Номер 10.2, страница 85 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

10.2. Замените степень с дробным показателем корнем:

1) $3^{-\frac{1}{9}};$

2) $c^{0,2};$

3) $x^{\frac{6}{7}};$

4) $(a-2b)^{\frac{9}{16}}.$

Для того чтобы заменить степень с дробным показателем корнем, используется основное свойство степени с рациональным показателем: $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$, где $a \ge 0$, $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число ($n \ge 2$). Если показатель степени отрицательный, применяется свойство $a^{-p} = \frac{1}{a^p}$.

1) Дано выражение $3^{-\frac{1}{9}}$.
Вначале избавимся от отрицательного показателя степени, используя правило $a^{-p} = \frac{1}{a^p}$:
$3^{-\frac{1}{9}} = \frac{1}{3^{\frac{1}{9}}}$
Теперь заменим степень с дробным показателем в знаменателе на корень по формуле $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$. В данном случае основание $a=3$, числитель показателя $m=1$, а знаменатель $n=9$:
$3^{\frac{1}{9}} = \sqrt[9]{3^1} = \sqrt[9]{3}$
Таким образом, итоговое выражение имеет вид:
$\frac{1}{\sqrt[9]{3}}$
Ответ: $\frac{1}{\sqrt[9]{3}}$.

2) Дано выражение $c^{0.2}$.
Первым шагом представим десятичный показатель $0.2$ в виде обыкновенной дроби:
$0.2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$
Теперь выражение выглядит так: $c^{\frac{1}{5}}$.
Применим формулу $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$, где основание это $c$, $m=1$ и $n=5$:
$c^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{c^1} = \sqrt[5]{c}$
Ответ: $\sqrt[5]{c}$.

3) Дано выражение $x^{\frac{6}{7}}$.
Сразу применяем формулу $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$. В этом выражении основание — $x$, числитель показателя $m=6$, а знаменатель $n=7$:
$x^{\frac{6}{7}} = \sqrt[7]{x^6}$
Ответ: $\sqrt[7]{x^6}$.

4) Дано выражение $(a - 2b)^{\frac{9}{16}}$.
В этом случае основанием степени является выражение в скобках $(a-2b)$. Применяем ту же формулу $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$, где основание — $(a-2b)$, числитель показателя $m=9$, а знаменатель $n=16$:
$(a - 2b)^{\frac{9}{16}} = \sqrt[16]{(a - 2b)^9}$
Ответ: $\sqrt[16]{(a - 2b)^9}$.