Номер 10.28, страница 89 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

10.28. Докажите тождество:

1) $ \left(\frac{m^2 + n^2}{m^{\frac{3}{2}} + mn^{\frac{1}{2}}} - \frac{m+n}{m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}}}\right) \cdot \frac{m}{n} = n^2 - m^2; $

2) $ \left(\frac{a^{-\frac{1}{3}}b^{-\frac{1}{3}}}{a^{-1} - b^{-1}} - \frac{1}{a^{-\frac{1}{3}} - b^{-\frac{1}{3}}}\right) : \frac{a^{-\frac{2}{3}} + b^{-\frac{2}{3}}}{a^{-\frac{2}{3}} + a^{-\frac{1}{3}}b^{-\frac{1}{3}} + b^{-\frac{2}{3}}} = \frac{a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}}. $

1) Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть. Сначала упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю.
Знаменатель первой дроби: $m^{\frac{3}{2}} + mn^{\frac{1}{2}} = m \cdot m^{\frac{1}{2}} + m \cdot n^{\frac{1}{2}} = m(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}})$.
Общий знаменатель для выражения в скобках — $m(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}})$.
$(\frac{m^2 + n^2}{m(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}})} - \frac{m+n}{m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}}}) = \frac{m^2 + n^2 - m(m+n)}{m(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}})}$
Упростим числитель: $m^2 + n^2 - m^2 - mn = n^2 - mn = n(n-m)$.
Выражение в скобках равно: $\frac{n(n - m)}{m(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}})}$.
Теперь умножим результат на $\frac{m}{n}$: $\frac{n(n - m)}{m(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}})} \cdot \frac{m}{n} = \frac{n-m}{m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}}}$.
Используем формулу разности квадратов для числителя $n-m = (n^{\frac{1}{2}})^2 - (m^{\frac{1}{2}})^2 = (n^{\frac{1}{2}} - m^{\frac{1}{2}})(n^{\frac{1}{2}} + m^{\frac{1}{2}})$.
$\frac{(n^{\frac{1}{2}} - m^{\frac{1}{2}})(n^{\frac{1}{2}} + m^{\frac{1}{2}})}{m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}}} = n^{\frac{1}{2}} - m^{\frac{1}{2}}$.
Левая часть тождества после преобразований равна правой части. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

2) Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть. Для удобства введем замену: пусть $x = a^{-\frac{1}{3}}$ и $y = b^{-\frac{1}{3}}$.
Тогда $a^{-1} = x^3$, $b^{-1} = y^3$, $a^{-\frac{2}{3}} = x^2$, $b^{-\frac{2}{3}} = y^2$.
Левая часть тождества примет вид: $(\frac{xy}{x^3-y^3} - \frac{1}{x-y}) : \frac{x^2+y^2}{x^2+xy+y^2}$.
Упростим выражение в скобках. Используем формулу разности кубов $x^3-y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$. Приведем дроби к общему знаменателю $x^3-y^3$:
$\frac{xy - 1 \cdot (x^2+xy+y^2)}{x^3-y^3} = \frac{xy-x^2-xy-y^2}{x^3-y^3} = \frac{-x^2-y^2}{x^3-y^3} = -\frac{x^2+y^2}{x^3-y^3}$.
Теперь выполним деление: $(-\frac{x^2+y^2}{x^3-y^3}) : (\frac{x^2+y^2}{x^2+xy+y^2}) = -\frac{x^2+y^2}{x^3-y^3} \cdot \frac{x^2+xy+y^2}{x^2+y^2}$.
Сократим на $(x^2+y^2)$: $-\frac{x^2+xy+y^2}{x^3-y^3} = -\frac{x^2+xy+y^2}{(x-y)(x^2+xy+y^2)}$.
Сократим на $(x^2+xy+y^2)$: $-\frac{1}{x-y} = \frac{1}{y-x}$.
Выполним обратную замену $x = a^{-\frac{1}{3}}$, $y = b^{-\frac{1}{3}}$: $\frac{1}{b^{-\frac{1}{3}} - a^{-\frac{1}{3}}} = \frac{1}{\frac{1}{b^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{a^{\frac{1}{3}}}}$.
Преобразуем знаменатель: $\frac{1}{\frac{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}}} = \frac{a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}}$.
Левая часть тождества после преобразований равна правой части. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.