Номер 10.25, страница 89 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

10.25. Упростите выражение:

1) $ \frac{a-b}{a^{0.5}-b^{0.5}} - \frac{a^{1.5}-b^{1.5}}{a-b}; $

2) $ \frac{a^{0.5}-b^{0.5}}{a^{0.5}+b^{0.5}} + \frac{a^{0.5}+b^{0.5}}{a^{0.5}-b^{0.5}}; $

3) $ \frac{a^{\frac{1}{2}}+2a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{7}{6}}b^{\frac{5}{6}}-a^{\frac{5}{6}}b^{\frac{7}{6}}} \cdot \frac{a-a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{2}}}; $

4) $ \frac{a^{\frac{3}{2}}+b^{\frac{3}{2}}}{(a^2-ab)^{\frac{2}{3}}} : \frac{a^{-\frac{2}{3}}(a-b)^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{3}{2}}-b^{\frac{3}{2}}}. $

1) Исходное выражение: $ \frac{a-b}{a^{0.5}-b^{0.5}} - \frac{a^{1.5}-b^{1.5}}{a-b} $
Упростим каждую дробь по отдельности. Для этого воспользуемся формулой разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$ и формулой разности кубов $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$.
Представим $a = (a^{0.5})^2$, $b = (b^{0.5})^2$, $a^{1.5} = (a^{0.5})^3$ и $b^{1.5} = (b^{0.5})^3$.
Первая дробь: $ \frac{a-b}{a^{0.5}-b^{0.5}} = \frac{(a^{0.5})^2-(b^{0.5})^2}{a^{0.5}-b^{0.5}} = \frac{(a^{0.5}-b^{0.5})(a^{0.5}+b^{0.5})}{a^{0.5}-b^{0.5}} = a^{0.5}+b^{0.5} $.
Вторая дробь: $ \frac{a^{1.5}-b^{1.5}}{a-b} = \frac{(a^{0.5})^3-(b^{0.5})^3}{(a^{0.5})^2-(b^{0.5})^2} = \frac{(a^{0.5}-b^{0.5})(a+a^{0.5}b^{0.5}+b)}{(a^{0.5}-b^{0.5})(a^{0.5}+b^{0.5})} = \frac{a+a^{0.5}b^{0.5}+b}{a^{0.5}+b^{0.5}} $.
Теперь подставим упрощенные дроби в исходное выражение:
$ (a^{0.5}+b^{0.5}) - \frac{a+a^{0.5}b^{0.5}+b}{a^{0.5}+b^{0.5}} $
Приведем к общему знаменателю $a^{0.5}+b^{0.5}$:
$ \frac{(a^{0.5}+b^{0.5})^2 - (a+a^{0.5}b^{0.5}+b)}{a^{0.5}+b^{0.5}} = \frac{(a+2a^{0.5}b^{0.5}+b) - a - a^{0.5}b^{0.5} - b}{a^{0.5}+b^{0.5}} $
Упростим числитель: $ a+2a^{0.5}b^{0.5}+b - a - a^{0.5}b^{0.5} - b = a^{0.5}b^{0.5} $.
В результате получаем: $ \frac{a^{0.5}b^{0.5}}{a^{0.5}+b^{0.5}} $.
Ответ: $ \frac{a^{0.5}b^{0.5}}{a^{0.5}+b^{0.5}} $

2) Исходное выражение: $ \frac{a^{0.5}-b^{0.5}}{a^{0.5}+b^{0.5}} + \frac{a^{0.5}+b^{0.5}}{a^{0.5}-b^{0.5}} $
Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель: $(a^{0.5}+b^{0.5})(a^{0.5}-b^{0.5}) = (a^{0.5})^2 - (b^{0.5})^2 = a-b$.
$ \frac{(a^{0.5}-b^{0.5})^2 + (a^{0.5}+b^{0.5})^2}{(a^{0.5}+b^{0.5})(a^{0.5}-b^{0.5})} = \frac{(a-2a^{0.5}b^{0.5}+b) + (a+2a^{0.5}b^{0.5}+b)}{a-b} $
Раскроем скобки и упростим числитель: $ a-2a^{0.5}b^{0.5}+b + a+2a^{0.5}b^{0.5}+b = 2a+2b = 2(a+b) $.
В результате получаем: $ \frac{2(a+b)}{a-b} $.
Ответ: $ \frac{2(a+b)}{a-b} $

3) Исходное выражение: $ \frac{a^{\frac{1}{2}}+2a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{7}{6}}b^{\frac{5}{6}}-a^{\frac{5}{6}}b^{\frac{7}{6}}} \cdot \frac{a-a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{2}}} $
Упростим каждую часть выражения по отдельности.
Числитель первой дроби является полным квадратом: $ a^{\frac{1}{2}}+2a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{2}} = (a^{\frac{1}{4}})^2 + 2a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{4}} + (b^{\frac{1}{4}})^2 = (a^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{4}})^2 $.
Знаменатель первой дроби: $ a^{\frac{7}{6}}b^{\frac{5}{6}}-a^{\frac{5}{6}}b^{\frac{7}{6}} = a^{\frac{5}{6}}b^{\frac{5}{6}}(a^{\frac{7}{6}-\frac{5}{6}} - b^{\frac{7}{6}-\frac{5}{6}}) = a^{\frac{5}{6}}b^{\frac{5}{6}}(a^{\frac{2}{6}}-b^{\frac{2}{6}}) = a^{\frac{5}{6}}b^{\frac{5}{6}}(a^{\frac{1}{3}}-b^{\frac{1}{3}}) $.
Числитель второй дроби: $ a-a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{2}{3}}(a^{1-\frac{2}{3}}-b^{\frac{1}{3}}) = a^{\frac{2}{3}}(a^{\frac{1}{3}}-b^{\frac{1}{3}}) $.
Знаменатель второй дроби: $ a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{2}} = b^{\frac{1}{4}}(a^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{2}-\frac{1}{4}}) = b^{\frac{1}{4}}(a^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{4}}) $.
Подставим упрощенные части в выражение:
$ \frac{(a^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{4}})^2}{a^{\frac{5}{6}}b^{\frac{5}{6}}(a^{\frac{1}{3}}-b^{\frac{1}{3}})} \cdot \frac{a^{\frac{2}{3}}(a^{\frac{1}{3}}-b^{\frac{1}{3}})}{b^{\frac{1}{4}}(a^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{4}})} $
Сократим общие множители $(a^{\frac{1}{3}}-b^{\frac{1}{3}})$ и $(a^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{4}})$:
$ \frac{a^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{4}}}{a^{\frac{5}{6}}b^{\frac{5}{6}}} \cdot \frac{a^{\frac{2}{3}}}{b^{\frac{1}{4}}} = \frac{a^{\frac{2}{3}}(a^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{4}})}{a^{\frac{5}{6}}b^{\frac{5}{6}}b^{\frac{1}{4}}} $
Объединим степени: $ \frac{a^{\frac{2}{3}-\frac{5}{6}}(a^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{4}})}{b^{\frac{5}{6}+\frac{1}{4}}} = \frac{a^{\frac{4}{6}-\frac{5}{6}}(a^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{4}})}{b^{\frac{10}{12}+\frac{3}{12}}} = \frac{a^{-\frac{1}{6}}(a^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{4}})}{b^{\frac{13}{12}}} $.
Ответ: $ \frac{a^{-\frac{1}{6}}(a^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{4}})}{b^{\frac{13}{12}}} $

4) Исходное выражение: $ \frac{a^{\frac{3}{2}}+b^{\frac{3}{2}}}{(a^2-ab)^{\frac{2}{3}}} : \frac{a^{-\frac{2}{3}}(a-b)^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{3}{2}}-b^{\frac{3}{2}}} $
Заменим деление на умножение, перевернув вторую дробь:
$ \frac{a^{\frac{3}{2}}+b^{\frac{3}{2}}}{(a^2-ab)^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{a^{\frac{3}{2}}-b^{\frac{3}{2}}}{a^{-\frac{2}{3}}(a-b)^{\frac{1}{3}}} $
Перемножим числители и знаменатели.
В числителе получим разность квадратов: $ (a^{\frac{3}{2}}+b^{\frac{3}{2}})(a^{\frac{3}{2}}-b^{\frac{3}{2}}) = (a^{\frac{3}{2}})^2 - (b^{\frac{3}{2}})^2 = a^3-b^3 $.
Упростим знаменатель: $ (a^2-ab)^{\frac{2}{3}} \cdot a^{-\frac{2}{3}}(a-b)^{\frac{1}{3}} = (a(a-b))^{\frac{2}{3}} \cdot a^{-\frac{2}{3}}(a-b)^{\frac{1}{3}} $
$ = a^{\frac{2}{3}}(a-b)^{\frac{2}{3}} \cdot a^{-\frac{2}{3}}(a-b)^{\frac{1}{3}} = (a^{\frac{2}{3}}a^{-\frac{2}{3}}) \cdot ((a-b)^{\frac{2}{3}}(a-b)^{\frac{1}{3}}) $
$ = a^0 \cdot (a-b)^{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}} = 1 \cdot (a-b)^1 = a-b $.
В результате получим дробь: $ \frac{a^3-b^3}{a-b} $.
Используя формулу разности кубов $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$, сократим дробь:
$ \frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{a-b} = a^2+ab+b^2 $.
Ответ: $ a^2+ab+b^2 $