Номер 10.7, страница 86 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

10.7. Найдите область определения функции:

1) $y = x^{\frac{5}{6}}$;2) $y = (x - 3)^{2.6}$;3) $y = (x^2 - 6x - 7)^{-\frac{1}{9}}$.

Область определения функции (ОДЗ) — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл.

1) $y = x^{\frac{5}{6}}$

Данная функция является степенной функцией с рациональным показателем $p = \frac{5}{6}$. Так как функция вида $y = x^{\frac{m}{n}}$ при четном $n$ определена только для неотрицательных значений $x$, а в данном случае знаменатель показателя $n=6$ является четным числом, то основание степени должно быть неотрицательным.

Это можно также увидеть, представив функцию в виде корня: $y = \sqrt[6]{x^5}$. Выражение под корнем четной степени не может быть отрицательным.

Следовательно, условие для области определения: $x \ge 0$.

Таким образом, область определения функции — это промежуток $[0, +\infty)$.

Ответ: $[0, +\infty)$.

2) $y = (x - 3)^{2,6}$

Преобразуем десятичный показатель степени в обыкновенную дробь: $2,6 = \frac{26}{10} = \frac{13}{5}$. Функция принимает вид: $y = (x - 3)^{\frac{13}{5}}$.

Показатель степени $p = \frac{13}{5}$ — это рациональное число, знаменатель которого ($5$) является нечетным числом. Функцию можно представить как $y = \sqrt[5]{(x-3)^{13}}$. Корень нечетной степени определен для любого действительного значения подкоренного выражения.

Выражение в основании степени, $x - 3$, определено для всех действительных чисел $x$. Следовательно, никаких ограничений на область определения нет.

Область определения функции — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

3) $y = (x^2 - 6x - 7)^{-\frac{1}{9}}$

Показатель степени $p = -\frac{1}{9}$ является отрицательным, поэтому основание степени не может быть равно нулю. Функцию можно записать в виде: $y = \frac{1}{(x^2 - 6x - 7)^{\frac{1}{9}}}$.

Знаменатель не должен быть равен нулю, что означает: $(x^2 - 6x - 7)^{\frac{1}{9}} \neq 0$, а это эквивалентно $x^2 - 6x - 7 \neq 0$.

Знаменатель показателя степени равен 9 (нечетное число), поэтому основание $x^2 - 6x - 7$ может быть отрицательным. Таким образом, единственное ограничение — это неравенство основания нулю.

Найдем значения $x$, при которых основание равно нулю, решив квадратное уравнение: $x^2 - 6x - 7 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна $6$, а их произведение равно $-7$. Корнями являются $x_1 = 7$ и $x_2 = -1$.

Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме $-1$ и $7$.

Ответ: $(-\infty; -1) \cup (-1; 7) \cup (7; +\infty)$.