Номер 10.12, страница 86 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

10.12. Известно, что $b$ — положительное число. Представьте в виде куба выражение:

1) $b^2$;

2) $b^{\frac{1}{2}}$;

3) $b^{\frac{1}{3}}$;

4) $b^{-1,8}$;

5) $b^{\frac{7}{11}}$.

Чтобы представить выражение вида $b^p$ в виде куба, нужно найти такое выражение $A$, для которого выполняется равенство $A^3 = b^p$. Воспользуемся свойством возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{mn}$.

Если мы ищем $A$ в виде $b^x$, то получаем $(b^x)^3 = b^{3x}$. Чтобы это выражение было равно исходному $b^p$, их показатели степени должны быть равны: $3x = p$. Отсюда $x = \frac{p}{3}$.

Таким образом, для каждого данного выражения $b^p$ мы можем представить его в виде куба, взяв в качестве основания $b^{\frac{p}{3}}$. Формула преобразования: $b^p = (b^{\frac{p}{3}})^3$.

1) Дано выражение $b^2$.

Чтобы представить его в виде куба, разделим показатель степени на 3: $x = \frac{2}{3}$.

Получаем: $b^2 = (b^{\frac{2}{3}})^3$.

Проверка: $(b^{\frac{2}{3}})^3 = b^{\frac{2}{3} \cdot 3} = b^2$.

Ответ: $(b^{\frac{2}{3}})^3$.

2) Дано выражение $b^{\frac{1}{2}}$.

Чтобы представить его в виде куба, разделим показатель степени на 3: $x = \frac{1/2}{3} = \frac{1}{6}$.

Получаем: $b^{\frac{1}{2}} = (b^{\frac{1}{6}})^3$.

Проверка: $(b^{\frac{1}{6}})^3 = b^{\frac{1}{6} \cdot 3} = b^{\frac{3}{6}} = b^{\frac{1}{2}}$.

Ответ: $(b^{\frac{1}{6}})^3$.

3) Дано выражение $b^{\frac{1}{3}}$.

Чтобы представить его в виде куба, разделим показатель степени на 3: $x = \frac{1/3}{3} = \frac{1}{9}$.

Получаем: $b^{\frac{1}{3}} = (b^{\frac{1}{9}})^3$.

Проверка: $(b^{\frac{1}{9}})^3 = b^{\frac{1}{9} \cdot 3} = b^{\frac{3}{9}} = b^{\frac{1}{3}}$.

Ответ: $(b^{\frac{1}{9}})^3$.

4) Дано выражение $b^{-1.8}$.

Чтобы представить его в виде куба, разделим показатель степени на 3: $x = \frac{-1.8}{3} = -0.6$.

Получаем: $b^{-1.8} = (b^{-0.6})^3$.

Проверка: $(b^{-0.6})^3 = b^{-0.6 \cdot 3} = b^{-1.8}$.

Ответ: $(b^{-0.6})^3$.

5) Дано выражение $b^{\frac{7}{11}}$.

Чтобы представить его в виде куба, разделим показатель степени на 3: $x = \frac{7/11}{3} = \frac{7}{33}$.

Получаем: $b^{\frac{7}{11}} = (b^{\frac{7}{33}})^3$.

Проверка: $(b^{\frac{7}{33}})^3 = b^{\frac{7}{33} \cdot 3} = b^{\frac{21}{33}} = b^{\frac{7}{11}}$.

Ответ: $(b^{\frac{7}{33}})^3$.