1) Для того чтобы представить выражение a+b в виде суммы кубов, запишем каждое слагаемое как куб некоторого выражения. Так как переменные неотрицательны, мы можем использовать дробные степени:
a=(a31)3 и b=(b31)3.
Таким образом, выражение a+b представляется в виде суммы кубов:
a+b=(a31)3+(b31)3.
Далее, для разложения на множители применим формулу суммы кубов x3+y3=(x+y)(x2−xy+y2), где x=a31 и y=b31:
(a31+b31)((a31)2−a31b31+(b31)2)=(a31+b31)(a32−a31b31+b32).
Ответ: a+b=(a31)3+(b31)3=(a31+b31)(a32−a31b31+b32).
2) Представим каждое слагаемое выражения a21+b31 в виде куба, используя свойство степени (xm)n=xmn:
a21=(a2⋅31)3=(a61)3
b31=(b3⋅31)3=(b91)3
Таким образом, получаем сумму кубов:
a21+b31=(a61)3+(b91)3.
Применим формулу разложения суммы кубов x3+y3=(x+y)(x2−xy+y2), где x=a61 и y=b91:
(a61+b91)((a61)2−a61b91+(b91)2)=(a61+b91)(a62−a61b91+b92)=(a61+b91)(a31−a61b91+b92).
Ответ: a21+b31=(a61)3+(b91)3=(a61+b91)(a31−a61b91+b92).
3) Представим выражение a23+27 в виде суммы кубов:
a23=(a21)3
27=33
Получаем сумму кубов:
a23+27=(a21)3+33.
Разложим на множители по формуле x3+y3=(x+y)(x2−xy+y2), где x=a21 и y=3:
(a21+3)((a21)2−a21⋅3+32)=(a21+3)(a−3a21+9).
Ответ: a23+27=(a21)3+33=(a21+3)(a−3a21+9).
4) Представим каждое слагаемое выражения a32+b32 в виде куба:
a32=(a3⋅32)3=(a92)3
b32=(b3⋅32)3=(b92)3
Таким образом, получаем сумму кубов:
a32+b32=(a92)3+(b92)3.
Применим формулу разложения суммы кубов x3+y3=(x+y)(x2−xy+y2), где x=a92 и y=b92:
(a92+b92)((a92)2−a92b92+(b92)2)=(a92+b92)(a94−(ab)92+b94).
Ответ: a32+b32=(a92)3+(b92)3=(a92+b92)(a94−(ab)92+b94).