Номер 10.5, страница 86 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

10.5. Найдите значение выражения:

1) $4^{\frac{1}{2}};$

2) $25^{-\frac{1}{2}};$

3) $3 \cdot 64^{-\frac{1}{3}};$

4) $-5 \cdot 0,01^{-\frac{3}{2}};$

5) $0,216^{-\frac{1}{3}};$

6) $\left(3\frac{3}{8}\right)^{-\frac{2}{3}};$

7) $27^{\frac{4}{3}};$

8) $32^{-0,2}.$

1) Для вычисления $4^{\frac{1}{2}}$ воспользуемся определением степени с рациональным показателем: $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$. В данном случае $a=4$, $m=1$, $n=2$. Степень $\frac{1}{2}$ эквивалентна извлечению квадратного корня.
$4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2$.
Ответ: 2.

2) Для вычисления $25^{-\frac{1}{2}}$ воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем $a^{-p} = \frac{1}{a^p}$.
$25^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{25^{\frac{1}{2}}}$.
Так как степень $\frac{1}{2}$ это квадратный корень, получаем:
$\frac{1}{\sqrt{25}} = \frac{1}{5}$.
Ответ: $\frac{1}{5}$.

3) Для вычисления $3 \cdot 64^{-\frac{1}{3}}$ сначала найдем значение $64^{-\frac{1}{3}}$.
Используем свойства $a^{-p} = \frac{1}{a^p}$ и $a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$.
$64^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{64^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{64}}$.
Так как $4^3 = 64$, то $\sqrt[3]{64} = 4$.
Значит, $64^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{4}$.
Теперь выполним умножение: $3 \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{3}{4}$.

4) Для вычисления $-5 \cdot 0,01^{-\frac{3}{2}}$ сначала найдем значение $0,01^{-\frac{3}{2}}$.
Представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,01 = \frac{1}{100}$.
Тогда $0,01^{-\frac{3}{2}} = (\frac{1}{100})^{-\frac{3}{2}}$.
Используем свойство $(\frac{a}{b})^{-p} = (\frac{b}{a})^p$:
$(\frac{1}{100})^{-\frac{3}{2}} = (\frac{100}{1})^{\frac{3}{2}} = 100^{\frac{3}{2}}$.
Теперь воспользуемся свойством $a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^m$:
$100^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{100})^3 = 10^3 = 1000$.
Наконец, выполним умножение: $-5 \cdot 1000 = -5000$.
Ответ: -5000.

5) Для вычисления $0,216^{-\frac{1}{3}}$ представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,216 = \frac{216}{1000}$.
Получаем $(\frac{216}{1000})^{-\frac{1}{3}}$.
Используя свойство отрицательной степени для дроби, переворачиваем ее: $(\frac{1000}{216})^{\frac{1}{3}}$.
Степень $\frac{1}{3}$ означает извлечение кубического корня: $\sqrt[3]{\frac{1000}{216}} = \frac{\sqrt[3]{1000}}{\sqrt[3]{216}}$.
Так как $10^3 = 1000$ и $6^3 = 216$, получаем $\frac{10}{6}$.
Сокращаем дробь: $\frac{10}{6} = \frac{5}{3}$.
Ответ: $\frac{5}{3}$.

6) Для вычисления $(3\frac{3}{8})^{-\frac{2}{3}}$ сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $3\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{27}{8}$.
Получаем выражение $(\frac{27}{8})^{-\frac{2}{3}}$.
Из-за отрицательной степени переворачиваем дробь: $(\frac{8}{27})^{\frac{2}{3}}$.
Используем свойство $a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^m$:
$(\frac{8}{27})^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{\frac{8}{27}})^2 = (\frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}})^2 = (\frac{2}{3})^2$.
Возводим в квадрат: $(\frac{2}{3})^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9}$.
Ответ: $\frac{4}{9}$.

7) Для вычисления $27^{\frac{4}{3}}$ воспользуемся свойством $a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^m$.
$27^{\frac{4}{3}} = (\sqrt[3]{27})^4$.
Так как $3^3 = 27$, то $\sqrt[3]{27} = 3$.
Возводим результат в четвертую степень: $3^4 = 81$.
Ответ: 81.

8) Для вычисления $32^{-0,2}$ сначала преобразуем десятичную степень в обыкновенную дробь: $-0,2 = -\frac{2}{10} = -\frac{1}{5}$.
Получаем $32^{-\frac{1}{5}}$.
Используем свойство отрицательной степени: $\frac{1}{32^{\frac{1}{5}}}$.
Степень $\frac{1}{5}$ означает извлечение корня пятой степени: $\frac{1}{\sqrt[5]{32}}$.
Так как $2^5 = 32$, то $\sqrt[5]{32} = 2$.
В итоге получаем $\frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.