. Заметим, что $a^{\frac{1}{18}} = (a^{\frac{1}{36}})^2$. Это выражение является формулой разности кубов $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$, где $x=1$ и $y=a^{\frac{1}{36}}$.
$(1-a^{\frac{1}{36}})(1^2 + 1 \cdot a^{\frac{1}{36}} + (a^{\frac{1}{36}})^2) = 1^3 - (a^{\frac{1}{36}})^3 = 1 - a^{\frac{3}{36}} = 1 - a^{\frac{1}{12}}$

Вторая часть: $\frac{4-a^{\frac{1}{6}}}{2-a^{\frac{1}{12}}}$. Заметим, что $a^{\frac{1}{6}} = (a^{\frac{1}{12}})^2$. Числитель является разностью квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$, где $x=2$ и $y=a^{\frac{1}{12}}$.
$\frac{2^2 - (a^{\frac{1}{12}})^2}{2-a^{\frac{1}{12}}} = \frac{(2-a^{\frac{1}{12}})(2+a^{\frac{1}{12}})}{2-a^{\frac{1}{12}}} = 2+a^{\frac{1}{12}}$

Теперь сложим результаты обеих частей:
$(1 - a^{\frac{1}{12}}) + (2+a^{\frac{1}{12}}) = 1 - a^{\frac{1}{12}} + 2 + a^{\frac{1}{12}} = 3$

Ответ: $3$

3) Исходное выражение: $(a^{\frac{1}{4}}-b^{\frac{1}{4}}) : \left(\frac{b^{\frac{5}{4}}}{a} - \frac{b}{a^{\frac{3}{4}}}\right)$

Сначала упростим выражение в скобках (делитель). Приведем дроби к общему знаменателю $a$.
$\frac{b^{\frac{5}{4}}}{a} - \frac{b}{a^{\frac{3}{4}}} = \frac{b^{\frac{5}{4}}}{a} - \frac{b \cdot a^{\frac{1}{4}}}{a^{\frac{3}{4}} \cdot a^{\frac{1}{4}}} = \frac{b^{\frac{5}{4}} - b \cdot a^{\frac{1}{4}}}{a}$

Вынесем в числителе общий множитель $b$.
$\frac{b(b^{\frac{1}{4}} - a^{\frac{1}{4}})}{a}$

Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь.
$(a^{\frac{1}{4}}-b^{\frac{1}{4}}) : \frac{b(b^{\frac{1}{4}} - a^{\frac{1}{4}})}{a} = (a^{\frac{1}{4}}-b^{\frac{1}{4}}) \cdot \frac{a}{b(b^{\frac{1}{4}} - a^{\frac{1}{4}})}$

Заметим, что $(a^{\frac{1}{4}}-b^{\frac{1}{4}}) = -(b^{\frac{1}{4}} - a^{\frac{1}{4}})$. Подставим это в выражение:
$\frac{-(b^{\frac{1}{4}} - a^{\frac{1}{4}}) \cdot a}{b(b^{\frac{1}{4}} - a^{\frac{1}{4}})}$

Сократим одинаковые множители $(b^{\frac{1}{4}} - a^{\frac{1}{4}})$ в числителе и знаменателе.
$\frac{-a}{b} = -\frac{a}{b}$

Ответ: $-\frac{a}{b}$

4) Исходное выражение: $\frac{m^{\frac{5}{2}}-m^{\frac{3}{2}}}{m^3 - m^{\frac{5}{2}}} - \frac{m^{\frac{1}{2}}+m}{m^2+m^{\frac{3}{2}}}$

Упростим каждую дробь по отдельности.

Первая дробь: $\frac{m^{\frac{5}{2}}-m^{\frac{3}{2}}}{m^3 - m^{\frac{5}{2}}}$. Вынесем за скобки общие множители в числителе и знаменателе.
$\frac{m^{\frac{3}{2}}(m-1)}{m^{\frac{5}{2}}(m^{\frac{1}{2}}-1)}$
Разложим $m-1$ по формуле разности квадратов: $m-1 = (m^{\frac{1}{2}})^2 - 1^2 = (m^{\frac{1}{2}}-1)(m^{\frac{1}{2}}+1)$.
$\frac{m^{\frac{3}{2}}(m^{\frac{1}{2}}-1)(m^{\frac{1}{2}}+1)}{m^{\frac{5}{2}}(m^{\frac{1}{2}}-1)} = \frac{m^{\frac{3}{2}}(m^{\frac{1}{2}}+1)}{m^{\frac{5}{2}}}$
Сократим степени $m$: $m^{\frac{3}{2} - \frac{5}{2}} = m^{-1} = \frac{1}{m}$.
Получаем: $\frac{m^{\frac{1}{2}}+1}{m}$

Вторая дробь: $\frac{m^{\frac{1}{2}}+m}{m^2+m^{\frac{3}{2}}}$. Вынесем за скобки общие множители.
$\frac{m^{\frac{1}{2}}(1+m^{\frac{1}{2}})}{m^{\frac{3}{2}}(m^{\frac{1}{2}}+1)}$
Сократим одинаковые множители $(1+m^{\frac{1}{2}})$.
$\frac{m^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{3}{2}}} = m^{\frac{1}{2}-\frac{3}{2}} = m^{-1} = \frac{1}{m}$

Теперь выполним вычитание упрощенных дробей:
$\frac{m^{\frac{1}{2}}+1}{m} - \frac{1}{m} = \frac{m^{\frac{1}{2}}+1-1}{m} = \frac{m^{\frac{1}{2}}}{m}$

Упростим полученное выражение: $\frac{m^{\frac{1}{2}}}{m^1} = m^{\frac{1}{2}-1} = m^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{m^{\frac{1}{2}}}$

Ответ: $\frac{1}{m^{\frac{1}{2}}}$