Номер 10.15, страница 87 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

10.15. Вычислите значение выражения:

1) $12^{1/3} \cdot 6^{2/3} \cdot (0,5)^3;$

2) $25^{1,5} + (0,25)^{-0,5} - 81^{0,75};$

3) $(\frac{1}{16})^{-3/4} + (\frac{1}{8})^{2/3} \cdot (0,81)^{-0,5};$

4) $16^{1/8} \cdot 8^{5/6} \cdot 4^{1,5};$

5) $\frac{10000^{0,4} \cdot 10^{0,5}}{100^{0,3} \cdot 1000^{1/6}};$

6) $\frac{5^{3/2} \cdot 8^{1/2}}{9^{1/6}} \cdot \frac{8^{1/4}}{5^{5/2} \cdot 9^{1/3}};$

7) $(72^{2/3})^{1/2} \cdot 2^{-4/3} : 36^{-1/6};$

8) $\left(\frac{3^{5/6} \cdot 7^{5/6}}{21^{-1} \cdot 5^3}\right)^{-6};$

1) Для вычисления значения выражения $12^{\frac{1}{3}} \cdot 6^{\frac{2}{3}} \cdot (0,5)^{\frac{1}{3}}$ воспользуемся свойствами степеней. Представим число $12$ как произведение $2 \cdot 6$, а десятичную дробь $0,5$ как обыкновенную дробь $\frac{1}{2}$. $12^{\frac{1}{3}} \cdot 6^{\frac{2}{3}} \cdot (0,5)^{\frac{1}{3}} = (2 \cdot 6)^{\frac{1}{3}} \cdot 6^{\frac{2}{3}} \cdot (\frac{1}{2})^{\frac{1}{3}}$. Используя свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$, раскроем скобки: $2^{\frac{1}{3}} \cdot 6^{\frac{1}{3}} \cdot 6^{\frac{2}{3}} \cdot (\frac{1}{2})^{\frac{1}{3}}$. Заметим, что $(\frac{1}{2})^{\frac{1}{3}} = (2^{-1})^{\frac{1}{3}} = 2^{-\frac{1}{3}}$. Выражение принимает вид: $2^{\frac{1}{3}} \cdot 6^{\frac{1}{3}} \cdot 6^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{-\frac{1}{3}}$. Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями и применим свойство $a^m a^n = a^{m+n}$: $(2^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{-\frac{1}{3}}) \cdot (6^{\frac{1}{3}} \cdot 6^{\frac{2}{3}}) = 2^{\frac{1}{3} - \frac{1}{3}} \cdot 6^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} = 2^0 \cdot 6^{\frac{3}{3}} = 2^0 \cdot 6^1 = 1 \cdot 6 = 6$. Ответ: 6

2) Для вычисления значения выражения $25^{1,5} + (0,25)^{-0,5} - 81^{0,75}$ преобразуем десятичные степени в обыкновенные дроби: $1,5 = \frac{3}{2}$, $0,25 = \frac{1}{4}$, $-0,5 = -\frac{1}{2}$, $0,75 = \frac{3}{4}$. Выражение примет вид: $25^{\frac{3}{2}} + (\frac{1}{4})^{-\frac{1}{2}} - 81^{\frac{3}{4}}$. Вычислим каждое слагаемое по отдельности, используя свойство $(a^m)^n=a^{mn}$ и $a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$: $25^{\frac{3}{2}} = (5^2)^{\frac{3}{2}} = 5^{2 \cdot \frac{3}{2}} = 5^3 = 125$. $(\frac{1}{4})^{-\frac{1}{2}} = (4^{-1})^{-\frac{1}{2}} = 4^{-1 \cdot (-\frac{1}{2})} = 4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2$. $81^{\frac{3}{4}} = (3^4)^{\frac{3}{4}} = 3^{4 \cdot \frac{3}{4}} = 3^3 = 27$. Теперь выполним сложение и вычитание: $125 + 2 - 27 = 127 - 27 = 100$. Ответ: 100

3) Рассмотрим выражение $(\left(\frac{1}{16}\right)^{-\frac{3}{4}} + \left(\frac{1}{8}\right)^{-\frac{2}{3}}) \cdot (0,81)^{-0,5}$. Преобразуем десятичные дроби и отрицательные степени. $0,81 = \frac{81}{100}$, $-0,5 = -\frac{1}{2}$. Сначала вычислим значение в скобках. Используем свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$: $\left(\frac{1}{16}\right)^{-\frac{3}{4}} = 16^{\frac{3}{4}} = (2^4)^{\frac{3}{4}} = 2^{4 \cdot \frac{3}{4}} = 2^3 = 8$. $\left(\frac{1}{8}\right)^{-\frac{2}{3}} = 8^{\frac{2}{3}} = (2^3)^{\frac{2}{3}} = 2^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 2^2 = 4$. Сумма в скобках равна $8 + 4 = 12$. Теперь вычислим второй множитель: $(0,81)^{-0,5} = \left(\frac{81}{100}\right)^{-\frac{1}{2}} = \left(\frac{100}{81}\right)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{100}{81}} = \frac{10}{9}$. Перемножим полученные результаты: $12 \cdot \frac{10}{9} = \frac{12 \cdot 10}{9} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 10}{3 \cdot 3} = \frac{40}{3}$. Ответ: $\frac{40}{3}$

4) Для вычисления значения выражения $16^{\frac{1}{8}} \cdot 8^{-\frac{5}{6}} \cdot 4^{1,5}$ представим все основания степеней как степени числа 2: $16=2^4$, $8=2^3$, $4=2^2$. Также преобразуем $1,5 = \frac{3}{2}$. Выражение примет вид: $(2^4)^{\frac{1}{8}} \cdot (2^3)^{-\frac{5}{6}} \cdot (2^2)^{\frac{3}{2}}$. Используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$, упростим каждый множитель: $2^{4 \cdot \frac{1}{8}} \cdot 2^{3 \cdot (-\frac{5}{6})} \cdot 2^{2 \cdot \frac{3}{2}} = 2^{\frac{4}{8}} \cdot 2^{-\frac{15}{6}} \cdot 2^3 = 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{-\frac{5}{2}} \cdot 2^3$. Теперь, используя свойство $a^m a^n = a^{m+n}$, сложим показатели: $2^{\frac{1}{2} - \frac{5}{2} + 3} = 2^{-\frac{4}{2} + 3} = 2^{-2+3} = 2^1 = 2$. Ответ: 2

5) Рассмотрим выражение $\frac{10000^{0,4} \cdot 10^{0,5}}{100^{0,3} \cdot 1000^{\frac{1}{6}}}$. Представим все основания в виде степени числа 10: $10000 = 10^4$, $100 = 10^2$, $1000 = 10^3$. Подставим эти значения в выражение: $\frac{(10^4)^{0,4} \cdot 10^{0,5}}{(10^2)^{0,3} \cdot (10^3)^{\frac{1}{6}}}$. Применим свойство $(a^m)^n = a^{mn}$: $\frac{10^{4 \cdot 0,4} \cdot 10^{0,5}}{10^{2 \cdot 0,3} \cdot 10^{3 \cdot \frac{1}{6}}} = \frac{10^{1,6} \cdot 10^{0,5}}{10^{0,6} \cdot 10^{0,5}}$. Используя свойство $a^m a^n = a^{m+n}$ в числителе и знаменателе: $\frac{10^{1,6+0,5}}{10^{0,6+0,5}} = \frac{10^{2,1}}{10^{1,1}}$. Используя свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$: $10^{2,1-1,1} = 10^1 = 10$. Ответ: 10

6) Рассмотрим выражение $\frac{5^{\frac{3}{2}} \cdot 8^{\frac{1}{12}}}{9^{\frac{1}{6}}} \cdot \frac{8^{\frac{1}{4}}}{5^{\frac{5}{2}} \cdot 9^{\frac{1}{3}}}$. Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями: $\frac{5^{\frac{3}{2}}}{5^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{8^{\frac{1}{12}} \cdot 8^{\frac{1}{4}}}{1} \cdot \frac{1}{9^{\frac{1}{6}} \cdot 9^{\frac{1}{3}}}$. Применим свойства степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ и $a^m a^n = a^{m+n}$: Для основания 5: $5^{\frac{3}{2}-\frac{5}{2}} = 5^{-\frac{2}{2}} = 5^{-1}$. Для основания 8: $8^{\frac{1}{12}+\frac{1}{4}} = 8^{\frac{1}{12}+\frac{3}{12}} = 8^{\frac{4}{12}} = 8^{\frac{1}{3}}$. Для основания 9: $\frac{1}{9^{\frac{1}{6}+\frac{1}{3}}} = \frac{1}{9^{\frac{1}{6}+\frac{2}{6}}} = \frac{1}{9^{\frac{3}{6}}} = \frac{1}{9^{\frac{1}{2}}} = 9^{-\frac{1}{2}}$. Перемножим полученные результаты: $5^{-1} \cdot 8^{\frac{1}{3}} \cdot 9^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{5} \cdot \sqrt[3]{8} \cdot \frac{1}{\sqrt{9}} = \frac{1}{5} \cdot 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{15}$. Ответ: $\frac{2}{15}$

7) Рассмотрим выражение $(72^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{-\frac{4}{3}} : 36^{-\frac{1}{6}}$. Заменим деление на умножение на обратное число: $(72^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{-\frac{4}{3}} \cdot 36^{\frac{1}{6}}$. Упростим первый множитель: $(72^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}} = 72^{\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}} = 72^{\frac{1}{3}}$. Разложим основания 72 и 36 на простые множители: $72 = 8 \cdot 9 = 2^3 \cdot 3^2$ и $36=6^2 = (2 \cdot 3)^2 = 2^2 \cdot 3^2$. Выражение примет вид: $(2^3 \cdot 3^2)^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{-\frac{4}{3}} \cdot (2^2 \cdot 3^2)^{\frac{1}{6}}$. Раскроем скобки: $(2^3)^{\frac{1}{3}} \cdot (3^2)^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{-\frac{4}{3}} \cdot (2^2)^{\frac{1}{6}} \cdot (3^2)^{\frac{1}{6}} = 2^1 \cdot 3^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{-\frac{4}{3}} \cdot 2^{\frac{2}{6}} \cdot 3^{\frac{2}{6}} = 2^1 \cdot 3^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{-\frac{4}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{3}}$. Сгруппируем множители по основаниям: $(2^{1} \cdot 2^{-\frac{4}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}}) \cdot (3^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{3}}) = 2^{1-\frac{4}{3}+\frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}} = 2^{1-\frac{3}{3}} \cdot 3^{\frac{3}{3}} = 2^{1-1} \cdot 3^1 = 2^0 \cdot 3 = 1 \cdot 3 = 3$. Ответ: 3

8) Рассмотрим выражение $\left(\frac{3^{\frac{5}{6}} \cdot 7^{\frac{5}{6}}}{21^{-1} \cdot 5^3}\right)^{-6}$. Сначала упростим выражение в числителе: $3^{\frac{5}{6}} \cdot 7^{\frac{5}{6}} = (3 \cdot 7)^{\frac{5}{6}} = 21^{\frac{5}{6}}$. Выражение в скобках принимает вид: $\frac{21^{\frac{5}{6}}}{21^{-1} \cdot 5^3}$. Упростим дробь, работая с основанием 21: $\frac{21^{\frac{5}{6}}}{21^{-1}} = 21^{\frac{5}{6}-(-1)} = 21^{\frac{5}{6}+1} = 21^{\frac{11}{6}}$. Таким образом, выражение в скобках равно $\frac{21^{\frac{11}{6}}}{5^3}$. Теперь возведем это выражение в степень -6: $\left(\frac{21^{\frac{11}{6}}}{5^3}\right)^{-6}$. Используя свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$, получаем: $\left(\frac{5^3}{21^{\frac{11}{6}}}\right)^{6}$. Возводим в степень числитель и знаменатель по отдельности, используя $(a^m)^n=a^{mn}$: $\frac{(5^3)^6}{(21^{\frac{11}{6}})^6} = \frac{5^{3 \cdot 6}}{21^{\frac{11}{6} \cdot 6}} = \frac{5^{18}}{21^{11}}$. Ответ: $\frac{5^{18}}{21^{11}}$