Номер 10.21, страница 88 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

10.21. Представьте данное выражение в виде суммы кубов и разложите его на множители (переменные принимают только неотрицательные значения):

1) $a + b$;

2) $a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{3}}$;

3) $a^{\frac{3}{2}} + 27$;

4) $a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}}.$

1) Для того чтобы представить выражение $a+b$ в виде суммы кубов, запишем каждое слагаемое как куб некоторого выражения. Так как переменные неотрицательны, мы можем использовать дробные степени:

$a = (a^{\frac{1}{3}})^3$ и $b = (b^{\frac{1}{3}})^3$.

Таким образом, выражение $a+b$ представляется в виде суммы кубов:

$a+b = (a^{\frac{1}{3}})^3 + (b^{\frac{1}{3}})^3$.

Далее, для разложения на множители применим формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$, где $x = a^{\frac{1}{3}}$ и $y = b^{\frac{1}{3}}$:

$(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})((a^{\frac{1}{3}})^2 - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + (b^{\frac{1}{3}})^2) = (a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}})$.

Ответ: $a+b = (a^{\frac{1}{3}})^3 + (b^{\frac{1}{3}})^3 = (a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}})$.

2) Представим каждое слагаемое выражения $a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{3}}$ в виде куба, используя свойство степени $(x^m)^n = x^{mn}$:

$a^{\frac{1}{2}} = (a^{\frac{1}{2 \cdot 3}})^3 = (a^{\frac{1}{6}})^3$

$b^{\frac{1}{3}} = (b^{\frac{1}{3 \cdot 3}})^3 = (b^{\frac{1}{9}})^3$

Таким образом, получаем сумму кубов:

$a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{3}} = (a^{\frac{1}{6}})^3 + (b^{\frac{1}{9}})^3$.

Применим формулу разложения суммы кубов $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$, где $x = a^{\frac{1}{6}}$ и $y = b^{\frac{1}{9}}$:

$(a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{9}})((a^{\frac{1}{6}})^2 - a^{\frac{1}{6}}b^{\frac{1}{9}} + (b^{\frac{1}{9}})^2) = (a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{9}})(a^{\frac{2}{6}} - a^{\frac{1}{6}}b^{\frac{1}{9}} + b^{\frac{2}{9}}) = (a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{9}})(a^{\frac{1}{3}} - a^{\frac{1}{6}}b^{\frac{1}{9}} + b^{\frac{2}{9}})$.

Ответ: $a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{3}} = (a^{\frac{1}{6}})^3 + (b^{\frac{1}{9}})^3 = (a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{9}})(a^{\frac{1}{3}} - a^{\frac{1}{6}}b^{\frac{1}{9}} + b^{\frac{2}{9}})$.

3) Представим выражение $a^{\frac{3}{2}} + 27$ в виде суммы кубов:

$a^{\frac{3}{2}} = (a^{\frac{1}{2}})^3$

$27 = 3^3$

Получаем сумму кубов:

$a^{\frac{3}{2}} + 27 = (a^{\frac{1}{2}})^3 + 3^3$.

Разложим на множители по формуле $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$, где $x = a^{\frac{1}{2}}$ и $y = 3$:

$(a^{\frac{1}{2}} + 3)((a^{\frac{1}{2}})^2 - a^{\frac{1}{2}} \cdot 3 + 3^2) = (a^{\frac{1}{2}} + 3)(a - 3a^{\frac{1}{2}} + 9)$.

Ответ: $a^{\frac{3}{2}} + 27 = (a^{\frac{1}{2}})^3 + 3^3 = (a^{\frac{1}{2}} + 3)(a - 3a^{\frac{1}{2}} + 9)$.

4) Представим каждое слагаемое выражения $a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}}$ в виде куба:

$a^{\frac{2}{3}} = (a^{\frac{2}{3 \cdot 3}})^3 = (a^{\frac{2}{9}})^3$

$b^{\frac{2}{3}} = (b^{\frac{2}{3 \cdot 3}})^3 = (b^{\frac{2}{9}})^3$

Таким образом, получаем сумму кубов:

$a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}} = (a^{\frac{2}{9}})^3 + (b^{\frac{2}{9}})^3$.

Применим формулу разложения суммы кубов $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$, где $x = a^{\frac{2}{9}}$ и $y = b^{\frac{2}{9}}$:

$(a^{\frac{2}{9}} + b^{\frac{2}{9}})((a^{\frac{2}{9}})^2 - a^{\frac{2}{9}}b^{\frac{2}{9}} + (b^{\frac{2}{9}})^2) = (a^{\frac{2}{9}} + b^{\frac{2}{9}})(a^{\frac{4}{9}} - (ab)^{\frac{2}{9}} + b^{\frac{4}{9}})$.

Ответ: $a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}} = (a^{\frac{2}{9}})^3 + (b^{\frac{2}{9}})^3 = (a^{\frac{2}{9}} + b^{\frac{2}{9}})(a^{\frac{4}{9}} - (ab)^{\frac{2}{9}} + b^{\frac{4}{9}})$.