Номер 11.1, страница 93 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.1. Объясните, почему не имеет корней уравнение:

1) $\sqrt{x-2}+1=0;$

2) $\sqrt[6]{x}+\sqrt[8]{x-1}=-2;$

3) $\sqrt{x-4}+\sqrt{1-x}=5;$

4) $\sqrt[4]{x-6}+\sqrt{6-x}=1.$

1) Рассматриваем уравнение $\sqrt{x-2} + 1 = 0$.

Перенесем 1 в правую часть уравнения: $\sqrt{x-2} = -1$.

По определению, арифметический квадратный корень из любого неотрицательного числа является неотрицательным числом, то есть $\sqrt{a} \ge 0$ для любого $a \ge 0$.

В левой части уравнения стоит $\sqrt{x-2}$, значение которого не может быть отрицательным. В правой части стоит отрицательное число -1. Так как неотрицательное число не может быть равно отрицательному, уравнение не имеет решений.

Ответ: Уравнение не имеет корней, так как значение арифметического квадратного корня не может быть отрицательным.

2) Рассматриваем уравнение $\sqrt[6]{x} + \sqrt[8]{x-1} = -2$.

В левой части уравнения находятся два корня четной степени (6-й и 8-й). Арифметический корень четной степени из неотрицательного числа всегда является неотрицательным числом. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется системой неравенств: $\begin{cases} x \ge 0 \\ x-1 \ge 0 \end{cases}$, что равносильно $x \ge 1$.

Для любого $x$ из ОДЗ ($x \ge 1$) выполняются неравенства $\sqrt[6]{x} \ge 0$ и $\sqrt[8]{x-1} \ge 0$.

Сумма двух неотрицательных чисел также является неотрицательным числом. Следовательно, левая часть уравнения $\sqrt[6]{x} + \sqrt[8]{x-1}$ всегда больше или равна нулю.

Правая часть уравнения равна -2, то есть отрицательна. Неотрицательное число не может быть равно отрицательному, поэтому уравнение не имеет корней.

Ответ: Уравнение не имеет корней, так как сумма двух неотрицательных слагаемых в левой части не может быть равна отрицательному числу в правой части.

3) Рассматриваем уравнение $\sqrt{x-4} + \sqrt{1-x} = 5$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) этого уравнения. Выражения под знаками квадратных корней должны быть неотрицательными. Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} x - 4 \ge 0 \\ 1 - x \ge 0 \end{cases}$

Решая эту систему, получаем:

$\begin{cases} x \ge 4 \\ x \le 1 \end{cases}$

Не существует такого числа $x$, которое было бы одновременно больше или равно 4 и меньше или равно 1. Следовательно, пересечение этих множеств пусто. Область допустимых значений уравнения является пустым множеством.

Ответ: Уравнение не имеет корней, так как его область допустимых значений пуста.

4) Рассматриваем уравнение $\sqrt[4]{x-6} + \sqrt{6-x} = 1$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) этого уравнения. Выражения под знаками корней (четвертой и второй степени) должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} x - 6 \ge 0 \\ 6 - x \ge 0 \end{cases}$

Решая эту систему, получаем:

$\begin{cases} x \ge 6 \\ x \le 6 \end{cases}$

Единственное число, которое удовлетворяет обоим неравенствам, это $x=6$. Таким образом, ОДЗ уравнения состоит из одного единственного значения.

Проверим, является ли $x=6$ корнем уравнения. Подставим это значение в исходное уравнение:

$\sqrt[4]{6-6} + \sqrt{6-6} = \sqrt[4]{0} + \sqrt{0} = 0 + 0 = 0$.

В результате подстановки левая часть уравнения обратилась в 0, а правая часть равна 1. Мы получили неверное равенство $0 = 1$.

Ответ: Уравнение не имеет корней, так как единственное допустимое значение $x=6$ не является его решением.