Номер 10.27, страница 89 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

10.27. Докажите тождество:

1) $\left(\frac{a^{0,5} + 2}{a + 2a^{0,5} + 1} - \frac{a^{0,5} - 2}{a - 1}\right) : \frac{a^{0,5}}{a^{0,5} + 1} = \frac{2}{a - 1};$

2) $\frac{(a - b)^2}{a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}}} + \frac{a^2 - b^2}{(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b)} = 2a^{\frac{1}{2}} - 2b^{\frac{1}{2}}.$

Докажем тождество, преобразовав его левую часть. Сначала выполним вычитание в скобках.

Упростим знаменатели дробей. Знаменатель первой дроби $a + 2a^{0.5} + 1$ является полным квадратом суммы:

$a + 2a^{0.5} + 1 = (a^{0.5})^2 + 2 \cdot a^{0.5} \cdot 1 + 1^2 = (a^{0.5} + 1)^2$

Знаменатель второй дроби $a - 1$ разложим по формуле разности квадратов:

$a - 1 = (a^{0.5})^2 - 1^2 = (a^{0.5} - 1)(a^{0.5} + 1)$

Теперь выражение в скобках имеет вид:

$\frac{a^{0.5} + 2}{(a^{0.5} + 1)^2} - \frac{a^{0.5} - 2}{(a^{0.5} - 1)(a^{0.5} + 1)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(a^{0.5} + 1)^2(a^{0.5} - 1)$:

$\frac{(a^{0.5} + 2)(a^{0.5} - 1) - (a^{0.5} - 2)(a^{0.5} + 1)}{(a^{0.5} + 1)^2(a^{0.5} - 1)}$

Раскроем скобки в числителе:

$(a^{0.5} + 2)(a^{0.5} - 1) = (a^{0.5})^2 - a^{0.5} + 2a^{0.5} - 2 = a + a^{0.5} - 2$

$(a^{0.5} - 2)(a^{0.5} + 1) = (a^{0.5})^2 + a^{0.5} - 2a^{0.5} - 2 = a - a^{0.5} - 2$

Выполним вычитание в числителе:

$(a + a^{0.5} - 2) - (a - a^{0.5} - 2) = a + a^{0.5} - 2 - a + a^{0.5} + 2 = 2a^{0.5}$

Таким образом, выражение в скобках равно:

$\frac{2a^{0.5}}{(a^{0.5} + 1)^2(a^{0.5} - 1)}$

Теперь выполним деление. Разделить на дробь — это то же самое, что умножить на обратную ей дробь:

$\frac{2a^{0.5}}{(a^{0.5} + 1)^2(a^{0.5} - 1)} : \frac{a^{0.5}}{a^{0.5} + 1} = \frac{2a^{0.5}}{(a^{0.5} + 1)^2(a^{0.5} - 1)} \cdot \frac{a^{0.5} + 1}{a^{0.5}}$

Сократим общие множители $a^{0.5}$ и $(a^{0.5} + 1)$:

$\frac{2\cancel{a^{0.5}}}{(a^{0.5} + 1)^{\cancel{2}}(a^{0.5} - 1)} \cdot \frac{\cancel{a^{0.5} + 1}}{\cancel{a^{0.5}}} = \frac{2}{(a^{0.5} + 1)(a^{0.5} - 1)}$

Применим формулу разности квадратов к знаменателю: $(a^{0.5} + 1)(a^{0.5} - 1) = (a^{0.5})^2 - 1^2 = a - 1$.

В результате преобразования левой части получили $\frac{2}{a - 1}$.

Сравнивая левую и правую части исходного выражения, получаем $\frac{2}{a - 1} = \frac{2}{a - 1}$.

Ответ: Тождество доказано.

Преобразуем левую часть тождества, упростив каждое слагаемое по отдельности.

Рассмотрим первое слагаемое: $\frac{(a - b)^2}{a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}}}$.

Разложим на множители числитель, используя формулу разности квадратов: $a - b = (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})$, тогда $(a-b)^2 = (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})^2(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})^2$.

Знаменатель разложим по формуле разности кубов: $a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}} = (a^{\frac{1}{2}})^3 - (b^{\frac{1}{2}})^3 = (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b)$.

После сокращения на $(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})$ первое слагаемое примет вид:

$\frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})^2}{a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b}$

Рассмотрим второе слагаемое: $\frac{a^2 - b^2}{(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b)}$.

Разложим числитель на множители: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) = (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})(a+b)$.

После сокращения на $(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})$ второе слагаемое примет вид:

$\frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a+b)}{a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b}$

Теперь сложим упрощенные слагаемые. У них общий знаменатель $a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b$.

$\frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})^2}{a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b} + \frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a+b)}{a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b} = \frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})[(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})^2 + (a+b)]}{a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b}$

Упростим выражение в квадратных скобках в числителе:

$(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})^2 + (a+b) = (a + 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b) + (a+b) = 2a + 2b + 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} = 2(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b)$

Подставим полученное выражение обратно в дробь:

$\frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}) \cdot 2(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b)}{a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b}$

Сократим общий множитель $(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b)$ и получим:

$2(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}) = 2a^{\frac{1}{2}} - 2b^{\frac{1}{2}}$

Левая часть тождества равна правой.

Ответ: Тождество доказано.